Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
ных ненулевых отрезков из d членов конечно и равно 1,
R
x
x
x
d
q
кроме
того, отображение отрезка в следующий взаимно однозначно, следовательно, начальный отрезок последовательности через некоторое число членов последовательности повторится, что означает периодичность последовательности. Отсюда и из леммы 10.3.1 следу-
ет, что
() ,
fnx
0
n
1
n
()
Qx
() (),QxRx т.е. многочлен ( )Qx делит
пень d многочлена ( )Qx не превосходит N,
()
x
где 1.
N
1
d
Nq Тогда
N
1,
следовательно, сте-
.dN
N
1
x
10.4. Линейная сложность последовательности.
Алгоритм Берлекэмпа-Мэсси
Пусть
ность элементов некоторого поля K.
Определение 10.4.1. Линейной сложностью ()Lf последова-
тельности f назовем минимальную степень ее характеристического
многочлена, если f есть ЛРП, и
Определение 10.4.2.
следовательности f длины n назовем минимум линейной сложности
всех бесконечных последовательностей, имеющих f в качестве первых n членов.
Теорема 10.4.1
Пусть
Доказательство
Выберем в качестве бесконечной последовательности, имеющей
f в качестве первых n членов, периодическую последовательность
(0), (1), ..., ( 1), (0), (1), ..., ( 1), ... ,f f fn f f fn
лемме 10.3.1 есть ЛРП с характеристическим многочленом 1 ,
который, вообще говоря, не является характеристическим много-
( ), 0, 1, 2, ...ffnn – бесконечная последователь-
в противном случае.
Линейной сложностью ()Lf конечной по-
(0), (1), ..., ( 1) .ff f fn Тогда ( ) .Lf n
которая согласно
n
151
членом минимальной степени. Следовательно, минимальная сте-
j
F
F
R
F
F
F
пень не превосходит n.
Теорема доказана.
Рассмотрим задачу построения для данной конечной последовательности f ЛРП, которая совпадает с ее элементами.
Заметим, что, если для бесконечной последовательности f
() ()
zfjz
0
j
– ее ФСР и есть ЛРП с характеристическим
многочленом ( ),Qz которая совпадает с первыми n ее элементами,
но не с (n +1)-м элементом, то
()
Pz
() (),
zazzRz
()
Qz
1
nn
где ( )Pz – многочлен, соответствующий начальному отрезку ЛРП,
z – некоторый ФСР, 0.a
()
Теорема 10.4.2 (о комбинации двух ЛРП)
Пусть для данной бесконечной последовательности f с ФСР
()
z имеется две ЛРП с характеристическими многочленами
(),Qz 2(),Qz которые совпадают соответственно с первыми m и n
1
ее элементами,
,mn
но не совпадают соответственно с (m + 1)-м
и (n + 1)-м элементами:
()
Pz
1
() (),
zazzRz
()
Qz
1
()
Pz
() (),
2
zazzRz
()
Qz
2
mm
11
22
где 1(),Rz 2()Rz – некоторые ФСР,
Тогда существует ЛРП с характеристическим многочленом
() () ,
Qz aaQzz
2211
1
1
1
nn
,0.aa
12
nm
совпадающая не менее, чем с n + 1 первыми элементами последовательности f.
152
Доказательство
F
Из условий теоремы и того, что свободные члены многочленов
,QQ
равны 1:
12
() () () () () ()
QzFz Pz azQz z RzQz
111111
() (),
Pz az z S z
11 1
() () () () () ()
QzFz Pz azQz z RzQz
222222
() (),
Pz az z S z
22 2
mm
mm
nn
nn
1
1
1
1
() 1
Qz
где
() () () ,
Sz RzQz a
iiii
i
z
1, 2i – формальные ряды.
Далее,
11 11
() () () () ( () () ) ()
aQzFz aQzz Fz aQz aQzz Fz
22 11 22 11
( () () ) () ()
11 1111
aPz aPzz z Sza z Sza
22 11 2 2 1 1
11 111
(() ()) (() ()),
aPz aPzz z S za Sza
22 11 2 2 1 1
nm nm
nm n n
nm n
и, следовательно,
11 11
() () () ()
aPz aPzz Sza Sza
() ,
Fz z
что эквивалентно
() .
Fz z
Здесь
deg ( ) ( ) max deg ( ), deg ( )
22 11 2 2 1 1
11 11
aQz aQzz aQz aQzz
22 11 22 11
Pz aa Pzz S za Sza
2211 2211
Qz aaQzz aQz aQzz
2 211 22 11
Pz aa Pzz Pz Pz n m
2211 2 1
() () () ()
111
() () () ()
() () () ()
111
1
maxdeg (),deg () ,
таким образом, первое слагаемое в выражении для ()
nm
1
n
nm nm
nm
nm nm
nm
Qz Qz nm
21
1
n
z есть раци-
ональная функция – «правильная дробь» – со знаменателем, сво-
153
бодный член которого равен 1, второе слагаемое есть ФСР, у кото-
f
рого по меньшей мере первые
тельно, как минимум первые
: (0), (1), ..., ( )
ff fn совпадают с первыми n + 1 элементами ЛРП
с характеристическим многочленом
слагаемых равны 0. Следова-
1n
элементов последовательности
1n
1
() () .
Qz aaQzz
2211
nm
Теорема доказана.
Следствие 10.4.1
Пусть для данной последовательности f над полем из двух элементов имеется две ЛРП с характеристическими многочленами
(), (),Qz Q z которые совпадают соответственно с первыми m и n
12
,mn
ее элементами,
но не совпадают соответственно с ( 1)m-м
и ( 1)n -м элементами.
Тогда ЛРП с характеристическим многочленом
nm
()
Qzz
1
совпадает не менее, чем с
первыми элементами
1n
2
()Qz
последовательности f.
Теорема 10.4.3 (о единственности ЛРП)
Если для конечной последовательности
(0), (1), ...,ff f
(1)fn
ским многочленом
() ,
Lf то такая ЛРП единственная, и () deg ().Lf Qz
существует совпадающая с ней ЛРП с характеристиче-
()Qz степени меньше либо равной ,
n
2
n
2
т.е.
Доказательство
Пусть есть две ЛРП с различными характеристическими много-
членами
()Qz и 2(),Qz
1
deg ( ) ,
Qz
n
1
2
deg ( ) ,
Qz
n
1
первые n
2
знаков которых совпадают с последовательностью f. Тогда для некоторых многочленов
(), () 1, 1,2,
Pz Q z i
ii
()Pz и 2(),Pz deg ( ) deg ( ),
1
Pz Q z
ii
() ()
Pz P z
12
() ()
Qz Q z
12
154
n
(),
zRz
где ()
R
z – некоторый ФСР. Отсюда
n
() () ().
z RzQ zQ z
12
() () () ()PzQ z PzQz
12 21
Степень многочлена в левой части равенства меньше n, но, если
правая часть ненулевая, то там не может быть членов, степень которых меньше n. Отсюда получаем, что равенство возможно, когда
обе части равны 0, следовательно,
() ()
Pz P z
12
() ()
Qz Q z
12
.
Если многочлены попарно взаимно просты, то по следствию 10.2.1
() () (),Px Px Px
21
() () ()Qx Qx Qx и линейная
21
сложность последовательности f не может быть меньше, чем
deg ( ),Qz так как нет другой ЛРП с характеристическим многочле-
ном меньшей степени, совпадающей с последовательностью f.
Теорема доказана.
Алгоритм Берлекэмпа-Мэсси
Алгоритм Берлекэмпа-Мэсси поиска для данной конечной последовательности f ЛРП, которая совпадает с ее элементами, состоит в последовательном применении теоремы 10.4.2 о комбинации двух линейных рекуррент, состоящем в построении новой ЛРП
из двух имеющихся так, чтобы построенная ЛРП совпадала с
бóльшим числом элементов последовательности f, чем две имеющиеся. После этого процесс повторяется с использованием новой
ЛРП и одной из предыдущих.
10.5. Линейные автономные автоматы
и их выходные последовательности
Определение 10.5.1.
Линейным автономным автоматом называется тройка (V, A, b), где V – множество (алфавит) состояний автомата, представляющее собой векторное пространство над некоторым полем K,
:AV V – линейное преобразование, матрицу
которого будем также обозначать A, и которое называется функци-
ей перехода автомата,
:bV K – линейная функция, вектор ко-
эффициентов которой также будем обозначать b, и которая называ-
155
ется функцией выхода автомата. По умолчанию векторы считают-
sV
s
B
B
B
B
ся столбцами.
Функционирование автомата описывается (потенциально беско-
нечной) последовательностью состояний
(0), (1), (2), ...sss
и вы-
ходной последовательностью
ное состояние,
(1) (),
iAsi
Из этого определения следует, что ЛРП
над полем K с характеристическим многочленом
2
ax a x a x
12
...
d
может рассматриваться как выходная после-
d
,, ,...,aaa
012
T
absi
i
(),
где (0)
0, 1, 2, 3,... .i
– началь-
( ), 0, 1, 2, ...ffnn
() 1Qx
довательность линейного автономного автомата, множество состояний которого есть векторное пространство размерности d над полем K,
цей
() ( , ,..., ),
si f f f
функция перехода задается матри-
010 0
001 0
A
000 1
aa a
dd
11
ii id
вектор коэффициентов функции выхода
,
11
(1,0,...,0).b
Таким образом, множество выходных последовательностей линейных автономных автоматов включает в себя множество ЛРП
как частный случай. Однако верно и обратное – выходная последовательность линейного автономного автомата есть ЛРП.
Далее для произвольной матрицы B будем обозначать через
()
ее (i, j)-й коэффициент.
ij
Лемма 10.5.1
Пусть ()
dd – матрица над полем K.
Kz
Рассмотрим кольцо (квадратных) матриц над кольцом
формальных степенных рядов над полем K.
Обозначим через
есть
ФСР
ii
( ) , , 1, ..., ,
jk
0
i
ii
() :
i
jk
0
()Cz матрицу, (
zjk d
z
156
j, k)-й коэффициент которой
т.е. матрицу, составленную из
B
B
B
E
E
E
Cz
() .
ii i i
() ()
zBz
00
ii
11 1
ii i i
zBz
() ()
ii
1
ddd
00
0
При этом полагаем
равным единичной матрице E независи-
мо от того, является ли матрица B обратимой.
1
Тогда матрица
()Cz обратима, и
() ,Cz E Bz
d
где E – еди-
() ( ) .Cz E Bz
ничная матрица,
Доказательство
1при
Обозначим
т.е. ()()
ij
0при
()() ()
Bz C z b z B z
dd
mi m i
jm mk jm mk
10 1 0
() ()
Bz bB z
001
iim
() ()
Bz z bB
001
iim
ii ii
() ( ) (
Bz zB B
00
ii
ii ii
() () ( ) ,
Bz zB B
ii
jk mk jk jk
11
Bz C z E – единичная матрица. Следовательно,
1
ij
,
тогда
ij
d
jk
10
mi
ii ii
() ()
Bz bzBz
ii i i
jk jm mk
jk jm mk
jk mk
() ,
Bz b z
ij ij ij
0
ii
1
)
jk
jm jm mk
d
d
1
11 0
далее
det ( ) ( ) 1,EBzCz
определитель матрицы ()Cz не равен 0, сле-
157
довательно, она обратима в кольце матриц над
E
j
E
B
E
E
1
() ,Cz E Bz
соответственно,
() ( ) .Cz E Bz
1
,Kz
и
Лемма доказана.
Следствие 10.5.1
В условиях леммы
() ( ) ( )
Cz B z E Bz
ik
(1) det( ) (, )
ii
0
i
jk
det( )
jk
EBz jk
EBz
1
рациональная функция, степень числителя которой не выше
а степень знаменателя – не выше d. Здесь
ца, полученная из матрицы
()
1
Bz
вычеркиванием j-й строки и
1
ik
1
()(,)
Bz
k
– матри-
1,d
k-го столбца.
Доказательство
Так как
фициент
матрицы
() ( ) ,Cz E Bz
то для матрицы ()Cz ее (j, k)-й коэф-
()
0
i
(),EBz
ii
jk
1
который, как известно из линейной алгебры,
1
z
равен соответствующему коэффициенту
представляет собой дробь, числитель которой есть алгебраическое
дополнение соответствующего элемента матрицы
натель (общий для всех пар j, k) – определитель матрицы
Az
В силу того, что элементы матрицы
есть многочлены
а знаме-
,EBz
.EBz
степени не выше первой, ее определитель представляет собой
многочлен степени не выше d. Алгебраическое дополнение
jk
(1) det( ) (, ),
1
Bz j k
аналогично, представляет собой мно-
гочлен степени не выше
Следовательно, все коэффициенты матрицы
1.d
()Cz представляют
собой рациональные функции с одним и тем же многочленом в
знаменателе.
Следствие доказано.
158
Теорема 10.5.1
s
F
j
s
F
A
j
Выходная последовательность линейного автономного автомата
(, , ),VAb где A – невырожденная матрица, есть ЛРП с характери-
стическим многочленом
() det( ),Qx E Az
где E – единичная мат-
рица.
Доказательство
1. Пусть размерность V равна d, (0)
последовательность состояний автомата есть
2
(2)... (0).
Asi As
Ti
abAs i
есть
i
i
Выходная последовательность автомата
(0) , 0, 1,....
Ее ФСР есть
V – начальное состояние,
() ( 1)si Asi
dd d d
() ( ) (0) (0) ( ) ,
zbAszbsAz
011 1 1 0
ijk j k i
ji ii
jjkk jk jk
i
()
A – (
где
k-я компонента вектора
j, k)-й коэффициент i-й степени матрицы A, (0)
k
(0).
Таким образом, ()
z есть линейная
s –
k
комбинация ФСР последовательностей коэффициентов степеней
матрицы A.
Рассмотрим матрицу
ii
( ) , , 1, ..., ,
i
i
0
() .
0
zjk d
jk
ii
Az
jk
() .
Cz
(),Cz (
j, k)-й коэффициент которой есть
ii
ii
т.е. матрицу, составленную из ФСР
ii i i
() ()
Az A z
00
ii i i
() ()
Az Az
00
11 1
d
ddd
1
В этих обозначениях
() (0) () .
Fz b s Cz
dd
jk
jk
11
k
159
2. По лемме 10.5.1
E
E
F
E
A
E
() ( ) ( )
Cz A z E Az
jk
ii
i
jk
0
jk
(1) det( ) (,)
1
jk
det( )
EAz
Az j k
1
и
jk
dd
() (0) ;
Fz b s
jk
11
jk
zbsEAzjk
( ) (0)( 1) det ( ) ( , ) ,
1
EAz
det( )
dd
jk
11
jk
(1) det( ) (, )
det( )
EAz
jk
1
Az j k
1
т.е.
числитель которой имеет степень не выше
()Fz – рациональная функция со знаменателем det( ),EAz
1.d
3. Согласно следствию 10.5.1, определитель
det( )EAz
пред-
ставляет собой многочлен степени не выше d, свободный член которого, как нетрудно видеть, равен 1. Это выполняется для любой
матрицы A размера
данного многочлена равна d
Действительно,
( ) det( )
A
( ) ... ,
dd
A – характеристический многочлен матрицы A;
1
1
Для невырожденной матрицы A степень
.dd
11
det( ) det ,
EAz z EA z
где det( ) 0
d
zz
в силу невырож-
d
A
d
A
где
денности матрицы A. Тогда
11 1
det( ) ...
Az z z z z
dd d d
Ad
zz z
1 ... .
dd
1
zz
1
d
d
1
Следовательно,
торой имеет степень не выше 1,d
()Fz есть рациональная функция, числитель ко-
а знаменатель – многочлен
степени d, свободный член которого равен 1.
По теореме 10.1.1 это равносильно утверждению теоремы.
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]