Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
21 1 2
7 0,222 7 0, 0 30 7 0,095 7 0, 28 3 7 0, 631
8 0,222 8 0,030 8 0,048 8 0,384 8 0,179
9 0,222 9 0, 06 1 9 0, 095 9 0,768 9 1,025
10 0,222 10 0,061 10 0,048 10 0,101 10 0,215
r r mr mr mrr
сс с с с
ii i i i=+++=
−−
=+++=
−
−−
i
c
1
= –0,152
i
=
b6
i
6
= 1,238
A
1ʹ
i
3
= –0,545
E
b8
b3
F
b1
i
c
7
= 0,631
i
5
= 1,238
b2
b10
b5
B
b7
4
b4
D
b9
Полные отклики в отдельных ветвях сети соединений получим аналогично:
Полученные результаты расчета токов в ветвях связанной
сети показаны на рис. 3.10.
161
c
4
0,429
c
ʹ
c
C
2
i
= 0,152
c
9
= 1,025
i
c
8
i
= 0,179
c
c
10
i
= 0,215
c
Рис. 3.10. Результаты расчета токов в ветвях соединенной сети
при заданных воздействиях
Проверим результаты расчета. Закон Кирхгофа для токов:
сумма токов, входящих в узел и выходящих из узла, равна
нулю, в узлах C и D выполнение очевидно:
m
1
3
7
• узел А: –
i
c
+ mi
+ mi
c
– mi
c
9
= –0,152 + 0,545 + 0,631 –
c
– 1,025= –0,001;
m
4
5
7
i
+ mi
• узел В: +
– 0,179 = –0,001;
+ 0,215 = 0,001;
• узел E: +
c
m
2
i
– mi
c
– mi
c
3
+ mi
c
– mi
c
8
+ mi
c
8
= –0,429 + 1,238 – 0,631 –
c
10
= 0,152 – 0,545 + 0,179 +
c
162
1 2 3
1 2 0 0 1 0,152 1 0,303
2 0 1 0 2 0,152 2 0,152
3 0 0 1 3 0,545 3 0,5 45
−−
×=
−−
4 5 6
4 3 0 0 4 0,429 4 1,286
5 0 1 0 5 1, 2 3 8 5 1, 238
6 0 0 2 6 1,238 6 2,476
×=
7 8 9 10
7 2 0 0 0 7 0,631 7 1,261
8 0 4 0 0 8 0,179 8 0,716
9 0 0 1 0 9 1, 025 9 1, 0 2 5
10 0 0 0 2 10 0,215 10 0,430
×=
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
4
6
9
• узел F: +mi
– mi
c
+ mi
c
– mi
c
10
= 0,429 – 1,238 + 1,025 –
c
– 0,215 = 0,001.
С точностью до округлений закон Кирхгофа выполняется,
расчет правильный.
Для проверки правильности результатов проведем расчет
напряжений на каждой ветви соединенной сети по закону Ома:
c
= Zαbi
е
α
α
. Матрица сопротивлений ветвей диагональная, по-
c
этому напряжение равно сопротивлению, умноженному на ток
в ветви.
Напряжения на ветвях сети 1 е
c
= Z11i
1
1
:
c
Напряжения на ветвях сети 2 е
Напряжения на ветвях сети соединений е
Результаты расчета напряжений на ветвях, а также значения соответствующих источников напряжения (ЭДС) показаны на рис. 3.11.
c
= Z22i
2
2
:
c
c
r
= Zrri
r
:
c
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
c
e
= 1,261
7
e
C
e
e
= 1
1
e2 = 2
c
= 0,152
2
c
= –0,303
1
b1
A
1ʹ
b
2
E
c
e
= –0,545
3
b
3
b
7
c
e
= 1,025
9
e
= 2
8
e10 = 1
= 2
e
7
c
= 0,716
e
8
= 1
e
9
b8
b
9
b10
e
c
= 0,430
10
e
b4
F
B
c
= 1,286
4
e
= 2
4
e5 = 2
4ʹ
e
= 1
6
c
e
= 1,238
5
b
5
b6
D
c
e
= 2,476
6
163
Рис. 3.11. Результаты расчета напряжений на ветвях
соединенной сети при заданных источниках
Второй закон Кирхгофа (ЗКН) – сумма напряжений (падения напряжения, разности потенциалов) по ветвям, составляющим каждый контур, равна сумме источников напряжения,
ЭДС, заданных на ветвях в этом контуре. Иначе говоря, сумма
ковариантных компонент вектора (откликов) в ветвях каждого контура связанной сети равна сумме ковариантных компонент вектора, которые были заданы в свободных ветвях, составляющих данный контур. Таким образом, закон Кирхгофа
для напряжений: сумма напряжений на ветвях и источников
напряжения в контуре равна нулю.
Для получения этого равенства в каждом контуре необхо-
димо сделать следующее:
• сложить ковариантные компоненты (напряжения) на всех
ветвях, которые входят в контур, с учетом их ориентации относительно контура. Компоненты (напряжения) ветвей, ориентированных против направления контура, входят в эту сумму
со знаком «минус», а те, которые ориентированы по направлению контура, входят в эту сумму со знаком «плюс»;
• подставить в эту сумму значения компонент (напряжений), полученных в результате расчета (отклики), с их знаками
«плюс» или «минус»; получим суммарное напряжение, падение напряжения в контуре (на ветвях контура), которое должны уравновесить источники напряжения, это первая сумма;
164
( ) ( ) ( )
+ + + = + ×= + ×=
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
• составить сумму заданных компонент вектора (источников напряжения, воздействий) с учетом их собственных знаков
«плюс» или «минус», т.е. ориентации относительно направления тех ветвей, в которых они заданы, а также с учетом знаков
ориентации самих ветвей относительно направления ориентации контура.
Получим сумму источников напряжения в контуре (или сумму источников воздействия), которая должна уравновесить падения напряжения на ветвях контура. Это вторая сумма, которая должна равняться первой сумме. Или, вычитая одну сумму
из другой, должны получить нуль по каждому контуру. С учетом сказанного проверим баланс напряжений в контурах данной сети для проверки правильности полученных результатов:
c
c
• контур 1′: е
+ е3 = +1 – 2 + 0;
+ е
2
• контур 4′: е
+ е6 = 2 + 1 + 2 = 5;
+ е
5
• контур 7′: е
+ 0,430 = 2 = е
7
• контур 8′: –е
+ е8 – е10 = –2 + 2 – 1.
= –е
4
+ е
1
c
+ е
4
c
– е
7
c
– е
+ е9 + е10 = 2 – 2 + 1 + 1 = 2. Или 2 – 2 = 0;
8
c
+ е
4
c
+ е
= –0,303 – 0,152 – 0,545 = –1 = е1 +
2
3
c
c
+ е
= +1,286 + 1,238 + 2,476 = 5 = +е4 +
5
6
c
+ е
8
c
– е
8
c
c
+ е
= 1,261 – 0,716 + 1,025 +
10
9
c
= – 1,286 + 0,716 – 0,430 = –1 =
10
Проверка по законам Кирхгофа показала, что расчет соединенной сети по частям выполнен правильно, без расчета сети
как целого.
В каждой ветви сумма тока в первой сети (подсети) и тока в
сети пересечений (изменений) равна току в соединенной сети,
например в ветви 1 данной сети:
1 1 11 12 1
m m mr
ii i i
сс с с
–1 4 13 12 11 –33 13 12 11
–5 33 –0,1515 .
= = =
21
i
с
Студентам предлагается проверить правильность этого для остальных ветвей данного примера на основании результатов расчета в простых дробях (для наглядности) и
десятичных дробях.
Постоянство мощности при расчете по частям. Рассмо-
трим мощности, созданные источниками напряжения, в сво-
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
04 5 6
= =+++ =
11
1 2 3
1 1 1 1 11 1 1
2 1 1 1 14 2 2 2 1 14
3 1 1 1 30 3 1
c
i
−−
=− − ×=
−−
165
бодных ветвях, в связанных подсетях и сети соединений, в
сети пересечений, в связанной сети. Вместе с десятичными
дробями будем использовать также простые дроби для точных
расчетов.
Мощность в простейшей сети состоит из суммы мощностей в свободных ветвях. Мощность равна произведению тока
и напряжения на ветвях. Мощность в подсети 1 в свободных
замкнутых ветвях c источниками напряжения:
P ei ei ei= + + = ×+×+ ×= =
01 2 3
0,5 1 2 2 0 0 4,5 9 2.
1123
m
Мощность в подсети 2 в свободных замкнутых ветвях с источниками напряжения:
2 456
m
P ei ei ei= + + =× +×+× = =
2 0, 67 2 2 1 0,5 5, 8 3 35 6.
Мощность в свободных замкнутых ветвях с источниками напряжения в сети соединений:
mr ms
P P ei ei ei e i
0 0 7 8 9 10
1 2 0,5 2 1 1 1 0,5 4,5 9 2.
=×+ ×+×+× = =
Сумма мощностей в сети из свободных замкнутых ветвях:
m m m mr
PPP P= + + =+ += =
12
000 0
Мощности в связанных подсетях и сети соединений. Токи
и напряжения на ветвях подсетей представим в виде простых
дробей.
Токи в ветвях подсети 1: i
Напряжения на ветвях подсети 1: Z1i
1 7 8 9 10
+
4,5 5, 83 4,5 14,83 89 6 .
1
1
= Y
c
е1:
c
1
c
= е
c
:
1
166
1 2 3
120011 12
2 0 1 0 2 1 14 2 1 14
30 0 1 3 1 3 1
−−
×=
−−
= × +×+ × =
12
4 5 6
4111 42 45
5 1 1 1 16 5 2 5 5 16
6111 61 65
c
i = ×=
4 5 6
4 3,0 0,0 0,0 4 5 4 15
5 0,0 1,0 0,0 5 5 1 6 5 5 1 6
6 0,0 0,0 2,0 6 5 6 10
×=
( )
1
7 8 9 10
7 1 1 1 1 72 7 2
811 11 82 82
19 19
9 1 1 1 1 91 9 2
10 1 1 1 1 10 1 10 2
r
c
i
−
− −− −
= ×=
−
−
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Мощность в подсети 1 от источников напряжения:
1 c1 c2 c3
m
P ei ei ei=++=
1c 2c 3c
с
–0, 5 –0, 25 0,25 0,25 –0, 25 –0,25 1 4 .
( ) ( ) ( ) ( )
2
В подсети 2 токи в ветвях равны 1i
= Y
с
21
е2:
c
2
Напряжения на ветвях подсети 2: Z2i
= е
c
c
2
:
Мощность в ветвях подсети 2 от источников напряжения:
2 c4 c5 c6
m
P ei ei ei= + + = × +×+× =
4c 5c 6c
с
5 15 5 5 5 10 36 25 6.
Токи в ветвях сети соединений, подсети r равны 1i
r
= Y
с
r1
еr:
c
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
7 8 9 10
72000 7 2,0 7 4
80400 8 2,0 8 8
19 19
9 0 0 1 0 9 2, 0 9 2
10 0 0 0 2 10 2,0 10 4
−−
×=
1
1 4 25 6 4 9 175 36 4,861111.
m ms m m mr
с с сс с
( )
–1
11
1 11 1
.
m mm m
cc t t
Z Y C CZ C C= =
Напряжения на ветвях подсети r: 1е
c
= Zri
r
167
r
:
c
s
рав-
с
r
с
Мощность в сети соединений r от источников напряжения mP
mr
= ×+ × +×+× =
4 2 –8 –2 2 2 4 2 81 4 9.
( )
c7 c8 c9 c 10
P ei ei ei e i=+++ =
7 c 8 c 9 c 10 c
с
( ) ( )
Сумма мощностей в двух сетях и сети соединений mP
на мощности в старой сети, т.е. в сети, состоящей из отдельных
подсетей:
12
PPPPP= = + + =+ += =
Мощность в сети изменений. Рассмотрим расчет мощности
в сети изменений, которая преобразует решение старой сети из
подсетей в решение новой сети, в которой подсети соединены
между собой. Токи изменения решения в ветвях, соответствующие блокам матрицы изменения решения при соединении подсетей, были получены выше в простых дробях.
Заметим, что в соответствии с алгоритмом расчета сети по частям, представленным формулой (3.94), сеть изменений, или сеть
пересечений, является двойственной по отношению к старой сети
из подсистем и новой, соединенной сети. В самом деле, при расчете матрицы изменений DY
(I – Y
1
Z) = YZ
с
1
, а оно, согласно инварианту двойственности, явля-
с
трижды используется выражение
c
ется матрицей решения сети, двойственной к сети пересечений:
:
Токи изменения решения Di1 в ветвях подсети 1 складывают-
mi11
ся из токов
от блока матрицы изменения DY
11
и токов mi1r
c
168
ii
( ) ( )
1 2 3
1 2 0 1 1 13 1 26
2 0 1 1 2 13 1 12 11 2 13 1 12 11
3 0 0 1 3 39 3 39
×−×=−×
−−
=×+×+× × ×=
сс
ii
−−
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
от блока матрицы изменения DY
1r
, который представляет связь
c
первой подсети с сетью соединений:
11 14
−
11 1
m mr
2 1 1 44 2 4 1 13
= = −
3 3 3 12
−
1 13
1 11 1
m mr
ii i
D= + = − ×
2 13 1 12 11
3 39
−
( )
При этом компоненты mi12 = mi21 = 0, поскольку: DY
21
= DY
ти 1: Dе
= 0. Получим напряжения изменения на ветвях подсе-
c
= Z11Di1:
1
Мощность изменения токов в подсети 1 при соединении в
сеть:
12
c
=
1123
m
P ei ei eiD =D D +D D +D D =
13 26 –13 –13 –39 –39 12 11 12 11
( )
( ) ( ) ( ) ( )
= ×=
123
( )( )
( )
169 12 121 0,116391.
( )
Токи изменения решения Di2 в ветвях подсети 2 складыва-
m
22
i
ются из токов
m
2r
i
от блока матрицы изменения DY
с
от блока матрицы изменения DY
с
2r
связи второй подсети с
c
сетью соединений:
41 41
22 2
m mr
5 1 1 14 5 1 1 3
= =
61 61
22
и токов
c
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
22 2
41 41
5 1 1 14 5 1 1 3
61 61
m mr
сс
ii
−−
= =
−−
× ×= ×
= × +×+× × × =
2 22 2
m mr
D= + = ×
ii i
сс
4 17
−
5 17 1 3 14
( )
6 17
169
Компоненты mi21 = 0, так как DY
ния в подсети 2 Dе
= Z22Di2:
2
21
= 0. Напряжения измене-
c
4 5 6
4 3 0 0 4 17 4 51
5 0 1 0 5 17 1 3 14 5 17 1 3 14
6 0 0 2 6 17 6 34
( ) ( )
−
Мощность изменения решения при соединении подсетей в
ветвях 4, 5, 6 подсети 2:
2 456
m
P ei ei eiD =D D +D D +D D =
–17 –51 17 17 17 34 3 14 3 14
( ) ( )
( )
=× ×= ×=
17 17 21 14 289 21 14 0,982993.
( ) ( ) ( )
456
( )( )
( )
Токи изменения решения Dir в ветвях сети r складываются
m
r1
i
из токов
от блока матрицы изменения DY
с
блока матрицы изменения DY
rr
изменения DY
сети соединений, они получены выше:
c
r2
и токов mi
c
r1
, токов mi
c
rr
от блока матрицы
с
с
r2
от
7 1 7 2 7 196
8 1 8 1 8 266
12
mr mr mrr
iii
ссс
−
= = = ×
9 2 9 2 9 532
10 2 10 1 10 70
1 33 1 21 1 21 33
−
−−
7 283
12
r mr mr mrr
ii i iD= + + = ×
ссс
8 278
9 556
10 5
−
1 21 33
( )
( )
170
× ×= ×
−−
)
( )
= ×+× +×+ × ×××=
12
0,116391 0,982993 1,621034 2,720418.
m m m mr
PP P PD =D +D +D =
=++=
= × + × + ×× =
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Напряжения изменения в сети r, соединяющей подсети 1 и 2
= ZrrDir:
Dе
r
7 8 9 10
7 2 0 0 0 7 283 7 566
8 0 4 0 0 8 278 8 1112
9 0 0 1 0 9 556 9 556
1 21 33 1 21 33
( ) ( )
10 0 0 0 2 10 5 10 10
Мощность изменения решения в ветвях 7, 8, 9, 10 сети со-
единений r:
mr
P ei ei ei e iD =D D +D D +D D +D D =
283 566 278 1112 556 556 –5 –10 21 33 21 33
( )
= ×× =
86 500 21 21 121 1,621034.
7 8 9 10
7 8 9 10
( ) ( )
(
Сумма мощностей изменения решения по всем ветвям под-
сетей:
Или получим точное значение в простых дробях:
m m m mr
PP P PD =D +D +D =
169 12 121 289 21 14 86 500 21 21 121
( ) ( ) ( )
580 657 21 21 121 4 7541 11 9 7 4 .
= × × × = ×××
( ) ( )
12
Мощность в соединенной сети. Расчет мощности в связанной сети из соединенных подсистем c источниками напряжения
представим в виде таблицы (табл. 3.2), где в верхней строке –
номера ветвей, во второй – значения тока в каждой ветви, в третьей строке – значения напряжений, а под ними – мощность
по каждой ветви. Значения токов и напряжений даны числителями простых дробей, значения знаменателей которых везде
одинаковые и равны 693.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]