Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы. Учебник
.pdf
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
.
t
Z CZ C
αb
′′ ′
′
α b α αb
b
=
,I YE
α αb
b
=
Подставляя сюда (3.4) и (3.7), получим формулу преобразования метрического тензора при переходе от старой сети к новой сети:
91
(3.9)
Источник воздействия в сети для замкнутых путей задают
ковариантные компоненты, например источники напряжения
. Тогда контравариантные компоненты являются откликом,
e
α
в электрической цепи это токи в ветвях i
определяется решением уравнения (3.8) с метрикой Z
α
. Величина откликов
. Базис
αb
составляют независимые замкнутые пути, а преобразования
m
структуры обеспечивает матрица
C. Это контурный метод
расчета цепи.
Узловые сети – разомкнутые пути. Вектор в базисе разомкнутых путей представлен ковариантными E и контравариантными I компонентами; они обозначены заглавными буквами,
чтобы отличать их от компонент в замкнутых путях. Воздей-
α
ствие – компоненты I
тока, а компоненты E
, в электрической цепи это источники
– отклик, в цепи это напряжение.
α
Ковариантные и контравариантные компоненты вектора
связывает обратный метрический тензор. В электрической цепи
αb
это матрица проводимости, Y
= (Zαb)–1. Компоненты отклика,
напряжения на ветвях цепи, получаем из решения уравнения
(3.10)
где Y – аналог матрицы проводимостей.
пути, а преобразование структуры обеспечивает матрица
В электротехнике этому соответствует узловой метод расчета
цепи.
одинаковую форму для любой структуры соединения элементов
(в форме закона Ома). Наиболее простая сеть – это отдельные
свободные ветви. Преобразование к связанной сети (величины
В этом случае базисом являются независимые разомкнутые
j
А.
Предполагается, что уравнения поведения системы имеют
92
.e Zi
′
b
′ ′′
α αb
=
( )
–1
.
mm m
t
i CZ C Ce
′
b αb α
′′
′
α αb α α
b
=
( )
–1
.
m mm m m
сt t
t
i C i C CZ C Ce
′
b αb α α b α
′
α α α αb α α
b
= =
( )
–1
.
mm m m
ct
t
Y C CZ C C
αα b α
′′ ′
′
α α αb α
b
=
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
обозначим штрихом) выполняют матрицы преобразования пу-
m
C или jA.
тей
Пусть имеются свободные ветви-контуры с уравнением (3.8)
= Zαbib. Соединим ветви в новую связанную сеть, уравнение
e
α
поведения которой
Матрица
m
C выражает базисные пути в связанной сети че-
(3.11)
рез пути в свободных ветвях. Подставим в (3.11) формулы (3.4),
(3.7) и (3.9) и, решая это матричное уравнение, получим токи
в базисных контурах связанной сети через воздействия в свободных ветвях:
(3.12)
Перейдем от откликов (токов) в путях-контурах к измери-
мым величинам в отдельных ветвях связанной цепи, которые
b
обозначим i
Выражение перед вектором источников e
обозначено как Y
:
с
(3.13)
в подразделе 2.5
α
и названо «матрица решения». Это метри-
c
ческий тензор связанной контурной сети:
(3.14)
Умножение матрицы решения Y
воздействия сразу дает отклики в ветвях связанной сети. Для
контурной электрической цепи воздействие – это источники
напряжения ЭДС e
на каждой ветви e
данс на ток в ветви: e
, а отклики – токи в ветвях i
α
с
связанной сети получим, умножая ее импе-
α
с
= Zαbi
α
Вектором в электрической цепи является поток энергии.
Квадрат его величины измеряет мощность (энергия в единицу
времени). Мощность в простейшей цепи
на произвольный вектор
c
α
. Напряжение
с
b
.
с
m
P0 = i
α
eα0 равна сум-
0
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
–1
.
jj j j
ct t
Z A AY A A
′ ′′ ′ ′
α α αb b b
αα b b
=
93
марной мощности источников напряжения. Мощность в ветвях связанной цепи равна сумме произведений напряжений на
m
токи:
Pc = e
в замкнутых базисных путях:
α
с
i
. Эта мощность также равна сумме мощностей
с
α
m
Pc = eα′iα′ = mP′.
Таким образом, получили уравнения контурного метода
расчета цепи для источников ЭДС, заданных в свободных зам-
кнутых ветвях.
Воздействия и отклики в сети, например токи и напряжения
в электрической цепи, должны подчиняться законам Кирхгофа
(сумма токов в узле равна нулю, сумма напряжений по контуру
равна нулю). Это является проверкой правильности решения.
В сети двойственны (в смысле взаимного дополнения) замкнутые и разомкнутые пути, токи и напряжения, сопротивления и проводимости. Такими двойственными заменами получим
уравнения решения сети для базиса разомкнутых путей. Матри-
m
C заменяется матрицей jA, а матрица Z – матрицей Y = Z–1.
ца
Метрический тензор связанной узловой сети обозначим Z
и на-
c
зовем, как и подразделе 2.5, матрицей решения узловой сети:
Умножение Z
отклики в ветвях связанной сети. Для электрической цепи воздействием является вектор источников тока I
бодных разомкнутых ветвях, а отклики – напряжения на ветвях связанной сети E
Мощность, рассеиваемая в простейшей цепи
равна сумме мощностей источников тока. Мощность в ветвях
связанной цепи
зисных путях:
j
j
Pc = Eα′Iα′ = jP′. Таким образом, получены ма-
трицы решения замкнутых и открытых сетей, контурных
и узловых цепей.
Рассмотрим физический смысл перехода от свободной сети
к связанной сети. Для расчета откликов на воздействия необходимо перемножать и обращать матрицы, умножать матрицу
на вектор. Например, для расчета контурной сети есть шесть
этапов преобразования компонент e
(3.15)
на произвольный вектор воздействия дает
c
b
, заданных в сво-
с
.
α
Pc = E
с
α
I
равна мощности в разомкнутых ба-
α
с
0
вектора потока энергии
α
j
P0 = I
α
Eα0,
0
94
0mm
e Ce
b
′
′
bb
b
=
mm
t
Z CZ C
αb
′′ ′
′
α b α αb
b
=
( )
( )
–1
1
mm
t
Y Z CZ C
−
′′
αb α b
′′ ′
′
α b α αb
b
= =
( )
–1
m m m m mm
t
i Y e CZ C C e
′ ′′
α αb α b b
′′ ′
′
b α αb b b
b
= =
m mm
ct
i Ci
′
α αα
′
α
=
mm
cc
e Zi
αα
αb
=
( )
( )
–1
00
–1
00
0
,
m m m m mm m
сt c
m m jj j j m
cc t t
d C CZ C C d Y d
ZdYZYdYA AYA AY d
ααα b b
′′
′′
α α αb b b
bb
′′ ′ ′
b αb α α αb b b αb
b αα b b b
= = =
= = =
m
параметры которых заданы тензором Z
компоненты
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
d (электрической энергии) в свободных ветвях, метрические
α
и
с
1)
, в компоненты mi
m
α
e
вектора в связанных ветвях:
с
αb
– ковариантные компоненты в базисных
контурах связанных ветвей;
2)
– метрический тензор собственных и
взаимных импедансов базисных контуров связанной сети;
3)
– обратный метрический
тензор для базисных контуров связанной сети;
4)
ные компоненты вектора
m
d в базисных контурах связанных
– контравариант
ветвей;
5)
m
d в ветвях связанной сети, т.е. это измеримые величины, пред-
– контравариантные компоненты вектора
ставляющие решение задачи;
6)
– ковариантные компоненты вектора md в
ветвях связанной сети.
Эти этапы выполняются при расчете сети с любыми исходными параметрами и дают компоненты вектора потока энергии в связанной сети, как, например, в (3.13). Здесь нет расчета матрицы решения, а есть умножение матрицы на вектор,
что снижает объем вычислений.
Для двойственной сети формулы расчета компонент вектора и матриц решения получаются двойственной заменой всех
понятий. Фактически это приводит к тому, что формулы расчета для данной сети и двойственной сети просто меняются местами, например:
где через Yc обозначена матрица решения для вектора, задан-
ного в контурах двойственной сети.
Сумма произведений ковариантных и контравариантных
компонент по каждому измерению (каждой ветви) равна квадрату абсолютной величины вектора. В электрической цепи
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
0 00 0
tt
′
95
этому соответствует мощность. Таким образом, мощность есть
квадрат абсолютной величины вектора потока энергии, в данном случае – электрической энергии.
Представленные этапы выполняются при расчете сети с лю-
быми исходными параметрами. Аналогично с двойственной заменой всех понятий получаются этапы расчета узловой сети.
Студентам предлагается получить их самостоятельно.
Для двойственной сети формулы расчета компонент вектора и матриц решения получаются двойственной заменой всех
понятий. Формулы контурного и узлового методов расчета данной сети для двойственной сети меняются местами. Источникам тока в цепи соответствуют равные по мощности источники
напряжения в двойственной цепи, и наоборот.
3.2. Постоянство рассеиваемой мощности
вдвойственных цепях
В электрической цепи с источниками тока или напряжения
инвариант двойственности проявляется как постоянство суммы
рассеиваемых мощностей в замкнутой системе двух двойственных сетей при любой структуре соединения их ветвей. Это одно
из проявлений закона сохранения потока энергии. Постоянство (инвариант) суммы мощности соответствует инварианту
двойственности, представленному в соотношениях (2.20), (2.21)
и (2.22)–(2.25) отдельно для замкнутых и разомкнутых путей
в двух двойственных сетях.
Рассмотрим изменение мощности при переходе от свободных замкнутых ветвей к связанной цепи и двойственной цепи
при возбуждении источниками напряжения.
Мощность в замкнутых свободных ветвях
произведений в каждой ветви напряжений e
m
P0 = e0i0 = e0Z–1e0 (индексы для краткости опустим).
т.е.
Мощность
m
P′ в замкнутых базисных путях связанной
цепи равна сумме произведений в каждом контуре напряжений e
= mCe0 на токи iα′ = (mCZmCt)
α′
–1 m
Ce0:
m
P0 равна сумме
на токи i0 = Z–1e0,
0
m
P e i ei
m mm m m mm m
Ce CZ C Ce e C CZ C Ce
= =
( ) ( ) ( )
–1 –1
t tt
α
′ ′′
= = =
′
tt
α
(3.16)
.
96
0 00 0
′
α
0
.
m mm
P PP
′′
= +
0 00 0
0 00 0
=+=
0
.
j jj
cc
PPP= +
( )
00
2,
mj mj
cc
PP PP+= +
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Здесь используется свойство транспонирования матриц, например для матриц K и M имеем (KM)
m
Мощность
P′ в замкнутых базисных путях связанной двой-
= MtKt.
t
ственной цепи равна сумме произведений напряжений e
mCα
e0 на токи iα′ = (mCZmCt)
=
α′
m
P ei
( ) ( )
t t t tt t
m mm m j j j j
e C CZ C Ce e A AY A Ae
= =
–1 –1
–1 m
′
= =
′
α
t
Ce0 в каждом контуре:
.
(3.17)
=
α′
Здесь e
= Z–1e0. Мощность в свободных ветвях равна сумме
0
мощностей в базисных замкнутых путях данной цепи и двойственной цепи, т.е.
(3.18)
Подставляя выражения мощностей через токи и напряжения, получим
–1
e Z e e Ye
tt
0 000
m mm m m mm m
e C CZ C Ce e C CZ C Ce
e C CZ C Ce e Y A AY A AYe
= +
( ) ( )
ttt ttt
m mm m j j j j
( ) ( )
tt t t t t
–1 –1
–1 –1
= =
.
Сравнивая с (2.24), видим, что это выражение соответствует инварианту двойственности. Метрические тензоры умножены справа и слева на вектор воздействия в замкнутых путях
данной цепи и двойстве,нной электрической цепи.
Аналогичный закон выполняется как постоянство суммы
мощностей в разомкнутых путях данной цепи и двойственной
электрической цепи:
(3.20)
Аналогичные законы существуют также для замкнутых и
разомкнутых путей данной цепи:
(3.21)
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )
00
2,
mj mj
cc
PP PP+= +
00 00
.
mj mj mjmj
cc cc
PP PP PP PP+= += ++ +
и для замкнутых и разомкнутых путей двойственной цепи:
97
(3.22)
Все эти соотношения представляют собой частные случаи
общего закона постоянства суммарной мощности в двух двойственных цепях при любом соединении их ветвей:
(3.23)
Итак, «при любых способах соединения ветвей в электрической цепи суммарная мощность, рассеиваемая в цепях с данной и двойственной структурой, есть величина постоянная»
[18, с. 101].
Простейшей сети с замкнутыми ветвями и источниками напряжения соответствует простейшая двойственная сеть с разомкнутыми ветвями и источниками тока. Не имеет значения
расположение источников тока и напряжения. Источник тока
в замкнутой ветви не может создать поток энергии, поскольку
для него нет двух узлов входа и выхода, разность потенциалов
между которыми могла бы создать напряжение отклика. Источник напряжения в разомкнутой ветви не может создать потока энергии, поскольку для него нет замкнутого пути, по которому мог бы протекать ток отклика.
В зависимости от того, заданы в цепи источники тока или
напряжения, или и те, и другие, возникают отклики в разомкнутых или замкнутых путях, или и те, и другие вместе. При
этом источники тока и напряжения могут располагаться в данной цепи или в двойственной цепи. В зависимости от их расположения выполняются или одно из соотношений, перечисленных выше – (3.18)–(3.22), или общая формула (3.23).
Студентам предлагается самостоятельно получить
подробные формулы вида (3.19) для формул (3.20)–(3.22),
а также для (3.23).
Независимость величин в разомкнутых и замкнутых
путях. Независимость разомкнутых и замкнутых путей, ор-
тогональность их матриц преобразований показана в главе 2.
98
0
0
0
.
n
m
j
C
C
C
α
α
α
=
0 00
.
mj
mj
A n AA
α αα
=
( )
mm
jj
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Отсюда следует независимость тока и напряжения в разомкнутых или замкнутых путях в одной ветви.
0
Матрица преобразования C
которые соответствуют замкнутым путям
j
0
C
путям
:
α
состоит из двух подматриц,
α
m
0
C
и разомкнутым
α
В строках
m
0
C
ненулевые элементы перечисляют ветви, кото-
α
(3.24)
рые составляют данный контур, с учетом их ориентации. В стро-
j
0
C
ках
ненулевые элементы перечисляют ветви, составляющие
α
разомкнутые пути, с учетом их ориентации.
Матрица обратного преобразования (C
0
)–1 = A
α
α
также со-
0t
стоит из двух подматриц:
Заметим, что подматрица
m
(3.25)
α
A
0
= jC
0
состоит из столбцов
α
разомкнутых путей в двойственной сети; ненулевые элементы
показывают ветви, составляющие разомкнутые пути. Подматрица
α
A
0
= mC
0
состоит из столбцов замкнутых путей в двой-
α
j
ственной сети; ненулевые элементы показывают ветви, со-
ставляющие контуры.
Произведение этих обратных матриц можно представить как
произведение подматриц:
0
αα
CA
αα
n
0
m
C
= = =
α
j
0
C
α
mj
αα
mj
n AA
00
=d=
0
t
mj
00
mm m j
( ) ( )
jm j j
C A CA
( ) ( )
αα
C A CA
αα
00
αα
,
00
αα
,
00
10
01
.
(3.26)
Таким образом, ортогональность матриц преобразования C
и A обеспечивает независимость замкнутых и разомкнутых пу-
ГЛАВА 3. Расчет сетей тензорным методом
( )( )
( ) ( )
.
mc j c m j
c cc
mcm j cj mcj j cm
ccc c
j m m cj j cm
cc c c
P eE iI
e i EI eI E i
P P eI E i
αα
αα
ααα α
αααα
αα
αα
= + +=
=+++=
=++ +
( ) ( )
( ) ( )
( )
–1 –1
0, 0.поскольку
m cj m m m m j j j j
ct t t t
mm m jj j m mm jj j
t tt tt t
t
t
m m mj j j mj
tt t
t
e I Z C CZ C Ce Y A AY A AI
C Y Ce Z Y A Z AI e C Y C A Z AI
e Y C CA Z AI CA
αα
αα
αα
αα
α
α
= =
′ ′ ′′
= = =
′′
= = =
99
тей, а также независимость потоков, которые протекают в одной ветви, но относятся к путям разного вида. Покажем это
на примере. Если одновременно заданы внутренние источники
и внешние источники Iα, то откликами на них в каждой вет-
e
α
ви станет сумма разностей потенциалов
m
α
+ jI
c
α
. Следовательно, в каждой ветви будет рассеиваться
c
i
m
c
+ jE
α
c
и сумма токов
α
e
мощность, равная:
Получается, что к сумме мощностей от внутренних и внешних источников добавляются два «перекрестных» члена. В каждой ветви это произведение узлового тока на контурное напряжение плюс произведение контурного тока на узловое напряжение,
которые могли бы увеличивать значение данного показателя.
Однако в силу ортогональности матриц преобразования «перекрестные» члены равны нулю. Действительно, подставим вместо
токов и напряжений их выражения через матрицы преобразования. Для первого «перекрестного» члена получим выражение,
которое преобразуем, используя указанное выше правило транспонирования матриц (KM)
= MtKt:
t
Равенство mCjAt = 0 следует из соотношения (2.26), где представлены свойства произведения ортогональных матриц преобразования путей. Предполагается, что матрицы Z и Y симметричные (как следствие закона сохранения энергии в системе).
Аналогично и второй «перекрестный» член равен нулю. Следовательно, совокупная мощность, рассеиваемая в ветвях свя-
100
( )
2
22
2,
с с с с сс
Р Z I i ZI Zi ZI i= += ++
( ) ( )
–1 –1
,
j j j jm mm m
сс t t t t
I i A AY A AI C CZ C Ce=
ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
занной сети от внешних и внутренних источников, равна сумме
мощностей, которые эти источники рассеивают в сети по отдельности. Из этого следует, что в любой ветви измеримая величина, возникающая как отклик на внешний источник тока,
«не замечает» тока, если он возникает в той же ветви как отклик на внутренний источник напряжения. Аналогично с контурным напряжением и узловым током [19, гл. 4].
Можно более простыми рассуждениями показать, что узловые и контурные токи не зависят друг от друга. Если есть
внешние (токи I) и внутренние (напряжения e) источники воздействия, то рассеиваемая мощность Р в сети равна:
где Iс – вектор узловых токов;
– вектор контурных токов отклика в ветвях сети;
i
с
первые два слагаемых – мощности в узловой
и контурной сети;
третий член равен нулю, поскольку:
где после перестановок получим mC
Двойственность и независимость замкнутых и разомкнутых путей в сети позволяет применять это свойство для создания сетевых моделей систем, в которых существует два независимых процесса, например в сетевой модели экономической
системы производства продукции, в которой узловые и контурные токи дополняют друг друга до значений, соответствующих потокам продуктов, или когда протекают потоки механической и тепловой энергии в одной технической системе,
например ректификационной колонне.
3.3. Примеры расчета контурных иузловых сетей
Пример расчета контурной и узловой сети с единичной
метрикой, а также двойственной сети. Рассмотрим сначала
j
А = 0 в силу (2.26).
t
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]