Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 213 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем

j jj i

j ii i

py pCx px= = =p

( )

–1

j j i ji

p C p Ap= =

( )

–1

CA=

(1.4)

Отсюда, приравнивая коэффициенты при векторах базиса

, получим выражение старых компонент pi через новые ком-

поненты p

: pi = pjC

. Матрицы преобразования координат об-

разуют группу, потому существует обратное преобразование от нового базиса к старому базису. Тогда новые компоненты

вектора выразим через старые, где через A

обозначена матри-

ца преобразования компонент вектора:

Здесь C

–1

есть обратная матрица относительно C, т.е. их

произведение дает единичную матрицу I: CC

(1.5)

–1

= I; а Ct означает транспонированную матрицу, в которой строки и столбцы меняются местами. Отсюда видно, что компоненты произвольного вектора преобразуются по закону, обратному закону пре-

образования компонент вектора базиса, а матрица A

и транспонирована по отношению к матрице C

в (1.1). То есть,

обратная

это ортогональные матрицы:

(1.6)

Величины, которые при изменении системы координат преобразуются по тому же закону, что и векторы базиса, называются ковариантными, т.е. совместно изменяющимися. Величины, которые при изменении системы координат изменяются по закону, обратному закону преобразования векторов базиса, называются контравариантными или противоположно изменяющимися. Таким образом, компоненты векторов базиса ковариантные, а компоненты произвольного вектора – контравариантные. Ковариантные составляющие обозначают нижни- ми индексами, а контравариантные составляющие – верхними индексами.

Геометрический объект, компоненты которого при изменении системы координат преобразуются линейно, с помощью матриц преобразования, называется тензором.

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

В общем случае геометрический объект является функцией многих переменных, каждая из которых имеет свои компоненты в данной системе отсчета. Такой объект представляется в каждой системе отсчета многомерной матрицей, число измерений которой определяется числом переменных, а порядок – размерностью пространства. Компоненты одних переменных многомерного объекта при изменении системы координат преобразуются ковариантно, а других – контравариантно; соответственно матрицей преобразования С или А.

Примером двухвалентного тензора является метрический тензор, который определяет понятие расстояния, метрики. Он связывает ковариантные и контравариантные составляющие вектора. Понятие метрики не следует из ранее введенных понятий.

Рассмотренное преобразование координат произвольного вектора, точки в пространстве, означает, что есть направление, есть начало и конец измеренного отрезка. Также предполагается, что есть начало и конец отрезка, принятого за единицу измерения. Численное значение компоненты вектора показывает, сколько раз эта компонента укладывается в единицу измерения. Также предполагается, что ось координат есть прямая линия, хотя положение точки в пространстве можно определить криволинейными координатами, заданными определенными функциями. Векторы базиса координат ортогональны, т.е. их скалярное произведение по разным направлениям равно нулю. Векторы базиса представляют независимые измерения.

Двум любым точкам пространства сопоставляется особое число, называемое расстоянием этих точек. Понятие расстояния не следует из понятий линейной независимости векторов, ковариантных и контравариантных законов преобразования. Это отмечал в «Пролегоменах» И. Кант: «Что прямая линия есть кратчайшая между двумя точками, это – синтетическое понятие, так как мое понятие прямого не содержит ничего о величине, а содержит только качество. Понятие кратчайшего, следовательно, целиком прибавляется, и …не может быть извлечено из понятия прямой линии. …Необходимо прибегнуть к помощи созерцания, посредством которого возможен синтез» [10, с. 83].

ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем

22 2

... .

xx x= + ++

22 2

11 12 21 22

,dS g dx g dxdy g dydx g dy=+++

i j i ij

g CgC

′′ ′

′

Расстояние между точками представляет собой абсолютную величину вектора. Оно инвариантно относительно преобразования координат, т.е. компоненты точек при этом меняются, а расстояние не меняется. Принято рассматривать квадрат аб-

солютной величины вектора r. Это действительное число r

, которое в евклидовой геометрии является суммой квадратов компонент вектора (обобщенная теорема Пифагора):

(1.7)

Предполагается, что расстояние не зависит от порядка следования точек и что расстояние между двумя совпадающими точками равно нулю. Раскладывая на плоскости с двумя осями координат x, y, с учетом этих предположений, квадрат расстояния двух достаточно близких точек R(x

); R(x2,y2) в ряд

1,y1

Тейлора [26, с. 24] получим

где dx = x

– x1, а dy = y2 – y1. Получаем, что квадрат рассто-

(1.8)

яния двух бесконечно близких точек является квадратич-

ной функцией от разностей координат этих точек. Коэф-

фициенты g

составляют матрицу второго порядка и для

любой точки определяют метрику расстояний в данном

двумерном пространстве. В трехмерном пространстве де-

вять коэффициентов g

составляют матрицу третьего по-

рядка.

Совокупность g

как функций координат точки называет-

ся фундаментальным метрическим тензором. Метрический тензор является функцией двух переменных, в данном случае он дважды ковариантный. При изменении системы координат новый метрический тензор g го метрического тензора g

ния C

получается умножением старо-

i′j′

дважды на матрицу преобразова-

(1.9)

1... 1 ... 1

... ....

i in i in i in jm

j jm j jm i in jm

T T C CA A

′′ ′

′′ ′′

( )

–1

j j j jj

p C p Ap

′′

′

= =

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Тензор T, имеющий n контравариантных переменных и m ковариантных переменных при изменении системы координат получается умножением n раз на матрицу преобразования

и m раз на матрицу преобразования А

i′

по формуле

i′

(1.10)

Взаимный базис. Помимо прямого базиса ортов (единичных векторов) x

ный базис x

по осям координат в геометрии существует взаим-

. Вектор взаимного базиса можно представить системой двух параллельных гиперплоскостей. Скалярные произведения взаимных базисов x

) = d

j i

, где d

= 1 при i = j, и d

и xi дают единичную матрицу:

i j

= 0 в противном случае. Таким

образом, векторы прямого и взаимного базисов ортогональны.

При изменении системы координат скалярное произведение векторов прямого базиса и взаимного базиса не меняется, поэтому можно записать их равенство и подставить в него

формулу преобразования прямого базиса, получим: d

= (p

pj′) = (piC

i′

pj′). Тогда формула преобразования взаимного

i′

= (pipj) =

базиса принимает вид

(1.11)

т.е. векторы взаимного базиса преобразуются контравариант- но к векторам прямого базиса.

Компоненты произвольного вектора во взаимном базисе окажутся ковариантными по отношению к прямому базису. Вместе с тем компоненты произвольного вектора в прямом и взаимном базисах – это два разных набора чисел. Однако эти два набора чисел представляют один и тот же вектор фактически в одной и той же системе координат.

Аналогичные рассуждения можно повторить для ортого- нальных осей x эти оси (обозначены чертой снизу, например – r

взаимного базиса pi и проекций вектора R на

), но здесь прямой базис и взаимный базис меняются ролями. Таким образом, получим два разных представления для одного и того же вектора и в этой системе координат. По каждой оси координат произ-

ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем

i i ii

ii i i

rprprprp= = = =R

r r rr= =R

вольный вектор имеет как контравариантные проекции в прямом базисе, так и ковариантные проекции во взаимном базисе. Следовательно, любой вектор R имеет четыре представления при его разложении в системе координат произвольного вида:

а поскольку pipi = 1 и pipi = 1, то получим, что инвариант – квадрат абсолютной величины вектора – можно представить двояко:

(1.12)

В декартовой системе координат представления квадрата абсолютной величины вектора в прямом и взаимном базисах совпадают. В многомерном пространстве, n-мерном, n чисел задают ковариантные или контравариантные проекции вектора в зависимости от закона преобразования при изменении системы координат.

1.5. Тензоры впространстве структуры

Рассмотрим понятия тензоров в пространстве структуры, а также применение тензорного метода в теории систем. Отличие пространства структуры состоит в том, что оно ограничено пределами элементов, которые соединяются своими границами, и при изменении соединений меняются размерности подпространств замкнутых и разомкнутых путей.

Пространство геометрии непрерывно, однородно и всюду плотно. Это верно для пространства Декарта, криволинейных пространств (Лобачевского, Римана), пространств с метрическим тензором, меняющимся от точки к точке. Пространство структуры дискретно, существует только вдоль выделенных ветвей, поверхностей и т.д. По этой причине свойства пространства структуры отличаются от пространства декартовой или римановой геометрии.

Тензорный анализ в пространстве геометрии рассматривает объекты, компоненты которых при изменении системы координат преобразуются линейно. Это непрерывное, однородное, изо-

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

тропное пространство. Непрерывное, поскольку пространство полностью заполнено точками, так что в окрестности каждой точки, между любыми соседними точками существует еще бесконечное множество таких же точек. Однородное – все точки одинаковы и равноправны, нет выделенных точек. Изотропное – все направления в пространстве равноправны, нет выделенных направлений.

Пространство структуры является подмножеством пространства геометрии; оно существует в ограниченных участках пространства. Системы состоят из элементов, т.е. участков пространства, которые имеют границы. Пространство структуры существует только в пределах элементов системы с их границами, поэтому оно дискретное, неоднородное. Направления заданы самими элементами, другие направления не рассматриваются, т.е. нет изотропии. Точки вне элементов не входят в пространство структуры.

Сеть есть множество элементов и структуры их соединений. Каждый элемент определяет одно независимое измерение в пространстве сети. В пространстве структуры проявляется свойство двойственности; в этом отличие от пространства геометрии. Это свойство состоит в том, что сумма метрических тензоров двух двойственных сетей постоянна при любом соединении элементов-ветвей. Двойственность состоит в том, что замкнутому пути в одной сети соответствует разомкнутый путь в другой сети, и наоборот. По этой причине сумма размерностей подпространств замкнутых путей и разомкнутых путей постоянна при изменении структуры, хотя в каждой сети из двойственных сетей эти размерности могут меняться.

В пространстве структуры понятия расстояния (метрики) и абсолютной величины вектора отличаются от этих понятий в геометрии. Различие состоит в том, что в геометрии абсолютная величина вектора инвариантна относительно преобразований координат в одном пространстве (поэтому они образуют группу), а в сети величина вектора становится инвариантом преобразования структуры двух двойственных сетей в двух пространствах.

В пространстве структуры координатами являются пути – линии вдоль элементов системы. Существуют пути двух видов. Замкнутые пути начинаются и заканчиваются в одной

ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем

точке, разомкнутые пути начинаются и заканчиваются в разных точках. Замкнутые и разомкнутые пути образуют два независимых подпространства, вместе они составляют пространство структуры. Множество путей в сети составляет векторное пространство, с понятиями базиса и взаимного базиса, матрицы преобразования путей образуют группу.

Движение состоит в изменении положения тела. Движение в непрерывном пространстве, как известно из механики, можно представить составленным из поступательного движения (параллельного переноса) и вращательного движения. Поступательному движению соответствует разомкнутый путь, а вращательному движению соответствуют замкнутый путь, таким образом, движение в пространстве имеет свойства пространства структуры.

При изменении структуры замыкаются и размыкаются границы элементов. Это приводит к тому, что замкнутые пути размыкаются, а разомкнутые пути замыкаются. Таким образом, меняется число независимых, базисных путей, меняется размерность их подпространств. Изменение размерности подпространств замкнутых и разомкнутых путей при изменении соединений отличает пространство структуры от обычного пространства. В двойственной сети замыканиям соответствуют размыкания, и наоборот. Таким образом, при уменьшении числа базисных путей в одной сети увеличивается их число в двойственной сети. Сумма размерности пространств замкнутых и разомкнутых путей в двойственных сетях остается постоянной.

Измеримые величины воздействия и отклика, характеризующие процессы в сети, заданы компонентами в координатахпутях в пространстве структуры. Измеримые величины преобразуются при изменении структуры сети линейно, с помощью матриц преобразования, подобно тензорам в геометрии. Изменение значений компонент процессов при изменении структуры получается как преобразование координат.

1.6. Области применения тензорного метода

Применение тензоров в пространстве структуры позволяет моделировать процессы и структуру систем разных предметных областей с помощью абстрактных сетей. Это системы из

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

соединенных элементов, в которых процессы протекают как отклики на воздействия при сопротивлении материи элементов. Исследовать поведение реальной системы при изменении структуры можно на сетевой модели. Анализ изменения структуры необходим для выбора вариантов проектирования, прогноза направлений развития системы, расчета поведения системы при аварийных ситуациях. Сложную систему для повышения эффективности расчетов можно разделить на части, рассчитать по частям и соединить решения частей в целое.

Тензор – это измеримая (объективно существующая) величина, которая не меняется от того, в какой системе координат она представлена. Линейность изменения компонент тензора при изменении системы координат показывает, что сам тен- зор при этом не меняется. Например, длина вектора не меняется от изменения системы координат, в которой он представлен, хотя его компоненты имеют разные значения.

Расширим понятие тензора. Рассмотрим систему общего вида с многомерными элементами и разными процессами; она применяется для моделирования технических, биологических или экономических систем. Ее «проекции» суть классы более простых абстрактных систем, например с одним видом процесса и структурой из одномерных ветвей.

Все системы одного класса рассматриваются как одна «обобщенная» система, а разные конкретные системы – как ее проекции в частные системы координат. Для них применяется один метод исследования, расчета, анализа. Процессы и структура – это две стороны состояния сложных систем разных предметных областей. Структура играет роль пространства, в котором процессы являются объектами. Объект остается тождественным самому себе при его представлениях с разных точек зрения (координат).

Среди систем каждого класса существует эталонная физическая система, где явно представлены процессы и структура. Такая система применяется для создания эквивалентных моделей других систем данного класса. Однако для каждого класса существует абстрактная математическая модель процессов и структуры, представляющая эталонную систему.

ГЛАВА 1. Тензорный метод втеории систем

Например, существует широкий класс систем, в которых протекает один процесс, а элементы суть одномерные ветви. Физическим эталоном для таких систем является электрическая цепь, где структуру определяют законы Кирхгофа, а электрический ток – закон Ома. Математической моделью этих систем, включая цепь, являются двойственные сети.

Может рассматриваться абстрактная система с двумя видами процессов и двумерными элементами. К таким системам относятся электрические машины, в которых протекают электромагнитные и механические потоки энергии в одномерных проводниках и через двумерные поверхности, представленные обмотками статора и ротора. Эталонной физической системой для электрических машин является обобщенная машина Г. Крона [14, 15].

Сетевая модель конкретной системы сама рассматривается как тензор, а различные структуры соединения элементов – это ее проекции в разные системы координат. Изменение соединений элементов есть переход от одной системы координат-путей к другой системе координат в пространстве одной сети. Компоненты величин процессов в сети при изменении координат преобразуются по линейным законам, как тензоры в геометрии. В пределах одной конструкции, одной структуры системы (сетевой модели) можно выбрать базис путей разными способами; переход между ними также есть преобразование координат.

В дальнейшем будем рассматривать системы с одним видом процессов и структурой, состоящей из одномерных линий. Системы из различных предметных областей, с аналогичным видом процессов и структуры можно представить в виде сетевых моделей. Создать такие модели позволяют аналогии процессов и структуры.

Таким образом, есть объект (система из элементов, соединенных структурой, с протекающими процессами), а есть различные «виды» этого объекта со своими свойствами. Конкретные виды объекта – это сетевые модели разных предметных областей. Для сетевых моделей каждой предметной области есть разные структуры соединения элементов, представленные цифровыми описаниями в системах координат путей. Сами пути в сети как системы координат можно выбрать произвольно.

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Например, есть объект «яблоко». Этот образ задан набором своих свойств. Реализациями объекта «яблоко» являются разные сорта яблок, которые сохраняют признаки яблока. Конкретными реализациями сорта являются экземпляры яблок различных размеров, формы, цвета. Для конкретного яблока есть фотографии, рисунки с разных точек зрения, т.е. в разных системах координат. Яблоко можно оцифровать с различной детализацией, загрузить в память ЭВМ и применять для учета, анализа, проектирования и других исследований. Детализация может состоять в числе и частоте точек, представляющих данный предмет. Данными являются координаты каждой точки, а также цвет, его интенсивность, твердость, количество сахара и других веществ, которые соответствуют каждой точке яблока.

Создание сетевой модели целесообразно начинать с наиболее простого примера исследуемой предметной области, с простой структурой, для которой расчет выполнить легко. Решение простой структуры преобразуется в решение сложной структуры с помощью матрицы преобразования путей, выражающей пути в сложной сети через пути в простой сети. Расчет сетевой модели начинается с наиболее простой сети, которой являются отдельные свободные элементы. Для сложных систем с большим количеством элементов в тензорном методе разработаны алгоритмы, которые обеспечивают разделение на части, параллельный расчет частей, а затем соединение решений частей в решение всей системы без итераций.

Таким образом, тензорный метод позволяет исследовать процессы сложных систем различных предметных областей с переменной структурой. Параметры процессов (воздействия, отклики) рассматриваются как проекции геометрических объектов (например, векторов потока энергии) в системы координат, определяемые независимыми путями в сети. Замкнутые и разомкнутые пути образуют два независимых ортогональных подпространства в сети. Замкнутые пути образуют базис для откликов при внутренних воздействиях. Разомкнутые пути образуют базис для откликов при внешних воздействиях. При изменении структуры меняются пути-координаты, и параметры процессов можно рассчитать как преобразование координат.

<<< < Предыдущая 1 23 / 213 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]