Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
ставлена в виде
x
лучаем
xx
ii ij
aax
i
.
.
По правилам свертки Дирихле по-
ii
1
Если K – поле комплексных чисел, то по аналогии с ФСР и ФЭР
каждому элементу кольца ФРД поставим в соответствие функциональный ряд с коэффициентами из поля K, при этом введенные
операции над ФРД и обычные действия с рядами должны соответствовать друг другу (свертке соответствует умножение рядов): последовательности
нальный ряд
n
(, ,...)
aa
a
(, )
anz
n
1
должен соответствовать функцио-
2
и (,)(,) ( ,),nz mz nmz
где z – дей-
ствительная или комплексная переменная.
nz n
Этому равенству удовлетворяют функции ( , ) .
Полу-
z
чаемые при этом функциональные ряды как функции от комплексной переменной z в их области сходимости называются производя-
щими функциями Дирихле (ПФД) и имеют вид
a
az
() .
n
n
z
n
1
Для соответствующего формального ряда сохраним это же обозначение.
101
Лекция 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДОВ
f
И РЕДУЦИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ
ИНЦИДЕНТНОСТИ
Рассматриваются способы нахождения коэффициентов рядов, а
также соответствующие производящие функции. Рассмотрены биномиальные коэффициенты, числа Стирлинга первого и второго
рода и их связь с перечислением подстановок и разбиений.
Исследуются редуцированные алгебры инцидентности и их
связь с формальными рядами.
Ключевые слова: числа Стирлинга, редуцированные алгебры
инцидентности.
Введение. В данной лекции будут рассмотрены способы получения коэффициентов производящих функций, в частности биномиальные коэффициенты, числа Стирлинга первого и второго рода,
а также редуцированные алгебры инцидентности, связанные с
формальными рядами.
8.1. Коэффициенты рядов. Биномиальные коэффициенты.
Полиномиальная аргументация
Введем ряд обозначений.
Пусть
()fz – некоторая функция, разлагающаяся в степенной
ряд в круге некоторого радиуса с центром в нуле. Коэффициент
при
n
z
в этом разложении будем обозначать
n
[]()
zfz
или
Т.е., запись
Coef f z
azfzn
n
().
n
z
n
[](), 0,1,2,
()
zaz
n
или
aCoeffzn
n
n
эквивалентна записи
n
0
(), 0,1,2,
n
z
Из теории функций комплексного переменного известно, что
1()
n
[]() ,
zfz dz
fz
2
n
i
z
C
где C – некоторый замкнутый контур во-
1
круг нуля.
102
Из математического анализа известно, что если функция
f
x
x
() ,
раскладывается в ряд
n
n
1
d
() .
nn
fz
n
!!
dz
0
z
f
0
zaz
n
n
то []()
n
0
n
zfz
Воспользуемся этим для разложения в ряд функции
– некоторое действительное число. Коэффициент при
где
вен
n
1
d
n
!
n
dz
n
!
!
n
z
0
1
n
n
z
.
При
n
[]1 1
zz z
12 1
n
12 1
коэффициент равен 1.
0n
() (1 )Fx x
Определение 8.1.1.
Функция
мом (двучленом), а величина
12 1
называется бино-
!nn
эффициент в разложении бинома в ряд
11 1
1
zz
n
0
!
n
n
биномиальным коэффициентом.
При целом положительном
числу сочетаний из
по n ,
обозначение и при других
биномиальный коэффициент равен
поэтому будем использовать это
n
:
(1 ) .
103
k
0
n
n
x
n
ра-
1,z
0
z
– ко-
n
–
x
x
Заметим, что при целом неотрицательном 0
при ,n
n
и ряд становится конечной суммой, называемой формулой бинома
Ньютона.
Пример 8.1.1
1(1)(1)
(1 )
x
В частности, при 1,m
m
m
kk
kk
00
k
mk
!1!
km
00
kk
k
(1)( 1)
mm m k
0
1!
(1) ( ).
mm mk
!
k
kk k
xx
!
k
kk
(1)
x
mk
1
k
x
заменив x на – x, получим хорошо
известную формулу суммы геометрической прогрессии:
1
1
x
k
k
.
0
Какие из свойств 1–6 чисел сочетаний (см. п. 1.2.2) будут верны
для всех биномиальных коэффициентов? Верно ли, что:
1.
2.
3.
mm
mm
4.
1
5. 1
0
;
?
;
1
;
1
m
11
1mm m
;
104
Первое равенство для n, не являющихся целыми неотрицатель-
x
x
x
x
x
ными, не имеет смысла, так как биномиальный коэффициент определен только для целого неотрицательного аргумента внизу скобки.
Для проверки выполнимости остальных свойств для произвольных
воспользуемся так называемым методом полиномиальной аргу-
ментации.
Для его демонстрации докажем этим методом выполнение свойства № 3. Как показано в п. 1.2.2, для натуральных n
nn n
mm m
Рассмотрим для произвольного
xx x
Это полином от
mm m
степени не выше m, число корней которого
11
1
11
1
.
разность
.
поэтому не больше m, но он равен 0 для любого натурального x,
следовательно, он тождественно равен 0. Аналогично убеждаемся в
справедливости равенств 2, 4, 5.
8.2. Числа Стирлинга
Рассмотрим нижнюю факториальную степень
от x и обратим внимание на его коэффициенты:
nr
(1)( 2)...( 1) (,).
xx x x n Snrx
r
Определение 8.2.1. Коэффициенты ( , )Snr называются числами
Стирлинга первого рода.
Найдем рекуррентное соотношение для ( , ).Snr Для этого рас-
1.nx
смотрим
С одной стороны,
1
n
1
nr
0
r
(1,).
Sn rx
105
n
как многочлен
n
0
С другой стороны,
x
x
x
x
x
1
nn r
()()(,).
xxn xn Snrx
r
n
0
Тогда
1
nnn
11
nrrr
( 1,) (,) (,)
Sn rx Snrx n Snrx
000
rrr
1
nn
(, 1) (,) .
Snr x nSnrx
10
rr
rr
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x справа и
слева:
(1,) (, 1) (,),Sn r Snr nSnr
для 1, ..., .rn
Крайние значения:
(1,0) (,0)Sn nSn
для 0.r
(1, 1) (,)Sn n Snn для
продолжая, получим ( , ) (1, 1) 1Snn S
Свободный член ( , 0) 0Sn
1,rn
для любого n.
при 1.n Положим (0, 0) 1.S
Мы
получили рекуррентные формулы для чисел Стирлинга первого
рода:
( 1, ) (, 1) (, ),n r Snr nSnr
(, ) 1Snn
(,0) 1Sn
для 0, 1, 2, ...n
для 1, 2,...n
С учетом того, что ( , ) 0Snk
для 1, ...,rn ;
;
.
для
эти формулы полно-
,kn
стью определяют числа Стирлинга для всех значений индексов.
Рассмотрим аналогичные соотношения для верхней факториальной степени:
n
(1)(2)...( 1).
xxx x xn
Заменим x на –
и, следовательно, (1)( ).
x в выражении для
n
() ()( 1)( 2)...( 1)
xxxx xn
nnn
( 1) ( 1)( 2 ) .. . ( 1) ( 1)
nnn
n
:
xx xn x
x
106
Тогда
x
x
x
nnnn r nrr
(1)( ) (1) (,)( ) (,)(1) .
xSnrxSnrx
nn
00
rr
Коэффициентами в разложении верхней факториальной степени
по обычным степеням служат модули чисел Стирлинга первого
рода. Действительно, из определения верхней факториальной
степени следует, что эти коэффициенты неотрицательны, зна-
(, )(1) (,),
Snr Snr
чит,
n
Snr x
0
r
(, ) .
r
n
и (1)(2)...( 1)
xxx x xn
nr
Аналогично выводу рекуррентного соотношения для ( , )Skr
можно показать, что
( 1, ) (, 1) (,).Sn r Snr nSnr
Это подсказывает комбинаторную интерпретацию чисел Стирлинга первого рода. Полученное рекуррентное соотношение и
начальные условия совпадают с таковыми для чисел подстановок с
заданным числом циклов, которые были получены в п. 1.4, следо-
(, )Snk
вательно,
множества из n элементов с k циклами:
равно числу взаимно однозначных отображений
n
(, ) .
Snk
k
Получим теперь представление обычных степеней числа x через
его факториальные степени. Имеем
k
(1)( 1),
xxx xk
k
(1)( 1),
xxx xk
k
xx x
111
xxx
Кроме того,
,
.
000
(0, 0) 1.S Напомним, что ( , 0) 0Sn
1xxx
, а также будем считать, что
при n > 0.
По определению чисел Стирлинга первого рода ( , ),Snk с уче-
том сказанного,
107
n
x
x
x
x
x
nk
nk
1
……………………….
1
00
Эти равенства можно записать в матричном виде:
00
xx
11
xS S x
11
nn
xx
nn
xx
(, ) ,
Snkx
0
k
1
n
(1,),
Sn kx
0
k
1
(1, ) ,
Skx
0
k
0
(0, ) .
Skx
0
k
(0, 0) 0 0 0
S
(1, 0 ) (1, 1) 0 0
(1,0) (1,1) (1, 1) 0
Sn Sn Sn n
(,0) (,1) (, 1) (, )
Sn Sn Snn Snn
По главной диагонали ( , ) 1Sii для любого 0,..., ,in
k
.
следова-
тельно, определитель матрицы равен 1 и существует обратная матрица. Тогда
0 0
xx
1 1
xx
n n
1 1
xx
n n
xx
Или в другом виде:
(0,0) 0 0 0
(1, 0) (1, 1) 0 0
(1,0) (1,1) (1, 1) 0
nn nn
(,0) (,1) (, 1) (,)
nn nnnn
n
nk
k
0
(, ) ,
nkx
где ( , )nk
1
– элементы
.
обратной матрицы.
108
Задача
x
x
x
Построим аналогичную матрицу размера n большего, чем n.
Показать, что при
коэффициенты, выражающие
kn
k
через
факториальные степени x при обращении этой матрицы, такие же,
как для матрицы размера
.nn
Таким образом, любой многочлен можно однозначно выразить
через факториальные степени.
Определение 8.2.2. Коэффициенты ( , )nk называются числами
Стирлинга второго рода.
Учитывая, что
для них можно получить рекуррентное соотношение:
nn k k
11
xxxxnkx nkx
knkx nk knkx
01
kk
kk k
xx kx
(, ) ((, 1) (, )) ,
1
nn
(, ) (, )
00
kk
1
kk
и что ( , ) 0nk при ,kn
,
с другой стороны,
1
n
nk
1
(1,).
k
0
nkx
Приравнивая коэффициенты при факториальных степенях, по-
лучим:
( 1, ) (, 1) (, ), 1,..., ,nk nk knkk n
(,0) 0при 0; (0,0) 1,nn
(1, 1) (,)... (1,1)1.nn nn
Так как ( , )nk при kn равно нулю, то полученные уравнения
объединяются в одно:
( 1, ) (, 1) (, ), 1,..., 1.nk nk knkk n
Числа Стирлинга второго рода также имеют комбинаторную ин-
терпретацию – они связаны с разбиениями множеств.
109
Положив
f
ff
f
f
x
получим, что начальные значения и рекур-
1,
0
0
n
рентная формула (см. п.1.5) для чисел и чисел
линга второго рода ( , )nk
совпадают, следовательно, ( , )nk рав-
и чисел Стир-
k
но числу разбиений множества из n элементов на k непустых частей:
n
(, ).
nk
k
8.3. Редуцированные алгебры инцидентности.
Связь с формальными рядами
8.3.1. Редуцированная алгебра инцидентности
частично упорядоченного множества C(
)
Рассмотрим множество A бесконечных последовательностей с
элементами из поля K:
(,,...) , 0,1,2,....
Aaa aKi
01
i
Рассмотрим алгебру инцидентности ℱK (P) над K, где ч.у.м.
ℕ
()PC – множество всех целых неотрицательных чисел
с
0
обычным порядком.
Каждой последовательности
ветствие функцию
(, )
ij
a
(,,...)aaa A
ℱ
(P):
K
множество функций обозначим через
01
(, ) .
fij a
aji
ℛ
(P).
K
поставим в соот-
Так заданное
Теорема 8.3.1
Множество функций ℛK (P) является подалгеброй (редуциро-
ванной алгеброй) в
ℱ
(P).
K
Доказательство
Пусть
ab
ствует последовательности ,ab
ℛ
,
(P). Тогда функция
K
функция
(, ) (, )
ij f ij
ab
(, ),
ij
a
соответ-
где – эле-
мент поля, соответствует последовательности a, нулевая функция
(, ) 0 ,
yxyP соответствует нулевой последовательности,
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]