Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Введем специальные обозначения:
x
x
x
x
единица стоит на i-м месте,
0,0, ,0,1,0,
x
i
0, 1, 2,i
, в частности,
, где
1, 0, 0,x
0
бая последовательность
ставлена в виде
xx
ij ij
Обозначив
тая, что
aaaa axbbbb bx
и
Определение 7.1.1. Представление последовательности
– элемент, изоморфный единице кольца. Тогда лю-
,,,,aAa aaa
aax
и, следовательно,
через x, через
1
0
ab a b a b a b a bx
1, 0, 0,xx
0
,, , , ,,,
012 012
aax
001122
0
i
. По правилам свертки получаем
0iii
i
, получим для
00
ii
,, , ,
i
,
i
012
xx
11i
xx
(i-кратная свертка), и счи-
ii
ii
ab x ab
n
ni
00
может быть пред-
(i-кратная свертка).
,:ab A
n
0
i
ini
ii
.
i
,aA
aax
,, ,aaaa
012
пенным рядом (ФСР). Кольцо A с введенными операциями называется кольцом формальных степенных рядов над кольцом K и обозначается [[ ]].Kx
Здесь x указывает, какое обозначение используется для базис-
ных последовательностей
ФСР для последовательности a будем записывать как ( ).ax
в виде
i
x
i
называется формальным сте-
i
0
i
0, 0, , 0, 1, 0, .
91
В этом случае
Если K – поле действительных или комплексных чисел, то каж-
x
дому элементу кольца ФСР можно естественно поставить в соответствие обычный степенной ряд с коэффициентами из поля, при
этом введенные операции над ФСР и обычные действия со степенными рядами полностью соответствуют друг другу (свертке соответствует умножение степенных рядов). Это дает нам возможность
использовать аппарат математического анализа и теории функций
комплексного переменного для изучения интересующих нас
свойств последовательностей. Формальные степенные ряды помогают исследовать свойства последовательностей, для которых соответствующие обычные степенные ряды могут расходиться, или в
тех случаях, когда определение суммы ряда затруднительно
(например, в случае конечного поля K). Если K =
ℝ или K = ℂ, то
обычные сходящиеся ряды можно рассматривать как подмножество множества ФСР над этим полем.
Определение 7.1.2. В случае ненулевого радиуса сходимости
обычного степенного ряда, соответствующего ФСР при K =
K =
ℂ, его сумма как функция от действительной или комплексной
переменной
называется производящей функцией (ПФ) последо-
ℝ или
вательности, представленной данным ФСР.
Следующее очевидное замечание для удобства ссылок сформулируем в виде леммы.
Лемма 7.1.1
Если для ПФ в области сходимости верно равенство
,cx axbx
то оно будет верно и для соответствующих ФСР,
поскольку это равенство равносильно соотношению для коэффициентов соответствующих последовательностей:
n
cabn
njnj
0
j
,0,1,2,3,
То же верно и для суммы ПФ.
Рассмотрим некоторые операции с ФСР.
92
()
x
f
f
xc
ax ax
1. Пусть
a
существует такой ФСР
0
будем обозначать этот ФСР как
i
– ФСР. По теореме при обратимом
i
0
i
,bx
что
1
ax
.
1.axbx
По традиции
()
ax ax
2. Пусть
ряда назовем ряд, соответствующий последовательности
,2 ,3 , ,aaa
123
обычных степенных рядов этому соответствует почленное дифференцирование. Как известно из математического анализа, действительный степенной ряд можно внутри интервала сходимости
почленно интегрировать и дифференцировать, при этом интервал
сходимости полученного ряда совпадает с интервалом сходимости
исходного ряда.
3. Если K – поле характеристики 0, то интегралом от ФСР
()
ax ax
последовательности
aa
ii
01
ii
ветствует почленное интегрирование соответствующего ряда от 0
i
i
0
i
1
ii
ii
1
т.е. ФСР
над этим полем называется ФСР, соответствующий
i
– ФСР. Производной
i
0
i
() 1 .
ax i a x iax
01
ii
aa
0, , , ,
1
.
x
12
a
0
23
Для производящих функций этому соот-
ii
, т.е. ряд ( )axdx
ax
ii
1
данного
1
Для
до x. Точнее, если
x
()
ydy x x
a
0
aa
ii
1
ii
1
ii
ii
01
()
xax
ai
i
сходится на отрезке [0, c], то
0
i
1
для
93
0.
В результате
интегрирования мы получили ПФ последовательности
f
f
f
f
0, , , , ... .
нетрудно видеть, ПФ
aa
12
a
0
23
Пример 7.1.1.
Последовательности
1
n
n
z
0
.
В соответствии с леммой это
1
z
1, 1, 1,
соответствует, как
11
равенство верно и для ФСР, т.е.
Пусть последовательности
,, ,cccc
012
вательность c есть последовательность частичных сумм последовательности a. В то же время последовательность c есть свертка по-
следовательности a с последовательностью из единиц. Если
()
z
и
fzz
c
ожидать,
7.2. Формальные экспоненциальные ряды.
0. Тогда в нем есть подполе, изоморфное полю рациональных чисел, поэтому будем считать, что K содержит рациональные и, в
частности, целые числа.
стей с элементами из поля K:
тельностей аналогично тому, как это было сделано для ФСР.
– ФСР, представляющие данные последовательности, то
c
()
a
() ,
1
acacc n
00 1
Экспоненциальные производящие функции
Пусть K – некоторое кольцо, содержащее поле характеристики
Рассмотрим вновь множество A бесконечных последовательно-
Зададим на множестве A операцию сложения двух последова-
связаны так:
z
отсюда
,,1,2,
ac
nnn
can
nk
() ()(1 ),
zfz z
Aaa aKi
zz
n
k
0
,, , 0,1,2, .
01
n
0
n
,0,1,
откуда, как и следовало
.
в кольце ФСР.
,, ,aaaa
012
, т.е. последо-
i
и
()
a
z
94
Операцию биномиальной свертки двух последовательностей за-
дадим следующим образом:
для
альной сверткой назовем последовательность
где
Все введенные операции коммутативны.
Последовательность
нейтральным элементом относительно сложения: .aaa
Последовательность
но, тем же свойством, что и
Последовательность {1, 0, 0, ...} является нейтральным элементом относительно операции биномиальной свертки.
Операция биномиальной свертки ассоциативна. Действительно,
n-й элемент биномиальной свертки
ij ijijn
ij i jn r r
n-му элементу биномиальной свертки
Операция биномиальной свертки дистрибутивна относительно
сложения
,, ,,,, ,,,ab A a a a a b b b b
n
n
cabn
nni
00 ,0,
nini
i
i
0
nni nni
abc abc
ijnij ijnij
ij ij
,0, 0 0
ij i r i
012 012
*,,,cab ccc
,0,1,2,
aa
012
.
0, 0, 0, 0
,, ,aaaa
012
0
()abc
,
, очевидно, является
.
равен
nr
nij n r
ab c ab c
ijnij iri nr
().ab c
() ,() .abc ab ac b ca baca
Таким образом, относительно введенных операций множество
последовательностей A является коммутативным кольцом с единицей, где роль умножения играет биномиальная свертка.
По аналогии с ФСР определим сумму бесконечного множества
последовательностей для случая, когда для любого j = 0, 1, 2, 3,...
их биноми-
00
обладает, очевид-
95
множество j-х элементов последовательностей содержит лишь ко-
x
x
x
x
нечное число ненулевых элементов.
Так же, как и в случае формальных степенных рядов, нетрудно
убедиться, что A содержит подкольцо, изоморфное кольцу K, и
умножение последовательности a на элемент b кольца K соответствует биномиальной свертке последовательности a с последова-
тельностью
Последовательность
последовательность
Теорема 7.2.1
Для обратимости последовательности aA необходимо и достаточно, чтобы
Доказательство полностью аналогично доказательству соот-
ветствующей теоремы для ФСР.
Введем вновь специальные обозначения:
где !i стоит на i-м месте,
элемент, изоморфный единице поля, тогда по правилам биномиальной свертки
(i-кратная свертка).
Обозначив
считая, что
aaaa xbbbb x
и
,0,0, .b
через x, через
1
0
1,x получим для
,, , , ,,,
012 012
ab a ba ba b x
ax
0
i
обратима, если существует такая
aA
что
,bA
0.a
0
0, 1, 2, ,i
xx
ij ij
ab
,, , ,
001122
a
i
!
i
ii
ii
!!
00
ii
i
,
ab ab
1 1,0,0, .ab
в частности
и, следовательно,
i
xx
(i-кратная свертка), и
,:ab A
ii
i
ni
n
n
x
n
!
00
0, 0, , 0, !, 0, ,
xi
i
ab
0
n
i
0
ii
!
i
ini
1, 0, 0,x
xx
i
.
11i
–
96
Определение 7.2.1. Представление последовательности ,aA
x
x
x
a
i
,, ,aaaa
012
поненциальным рядом (ФЭР). Множество A с введенными операци-
ями называется кольцом формальных экспоненциальных рядов над
кольцом K.
Чтобы явно указать, какое обозначение используется для базис-
ных последовательностей
довательности a будем записывать как ( ).ax
Формальному экспоненциальному ряду
вательности
обычный степенной ряд
последовательностей соответствует умножение степенных рядов.
При выполнении условий сходимости мы, как и в случае формальных степенных рядов, можем использовать результаты теории рядов.
Определение 7.2.2. В случае ненулевого радиуса сходимости
обычного степенного ряда, соответствующего ФЭР, его сумма как
функция от действительной или комплексной переменной
вается экспоненциальной производящей функцией (ЭПФ) последовательности, представленной данным ФЭР.
Для ФЭР можно ввести понятия формального дифференцирования и интегрирования рядов, которым соответствует почленное
интегрирование и дифференцирование соответствующих обычных
степенных рядов.
Так же, как и для ФСР и ПФ, справедлива лемма 7.2.1.
Лемма 7.2.1
Если для ЭПФ в области сходимости верно равенство
То же верно и для суммы ЭПФ.
в виде
,, ,aaa
012
,axbx cx
то оно будет верно и для соответствующих ФЭР.
ax
xi
i
0
i
0
i
i
) можно поставить в соответствие
a
i
!
i
называется формальным экс-
i
!
0, 0, , 0, !, 0, ,
i
i
,
при этом биномиальной свертке
ФЭР для после-
a
i
i
(т.е. последо-
!
i
0
назы-
97
Рассмотрим некоторые операции с ФЭР.
x
x
f
f
f
fz
f
a
i
Пусть
такой ФЭР
ax x
()
0
i
,bx
что
i
– ФЭР. По теореме при
i
!
1.axbx
По традиции будем обозначать
0a
существует
0
1
.
этот ФЭР как
известно из математического анализа, соответствующий обычный
степенной ряд сходится на всей комплексной плоскости к функции
Обратной к ней является функция
.xe
ex
n
Пусть последовательности
,c
связаны так:
2
тельность
последовательностью из единиц. Если
ных последовательностей, то
() ,
ze
c
является биномиальной сверткой последовательностей c и
n
(1), 0,1,2,...:
n
1
n
!
0
c
есть биномиальная свертка последовательности a с
z
а так как
n
Пусть
ax
n
то по лемме
,
ez
can
nk
zn
k
n
1, 1, ,a
1
1
!
i
0
i
n
n
k
0
() () ,
zfze
ca
(1)
0
n
n
!
тогда
xxx
:1.
eee
i
i
x
,, ,aaaa
012
,0,1,
()
z
a
,
то последовательность a
() .
ax x
i
1
!
i
0
и
, т.е. последова-
()
и
c
z
отсюда
1
!
i
0
i
Поскольку
i
.
z
– ЭПФ дан-
i
Как
,,ccс
01
()
a
n
n
ac
nk
k
0
k
98
nk
(1) .
7.3. Формальные ряды Дирихле.
Производящие функции Дирихле
Пусть K – некоторое поле характеристики 0. Тогда в нем есть
подполе, изоморфное полю рациональных чисел, поэтому будем
считать, что K содержит рациональные и, в частности, целые числа.
Рассмотрим вновь множество A бесконечных последовательно-
стей с элементами из поля K:
Зададим на множестве A операцию сложения двух последовательностей аналогично тому, как это было сделано для ФСР.
Операцию свертки Дирихле двух последовательностей определим следующим образом:
,, ,,, ,,ab A a a a b b b
для
назовем последовательность
ab a b n
,:
ij d
ij n
Все введенные операции коммутативны.
Последовательность
нейтральным элементом относительно сложения:
Последовательность
же свойством, что и
Последовательность {1, 0, 0, ...} является нейтральным элементом относительно операции свертки Дирихле.
Операция свертки Дирихле ассоциативна. Действительно, n-й
элемент свертки Дирихле *( * )abc равен
ij n km j ikm n ik j
– n-му элементу свертки ( * ) * .ab c
dn
abc abc abcn
ikm ikm ikm
,: , : , , : : ,:
ij km ikm jjmn ik
12 12
,1,2,
d
aa
Aaa aKi.
0.
,, , 1,2,
12
*,,,cab cc
.
0, 0, 0, 0
,,aaa
12
i
их сверткой Дирихле
12
, очевидно, является
обладает, очевидно, тем
где
00
c
n
.aaa
99
Операция свертки Дирихле дистрибутивна относительно сложе-
ния:
() ,() .abc ab ac bca baca
Таким образом, относительно введенных операций множество
последовательностей A является коммутативным кольцом с единицей, где роль умножения играет свертка Дирихле.
По аналогии с ФСР определим сумму бесконечного множества
последовательностей для случая, когда для любого j = 0, 1, 2, 3, ...
множество j-х элементов последовательностей содержит лишь конечное число ненулевых элементов.
Так же, как и в случае формальных степенных рядов, нетрудно
убедиться, что A содержит подполе, изоморфное полю K, и умножение последовательности a на элемент b поля K соответствует
свертке Дирихле последовательности а с последовательностью
,0,0, .b
Последовательность
последовательность ,bA
Теорема 7.3.1
Для обратимости последовательности
статочно, чтобы
Доказательство полностью аналогично доказательству соот-
ветствующей теоремы для ФСР.
Определение 7.3.1.
называется кольцом формальных рядов Дирихле (ФРД) над по-
лем K.
Введем специальные обозначения:
единица стоит на i-м месте,
Aa
обратима, если существует такая
что
0.a
1
Множество A с введенными операциями
1 1,0,0,ab
Aa
0,0, ,0,1,0, ,i
1, 2,i
необходимо и до-
, в частности,
.
где
1 1,0,0,
бая последовательность
– элемент, изоморфный единице поля. Тогда лю-
,,,aAa aa
12
100
может быть пред-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]