Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
J
g
g
g
gn
g
1
k
k
2
nk kke o k o
!2 2 2 1 2 2 1 )1) ,
1
kk
kk
(1)
222
1
k
11
k
ne
1
что требовалось доказать.
3. Пусть
{1, ..., }
, ..., {1, ..., },
aa n
1
k
и пусть все суммы
k различны. Сколь велико может быть k? Обозначим это
максимально возможное значение k через
{ , ..., }
Примером такого множества
1
{1, 2, 4, ..., 2 }.
ство
k
Поскольку должно быть
aa может служить множе-
1
().gn
k
a
для разных
i
iJ
1
k
2,
n
то макси-
мальное k в этом примере может быть выбрано равным
Отсюда следует, что
() .
gn
n
С другой стороны,
()
быть не более
между 0 и
() log log ().
nngn Поскольку
log 1 (1)no
22
2
n
2
().ng n Отсюда
и, следовательно,
() log 1,gn n
2
akn
iJ
.
Если (),kgn то всего может
i
различных сумм
2(),
log ( ) ( ) ,
log ( ) (log ).
и, в частности, что
,
a
и все они заключены
i
iJ
()
gn
ngn
nogn
2
no n
22
следовательно,
log 1.n
то ()
Тогда
() log log () log log log log ()
gn n gn n n gn
22 2222
log log log 1 log log log (1).
nn nno
222 222
log ( )
log
gn
2
n
2
Улучшим эту оценку, а именно, докажем теорему 11.4.3.
Теорема 11.4.3
( ) log log log (1).
gn n n O
1
222
2
2
181
Доказательство
X
E
D
D
X
J
Введем независимые одинаково распределенные случайные величины
1
.
Рассмотрим случайную величину
2
матическое ожидание и дисперсию:
, ..., ,
X принимающие значения 0 и 1 с вероятностями
1
kk
22
aDX a
ii i
ii
11
k
1
4
Воспользуемся неравенством Чебышева:
.
k
Найдем ее мате-
.
aX
ii
1
i
kk
ii
aEX a
ii i
11
1
2
,
PE
D
PE a
11 1.
22 2
;
2
k
1
44
i
2
i
1
kn
a
Поскольку все суммы
{1, ... }Jk таких, что ,
( , ..., )
X можно рассматривать как вектор-индикатор некоторого
1
k
aE
iJ
случайно выбранного подмножества
вероятности всех подмножеств одинаковы и равны
k
роятность того, что
жеств, деленному на
aX E
ii
1
i
k
2,
и не превосходит 22.
различны, число подмножеств
i
iJ
не превосходит
i
{1, ... }
k при условии, что
2.
равна числу таких подмно-
k
Имеем, что для
n, k, должно выполняться неравенство
1
k
PE
Положим
3
22,
nk
k
4
2.
8
k
2,
nk отсюда
3
kn k
,nk
тогда должно быть
log log 3 log 3,
1
22 2
2
2
Вектор
2.
k
Тогда ве-
1
kn
4
2
2
182
log 3 log 3
1log1 .
kn
log log log (1) (log ).knoon Тогда
222 2
log log log (1) log log log (1).
k
22
2log
kn
log log log 1 (1)
nn O
222
11
nnOOnnO
222 222
2log 2
2
log log 3 log 3 log
kn k n
11
log log log 3 log 3 (1)
22 2 2
22
1
2log
22 22
2
1
2
nk O
log
Логарифмируя, получим
1
log 3 log 3
k
22
2
n
2
k
2
n
2
Теорема доказана.
11.4.2. Использование вероятностных методов
для получения асимптотических оценок числа объектов
Число циклов в случайной подстановке
Для каждого n рассмотрим множество подстановок на n элементах.
Пусть
– случайная величина, равная числу циклов в случай-
n
ной подстановке на n элементах. Как было показано в разделе 8.2,
число подстановок на n элементах с m циклами есть абсолютная
величина числа Стирлинга первого рода
(, ).Snm
Тогда вероят-
ность того, что случайная подстановка на n элементах содержит m
(, )
циклов
величины
() .
Pm
n
есть по определению
n
nn n
() ( ) (, ).
Pu P mu u u Snm
nn
11 1
mm m
Snm
Производящая функция случайной
!
n
(, )
183
Snm
!!
nn
mm m
1
Как было показано в разделе 8.2, производящая функция моду-
f
j
j
j
E
D
P
лей чисел Стирлинга первого рода есть
n
m
( , ) ( 1) ... ( 1).
uSnm uu un
1
m
Тогда
uu u n
() .
Pu
n
!
n
( 1) ... ( 1)
Найденная производящая функция может быть представлена в
виде
( 1) ... ( 1)
uu u n
( ) ...
Pu
n
uu u u
12 2
u
() 1
fu
где
,j
– производящая функция случайной величины
j
jj
принимающей значения 1 и 0 с вероятностями
11 1
1 ... 1 1 ( ),
!12
nn
nn
nn j j
jj
1
11
uu u n
11
u
j
1
и
соответственно.
2
n
1
j
j
1
11
j
2
j
2
6
Тогда
распределена так же, как сумма независимых случай-
n
ных величин
Следовательно,
,n
,n
где C – константа Эйлера.
ED
jj
1
nn
,1.
, ..., .
n
при
nn
... ln (1)
DD nCo
1
jj j j
... ln (1)
EE nCo
1
nn
jj
11
11111
Теорема 11.4.4
x
2
y
/2
.
ln
n
n
ln 2
xedy
n
n
1
1
при
1
184
Доказательство
x
Для получения асимптотики распределения случайной величины
можно использовать центральную предельную теорему в
n
форме Ляпунова, но мы получим это распределение, непосредственно используя теорему непрерывности для характеристических
функций.
Для этого вначале представим производящую функцию в следующем виде:
(1)...( 1) Г( )
uu un un
() ,
Pu
n
!Г()Г(1)
nun
(u) – гамма-функция. Воспользуемся формулой Стирлинга
где Г
для гамма-функции:
Г( 1) 2 1 1
xxxeo
получения асимптотического при
xx
n
при
для
представления произво-
дящей функции:
(1)(1)
un un
2 ( 1) ( 1) (1 (1))
un un e o
()
Pu
n
un
n
Г( ) 2
unne
(1)
un e
1
Г( )
un u
11
n
un
nn
(1 (1) )
o
uu
11
nu u n
1 1 (1 (1)) (1).
Г( ) Г( )
un n u
nu
11
1
u
1
eo o
n
равна
n
имеют
n
ln
n
ln
n
n
.
Характеристическая функция случайной величины
() ( ).
tPe
Учитывая, что матожидание и дисперсия
n
ln (1 (1)),no рассмотрим случайную величину
вид
it
n
Как известно из теории вероятностей, ее характеристическая функ-
ln
it n
ция представляется в виде
nn
() .
te
185
t
ln
n
Тогда
P
P
it it
nn
ln( ( )) ln 1 ln ln Г (1)
titne n e o
n
ln 1 ln (1)
it n e n o
it n n o
ln ln (1)
it n it n o o
it it
ln ln (1) (1).
ln ln
it
n
ln
1
2
ln ln
nn
22
tt
2
22
Тогда
( ) exp( /2)(1 (1)),
tto
откуда по теореме непрерыв-
n
2
ности для характеристических функций следует, что последова-
ln
n
n
n
n
1
тельность случайных величин
лению к стандартной нормальной величине, т.е.
ln
n
n
xedyx
n
ln 2
сходится по распреде-
ln
n
2
x
y
2
().
Теорема доказана.
Другими словами, мы доказали, что
y
ln
Px y e dy y
n
n
ln 2
n
n
1
2
/2
y
x
Ф( )
или
2
y
y
ln
xy edyyx
n
n
ln 2
n
n
1
2
x
Ф( ) Ф( ).
64
2n
Пусть, например,
венно,
ln n
44,3614,
18446744073709551616, соответст-
ln n
6,66044. Пусть
ln ln 25,nx n
ln ln 65,ny n
тогда 2,90693,x 3,09868.y
186
Отношение числа подстановок, число циклов в которых лежит в
j
f
f
j
j
пределах от 25 до 65, к общему числу подстановок на
ментах, равно
Ф( ) Ф( )yx
0,997203.
64
2n эле-
Иначе это можно сформулировать так:
64
случайно выбранная подстановка на
2n элементах с вероят-
ностью, близкой к 0,997203, имеет от 25 до 65 циклов.
Рассмотрим теперь, как распределено число циклов заданной
длины в случайной подстановке.
Теорема 11.4.5
Пусть ()
– случайная величина, равная числу циклов длины j
n
в случайной подстановке на n элементах. Тогда
n
r
j
() .
Pjr
n
1
rm
!!
rj jm
m
0
(1)
m
Доказательство
Для нахождения числа подстановок, имеющих заданное число
циклов, воспользуемся методом включения-исключения. Будем
говорить, что подстановка обладает свойством T, где
{1, ..., },Tn
В соответствии с п. 6.3.1 обозначим через
становок, обладающих свойствами
ты, входящие в
Так как из j элементов можно построить
( , ..., ) ( 1)! ( )!,
TT j nkj
1
( , ..., ) 0
fT T в противном случае. Число способов выбрать k
1
k
k
подмножеств
нетрудно видеть, равно
,Tj
если элементы, входящие в T, образуют цикл.
( , ..., )
TT
1
, ..., ,
TT т.е. у которых элемен-
1
k
, 1, ..., ,
Ti k
i
образуют циклы.
(1)!j
k
,...,
TT мощности j из множества мощности n, как
1
k
если
!
n
k
!( )!
nkj
,...,
TT не пересекаются, и
1
k
но поскольку перестановка
,
число под-
k
циклов, то
циклов не меняет подстановки, то число неэквивалентных способов
!
выбрать подмножества для построения циклов равно
n
k
!( )! !
nkjk
.
187
Тогда
j
j
j
SfTT jnkj
kk
{ , ..., } { , ..., }
TT TT
11
При этом
kj
( , ..., ) ( 1)! ( )!
1
kk
!!
nn
kk
!( )! ! !
jnkjk jk
n
,
так как k есть число непересекающихся под-
k
(1)!( )! .
jnkj
k
множеств мощности j множества мощности n.
Далее, число подстановок, обладающих ровно r циклами длины
j, по теореме 6.3.1 равно
nn n
jj j
MS
(1) (1) .
rk
kr kr kr
kk
kr kr
rr
!!
nn
kk
jk j k r
!
r
!()!
(1)
kr
Отсюда
n
r
() .
Pjr
n
M
n
1
r
!
rm
!!
rj jm
j
m
0
(1)
m
Теорема доказана.
Следствие 11.4.1
Pjr e
() ,
n
т.е. случайная величина
11
n
rj
!
(),
равная числу циклов длины j в слу-
n
1
r
чайной подстановке на n элементах, имеет в пределе при
1
распределение Пуассона с параметром
.j
n
Доказательство
lim ( )
Pjr
n
n
r
j
(1)
11111
lim .
rmr r
n
rj jm rj rj
!!! !
00
mm
n
m
mj
!
m
1
e
Следствие доказано.
188
Как известно, математическое ожидание и дисперсия случайной
величины, имеющей распределение Пуассона с параметром , равны . В данном случае это дает следующую качественную картину:
при больших n случайно выбранная подстановка на n элементах
содержит в среднем один цикл длины 1, на две подстановки приходится один цикл длины 2, на три – один цикл длины 3 и т.д.
Распределение числовых характеристик отображений
Рассмотрим теперь произвольные отображения множества из n
элементов в себя.
Выберем некоторый элемент множества и рассмотрим мощность множества его прообразов.
Теорема 11.4.6
Пусть n – число прообразов фиксированного элемента в случайно и равновероятно выбранном отображении конечного множе-
ства в себя. Тогда
nk
n
() .
Pk
n
k
(1)
n
n
n
Доказательство
Найдем число отображений, у которых данный элемент i имеет
n
k прообразов. Выберем прообразы – это можно сделать
бами. Остальные
элементов отобразим произвольно в осталь-
nk
k
спосо-
ные элементы, за исключением элемента i, – это можно сделать
nkn
(1).
Тогда число отображений, у которых данный элемент i имеет k
прообразов, равно
k
nk
(1),
n
соответственно, вероятность то-
n
го, что данный элемент имеет k прообразов в случайно и равнове-
nk
(1)
n
n
n
.
роятно выбранном отображении есть
n
k
Теорема доказана.
189
Следствие 11.4.2
1
Pk e
т.е. число прообразов фиксированного
() ,
n
n
1
k
!
элемента в случайно и равновероятно выбранном отображении конечного множества в себя имеет в пределе при
n
распределе-
ние Пуассона с параметром 1.
Доказательство
n
() 1
Pk
n
k
11
1
kn
!
oe oe
1(1) 1(1) .
nk
(1)
n
nk
nn
n
( 1) ... ( 1)
nn n k
k
1
11
11
kn k
!(1) !
0
j
n
!( )!
kn k n
n
(1)
nj
()
!11
k
n
(1)
Следствие доказано.
Как было показано в разделе 1.4, граф отображения представляет собой некоторое количество циклов с подходами, каждый из
подходов есть корневое ориентированное дерево, корнем которого
будем считать его вершину, лежащую на цикле.
Полученный результат показывает, что так как в каждую вершину в среднем отображается одна вершина, то граф типичного
отображения имеет слабо ветвящиеся деревья, прикрепленные к
циклам.
Вероятность того, что данный элемент не имеет прообразов,
равна
n
(1)
n
Poe
(0) 1 1(1),
n
n
n
т.е. в случайно выбранном отображении в среднем
n
1
n
1
n
~
элементов
e
не имеют прообразов. В графе отображения – это вершины степени
1 («висячие»).
Рассмотрим задачу о числе элементов, лежащих на циклах (циклических элементов), в случайно выбранном отображении. Огра-
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]