Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
А.Н. Велигура
КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ ГРАФОВ
ДЛЯ КИБЕРБЕЗОПАСНОСТИ
Учебное пособие
Конспект лекций
Москва 2021
УДК 519.854:004.056
ББК 22.176я7
В 27
Велигура А.Н. Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности:
Учебное пособие. Конспект лекций [Электронный ресурс]. М.: НИЯУ
МИФИ, 2021. – 200 с.
Настоящий курс лекций предназначен для студентов, которые специализируются в областях, связанных с информационной безопасностью, а
также для преподавателей дискретной математики.
В лекциях рассмотрены основные понятия дискретной математики,
относящиеся к комбинаторному анализу, включая разбиения множеств и
чисел, системы инцидентности, графы, частично упорядоченные множества, формальные ряды и производящие функции. Изложены некоторые
методы решения перечислительных задач дискретной математики, включая получение асимптотических оценок.
Доступный, но строгий с научной точки зрения язык изложения, а
также большое количество примеров и задач позволят слушателям освоить курс комбинаторики и теории графов и эффективно подготовиться к
изучению дисциплин кибербезопасности.
Подготовлено в рамках Проекта по созданию и развитию Международного научно-методического центра НИЯУ МИФИ.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры ИУ8
«Информационная безопасность» МГТУ им. Н.Э. Баумана
А.А. Варфоломеев
Рекомендовано к изданию кафедрой № 42
«Криптология и кибербезопасность» НИЯУ МИФИ
ISBN 978-5-7262-2836-5 © Национальный исследовательский
ядерный университет «МИФИ», 2021
© А.Н. Велигура, 2021
Редактор Е.Е. Шумакова
Подписано в печать 18.01.2022. Формат 60х84 1/16.
Уч.-изд.л. 12,5. Печ.л. 12,5. Изд. № 046-1.
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».
Типография НИЯУ МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш., 31.
2
Содержание
Список сокращений ............................................................................... 7
Введение ................................................................................................. 8
Лекция 1. Множества, подмножества и их отображения .................. 9
1.1. Основные определения, обозначения и свойства ........................ 9
1.2. Размещения, перестановки, сочетания ....................................... 10
1.2.1. Размещения и перестановки . ............................................ 10
1.2.2. Сочетания ............................................................................ 11
1.2.3. Сочетания как отображения. ............................................. 14
1.3. Мультимножества. Сочетания с повторениями ........................ 15
1.4. Отображения конечных множеств. ............................................. 17
1.5. Разбиения множеств. Числа Белла. ............................................. 21
Лекция 2. Разбиения чисел и системы множеств ............................. 24
2.1. Разбиения чисел ............................................................................ 24
2.1.1. Упорядоченные и неупорядоченные
разбиения чисел .................................................................. 24
2.1.2. Диаграммы Ферре разбиений чисел ................................. 25
2.2. Системы множеств ....................................................................... 29
2.2.1. Основные определения и обозначения ............................. 29
2.2.2. Конфигурации ..................................................................... 30
2.2.3. Матрицы Адамара .............................................................. 32
Лекция 3. Графы .................................................................................. 37
3.1. Основные определения и обозначения. ...................................... 37
3.2. Свойства матрицы инцидентности графа .................................. 38
3.3. Некоторые перечислительные задачи,
относящиеся к помеченным графам ........................................... 40
3.4. Пути в графах ............................................................................... 41
3.5. Связь путей в графе со степенями матрицы смежности. .......... 44
3.6. Полные графы, клики, хроматическое число графа. ................. 45
Лекция 4. Специальные виды графов ................................................ 47
4.1. Двудольные графы ....................................................................... 47
4.2. Эйлеровы и гамильтоновы графы ............................................... 48
4.3. Деревья .......................................................................................... 50
4.4. Цикломатическое число графа .................................................... 53
3
Лекция 5. Частично упорядоченные множества. .............................. 55
5.1. Основные определения и свойства ............................................. 55
5.1.1. Определения и примеры .................................................... 55
5.1.2. Декартовы произведения цепей и структура
множества подмножеств конечного множества,
упорядоченных по включению ......................................... 60
5.1.3. Структура частично упорядоченного множества
натуральных числа, упорядоченные по делимости ........ 60
5.2. Теоремы Дилуорса и Кенига ........................................................ 62
Лекция 6. Алгебры инцидентности .................................................... 67
6.1. Основные определения и свойства ............................................. 67
6.2. Обращение Мебиуса .................................................................... 72
6.3. Метод включения-исключения ................................................... 80
6.3.1. Постановка задачи и основная теорема. ........................... 80
6.3.2. Неравенства Бонферрони. ................................................. 83
Лекция 7. Формальные ряды и производящие функции .................. 88
7.1. Формальные степенные ряды. Производящие функции .......... 88
7.2. Формальные экспоненциальные ряды.
Экспоненциальные производящие функции ............................. 94
7.3. Формальные ряды Дирихле.
Производящие функции Дирихле ............................................... 99
Лекция 8. Коэффициенты рядов и редуцированные алгебры
инцидентности .................................................................. 102
8.1. Коэффициенты рядов. Биномиальные коэффициенты.
Полиномиальная аргументация ................................................ 102
8.2. Числа Стирлинга ........................................................................ 105
8.3. Редуцированные алгебры инцидентности.
Связь с формальными рядами ................................................... 110
8.3.1. Редуцированная алгебра инцидентности
частично упорядоченного множества C(∞) ................... 110
8.3.2. Редуцированная алгебра инцидентности
частично упорядоченного множества
подмножеств счетного множества ................................. 112
4
8.3.3. Редуцированная алгебра инцидентности множества
натуральных чисел, частично упорядоченного
по делимости .................................................................... 115
Лекция 9. Использование формальных рядов
и производящих функций ................................................ 117
9.1. Задача о расстановке скобок ..................................................... 117
9.2. Экспоненциальная производящая функция
для чисел Белла. Формула Добинского .................................... 120
9.3. Производящие функции чисел сочетаний и разбиений. ......... 121
9.3.1. Производящая функция для индикаторов
подмножеств множества целых
неотрицательных чисел ................................................... 121
9.3.2. Производящая функция для чисел сочетаний ............... 121
9.3.3. Производящая функция для чисел сочетаний
с повторениями ................................................................. 122
9.3.4. Производящая функция числа разбиений...................... 122
9.3.5. Производящая функция числа разбиений
на различные слагаемые .................................................. 125
9.3.6. Производящая функция разности между числами
разбиений числа n с четным и нечетным
числом слагаемых ............................................................ 125
9.4. Мультисекция степенного ряда ................................................ 127
9.5. Обращение степенного ряда. Пример использования ............ 131
9.5.1. Формула обращения степенного ряда ............................ 131
9.5.2. Подсчет числа корневых помеченных деревьев ............ 133
9.6. Формальные ряды и производящие функции
многих переменных .................................................................... 136
Лекция 10. Рациональные производящие функции
и линейные рекуррентные последовательности ......... 138
10.1. Основная теорема о рациональных функциях ...................... 139
10.2. Дополнительные результаты, примеры
и частные случаи ...................................................................... 144
10.2.1. Другие рекуррентные соотношения
для данной линейной рекуррентной
последовательности .................................................... 144
5
10.2.2. Общий случай рациональной
производящей функции .............................................. 146
10.2.3. Случай различных корней характеристического
многочлена ................................................................... 147
10.2.4. Случай, когда все корни характеристического
многочлена равны 1 .................................................... 149
10.3. Периодические последовательности
и линейные рекуррентные последовательности ................... 150
10.4. Линейная сложность последовательности.
Алгоритм Берлекэмпа–Мэсси ................................................. 151
10.5. Линейные автономные автоматы
и их выходные последовательности ....................................... 155
10.6. Метод трансфер-матрицы ........................................................ 161
10.6.1. Описание метода .......................................................... 161
10.6.2. Примеры применения метода трансфер-матрицы .... 162
Лекция 11. Асимптотические оценки
и вероятностные методы ............................................... 168
11.1. Основные обозначения ............................................................ 168
11.2. Асимптотическая оценка членов
рекуррентных соотношений .................................................... 169
11.1.1. Линейные рекуррентные соотношения ...................... 169
11.1.2. Нелинейные рекуррентные уравнения ....................... 170
11.3. Асимптотическое оценивание сумм
c помощью интегралов ............................................................ 175
11.4. Использование вероятностных методов
в комбинаторном анализе ........................................................ 178
11.4.1. Использование вероятностных методов
для доказательства существования объектов
с заданными характеристиками ................................. 178
11.4.2. Использование вероятностных методов
для получения асимптотических оценок
числа объектов ............................................................. 183
11.4.3. «Почти все графы» ....................................................... 192
Список литературы ....................................................................... 200
6
Список сокращений
–
–
В настоящем отчете применяются следующие термины с соответствующими сокращениями:
– формальный степенной ряд;
ФСР
ФЭР
ФРД
ПФ
ЭПФ
ПФД
формальный экспоненциальный ряд;
– формальный ряд Дирихле;
производящая функция;
– экспоненциальная производящая функция;
– производящая функция Дирихле.
7
Введение
Комбинаторика, особенно перечислительная, занимающаяся
подсчетом числа элементов в конечных множествах тех или иных
объектов, а также теория графов являются одним из основных рабочих инструментов при решении математических задач, возникающих в ходе решения задач анализа алгоритмов защиты информации.
Перечислительная комбинаторика в настоящее время представляет собой развитую научную дисциплину, методы и результаты
которой применяются в других областях математики, информатики
и смежных дисциплин. Аппарат и язык теории графов широко
применяются в программировании, химии, схемотехнике, коммуникационных и транспортных системах, в решении экономических
и управленческих задач и в других областях. Методы перечислительной комбинаторики и теории графов используются при анализе
современных алгоритмов и протоколов защиты информации, в том
числе криптографических.
8
Лекция 1. МНОЖЕСТВА, ПОДМНОЖЕСТВА
И ИХ ОТОБРАЖЕНИЯ
Исследуются конечные множества и их отображения. Рассматриваются размещения, перестановки, сочетания, мультимножества,
отображения и разбиения конечных множеств, их число и связи
между ними. Для числа подстановок с данным числом циклов и
числа разбиений множества на данное число блоков получены рекуррентные формулы.
Ключевые слова: конечное множество, мощность множества,
упорядоченное множество, размещение, перестановка, сочетание,
мультимножество, подстановка, разбиение множества.
Введение. В данной лекции будут рассматриваться подмножества конечного множества (упорядоченные и неупорядоченные),
формулы для их числа. Будет указана связь между подмножествами конечного множества и отображениями его в двухэлементное
множество, и как обобщение этой связи будут определены множества с повторениями элементов (мультимножества) и найдена формула для мультимножеств с данным числом элементов. Будет рассмотрен общий случай отображения конечных множеств, для отображения конечного множества в себя описана его структура. Будет
предложен подход к получению рекуррентных формул для числа
исследуемых объектов на примере числа подстановок с данным
числом циклов и числа разбиений множества на данное число блоков.
1.1. Основные определения, обозначения и свойства
Счетные и конечные множества и их отображения – основной
объект изучения дискретной математики.
Пусть
{ , , ..., }
Sss s
12
Будем называть его основным, или базовым, множеством. Если нас
интересуют свойства его подмножеств, то природа элементов множества значения не имеет, поэтому в большинстве случаев можно
будет считать, что
(индексами).
– некоторое множество из n элементов.
n
{1, 2, ..., },Sn
заменяя элементы их номерами
9
Будем использовать следующие обозначения:
M
f
ℕ – множество натуральных чисел;
ℕ
– множество целых неотрицательных чисел;
0
ℤ – множество целых чисел;
ℚ – множество рациональных чисел;
ℝ – множество действительных чисел;
ℂ – множество комплексных чисел.
Важнейшими характеристиками множества являются его мощность, а также наличие или отсутствие упорядоченности.
Определение 1.1.1. Мощность конечного множества – это
число элементов в нем.
Мощность множества X обозначим
.X
Если
,Xk
то множе-
ство X будем называть k-множеством.
Множества могут быть упорядочены или не упорядочены.
Упорядоченная пара (a, b) есть множество {a, {a, b}}. Упорядоченное множество определяется индуктивно:
( , ( , ..., )).
aa a
12
Пример 1.1.1.
n
Множества {1, 2, 10} и {3, 1, 10} представляют
( , , ..., )
aa a
12
n
собой одно и то же неупорядоченное множество, но упорядоченные множества (1, 3, 10) и (3, 1, 10) не равны между собой.
Пусть M, N – конечные множества, f – некоторое отображение M
в N. Отображение f можно записать в виде двустрочной таблицы:
... ...
a
... ( )...
fa
где в первой строке выписаны все ,aM под которы-
,
ми записаны значения функции (отображения) от них. Если множество M каким-то образом упорядочено,
жение f можно записать строкой (словом):
( , ..., ),
aa
1
( ) ... ( ).
afa
1
то отобра-
m
m
1.2. Размещения, перестановки, сочетания
1.2.1. Размещения и перестановки
Определение 1.2.1. Размещением m элементов из S называется
упорядоченное m-подмножество множества S.
Если S – n-множество, то говорят о размещениях из n по m.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]