Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
функция
f
f
g
g
f
f
f
a
– последовательности
(, )
ij
( , , ,...),aaaa
012
дельта-функция ( , )xy – последовательности {1, 0, 0, ...}. Свертка
функций
т.е.
f
вательностей a и b:
есть по определению функция
,
f
ab
:(,) (,) (,)
ggij f ikf kj
:0
ki k j r
где последовательность с есть свертка последо-
,
c
()( ) ,
ak ib j k ab c
cabn
nini
:
ki k j
n
0
i
ab
, 0, 1, 2,...,
ji
rjir ji
следовательно,
ℛK (P).
Обратная (относительно операции свертки) функция для
существует тогда и только тогда, когда
соотношений (см. 6.1.1):
11 1
(, ) 1 (, ), (, ) ( , ) (, ) ( , ),
ii f ii f i j f j j f ik f k j
aaaa aa
и определяется из
0a
0
1
j
ki
a
что эквивалентно
11 1
(, ) 1 , (, ) (, )
fii afij fika
aa ajk
Индукцией по ji
0
1
ji
a
0
t
0
отсюда получаем, что
1
a
1
1
(, ) .
fiita
ajit
только от ji и, следовательно, принадлежит
Таким образом, множество функций
1
j
ki
0
ℛ
K
ℛ
(P) замкнуто относи-
K
1
a
(P).
(, )
ij
зависит
тельно операций алгебры инцидентности, содержит нейтральные и
обратные к своим функциям элементы, т.е. является подалгеброй в
ℱ
(P).
K
Теорема доказана.
Операциям алгебры инцидентности для данного множества
функций взаимно однозначно соответствуют операции сложения и
свертки соответствующих последовательностей.
111
Как было показано в п. 7.1, последовательности с элементами из
A
f
f
f
f
коммутативного кольца с единицей (тем более из поля) могут рассматриваться как ФСР, причем операциям сложения и свертки последовательностей взаимно однозначно соответствуют операции
сложения и умножения формальных рядов.
Задача
Проверьте, что дзета-функция (а следовательно, и функция
Мебиуса) алгебры
ℱ
(P) принадлежит ℛK (P). Укажите последова-
K
тельности и формальные ряды (производящие функции), которым
соответствуют эти функции.
8.3.2. Редуцированная алгебра инцидентности частично
упорядоченного множества подмножеств
счетного множества
Рассмотрим множество A бесконечных последовательностей с
, , ... ,
элементами из поля K характеристики 0:
aa a K
01
i
ℬ
Рассмотрим алгебру инцидентности
(P) над K, где ч.у.м. P –
K
множество всех конечных подмножеств некоторого счетного мно-
Каждой последовательности
(, )
ветствие функцию
a
AB
ℬ
K
, , ...aaa A
01
fAB a a
(P),
aABAB
заданное множество функций обозначим через
поставим в соот-
(, ) .
𝒞
|\| ||||
(P).
K
Так
Теорема 8.3.2
Множество функций 𝒞K (P) является подалгеброй (редуцированной алгеброй) в
ℬ
(P).
K
Доказательство
,
Пусть
f
ab
𝒞
(P). Тогда функция
K
ветствует последовательности
,ab
функция
(, ) (, )
AB f AB
ab
(, ),
AB
a
соот-
где –
элемент поля, соответствует последовательности a, нулевая
функция ( , ) 0 ,AB A B P соответствует нулевой последо-
112
(, )
f
f
X
g
f
f
вательности, функция
01
,,...,aa
дельта-функция
{1, 0, 0, ...}. Свертка функций
ция
g:
(, ) (, ) ( , )
gAB f AX f X B
XA X B
:
ab ab
,
f
т.е.
где последовательность с есть биномиальная свертка
c
последовательностей
довательно,
g 𝒞
ABX tABt
B
ab
tA XAX BXt
BA
j
0
a и b:
(P).
K
Обратная (относительно операции свертки) функция для
существует тогда и только тогда, когда
AB
a
:
XA X B
tABt
B
ab
tA
ab c
j
BAj BA
с ab
– последовательности a
(, )AB
,
f
ab
ab
B
tA XAXBXi
tABt
BA
n
nini
i
– последовательности
есть по определению функ-
:,
:,
BA
tA
j
n
0
i
0a
0
1
,
,
0,1, 2,...,n
сле-
a
и определяется из
соотношений (см. 6.1.1):
11
AA f ABf BB
(, ) , (, ) (, )
aaa
что эквивалентно
11 1
fAB fAB fAXa
(, ) , (, ) (, )
aa aBX
11
aa
00
XA X B
:
1
fAA
(, )
a
1
fAXfXB
(, ) ( , ),
aa
XA X B
:
||| |
113
||1
B
f
B
B
1
Индукцией по
сит только от величины
𝒞
(P).
K
a
0
|| : ,| |
tAXAXBXt
||1
B
1
afAX
||
Bt a
a
0
tA XAXBXt
BA
||||1
1
a
0
iXAXBXiA
||||
|| : ,
afAX
Bt a
||
0:,||
A
отсюда получаем, что
||||
A
Таким образом, множество функций
1
fAXa
(, )
aBt
1
(, )
||
1
(, ).
1
(, )
AB
a
зави-
и, следовательно, принадлежит
𝒞
(P) замкнуто относи-
K
тельно операций алгебры инцидентности, содержит нейтральные и
обратные к своим функциям элементы, т.е. является подалгеброй в
ℬ
(P).
K
Теорема доказана.
Операциям алгебры инцидентности для данного множества
функций взаимно однозначно соответствуют операции сложения и
биномиальной свертки соответствующих последовательностей.
Как было показано в п. 7.2, множество последовательностей с
элементами из поля характеристики 0 может рассматриваться как
ФЭР, причем операциям сложения и биномиальной свертки последовательностей взаимно однозначно соответствуют операции сложения и умножения формальных экспоненциальных рядов.
Задача
Проверьте, что дзета-функция (а следовательно, и функция
Мебиуса) алгебры
𝒞
(P) принадлежит ℬK (P). Укажите последова-
K
тельности и формальные экспоненциальные ряды (экспоненциальные производящие функции), которым соответствуют эти
функции.
114
8.3.3. Редуцированная алгебра инцидентности
A
f
f
j
ff
f
f
x
f
f
g
множества натуральных чисел,
частично упорядоченного по делимости
Рассмотрим множество A бесконечных последовательностей с
{ , ...}| ,
элементами из поля
1, 2,... .i
Рассмотрим алгебру инцидентности
P = ℕ
множество всех натуральных чисел
–
K характеристики 0:
𝒟
K
делимости.
Каждой последовательности
(, )
ветствие функцию
a
ij
𝒟
K
множество функций обозначим через
, , ...aaa A
12
(P),
𝒬
K
(, ) .
i
aji
(P).
Теорема 8.3.3
Множество функций 𝒬K (P) является подалгеброй (редуцированной алгеброй) в
𝒟
(P).
K
Доказательство
Пусть
ствует последовательности
,
ab
𝒬
(P). Тогда функция
K
,ab
ab
функция
aa a K
1, 2
(P) над K, где ч.у.м.
ℕ, упорядоченных по
поставим в соот-
a
Так заданное
/
(, ) (, )
ij f ij
(, ),
ij
a
соответ-
где – эле-
i
мент поля, соответствует последовательности
yxyP соответствует нулевой последовательности,
(, ) 0 , ,
(, )
ij
функция
та-функция
функций
,
ab
– последовательности
a
(, )xy
– последовательности {1, 0, 0, ...}. Свертка
f
есть по определению функция
:(,) (,) (,)
ggij f ikf kj
ab ab c
:| | : |
kik j rr
:| |
kik j
// / /
ki jk r jir ji
т.е.
где последовательность c есть свертка Дирихле
,
f
c
115
a, нулевая функция
ab
j
i
,,...,aaa
12
,
дель-
последовательностей a и b:
g
f
f
j
f
j
cab
ndnd
:|
ddn
следовательно,
,
/
𝒬K (P).
Обратная (относительно операции свертки) функция для
существует тогда и только тогда, когда
0a
и определяется из
1
a
соотношений (см. 6.1.1):
11 1
(, ) , (, ) ( , ) (, ) ( , ),
aaaaa
1
ii fijfjj fikfkj
fii
(, )
a
ik j
||
что эквивалентно
1
fii
(, ) ,
a
11 1
(, ) (, ) (, ) .
fij fika firia
aajka
Индукцией по
только от
11
i
и, следовательно, принадлежит 𝒬K (P).
aa
11
:| | 1
kik j r
1
k
i
отсюда получаем, что
Таким образом, множество функций
1
a
1
j
1
i
/
1
(, )
ij
a
𝒬
(P) замкнуто относи-
K
j
/
r
i
зависит
тельно операций алгебры инцидентности, содержит нейтральные и
обратные к своим функциям элементы, т.е. является подалгеброй в
𝒟
(P).
K
Теорема доказана.
Операциям алгебры инцидентности для данного множества
функций взаимно однозначно соответствуют операции сложения и
свертки соответствующих последовательностей.
Как было показано в п. 7.3, множество последовательностей с
элементами из поля характеристики 0 может рассматриваться как
ФРД, причем операциям сложения и свертки Дирихле последовательностей взаимно однозначно соответствуют операции сложения
и умножения формальных рядов.
Задача
Проверьте, что дзета-функция (а следовательно, и функция
𝒟
Мебиуса) алгебры
(P) принадлежит 𝒬K (P). Укажите последова-
K
тельности и формальные ряды Дирихле (производящие функции
Дирихле), которым соответствуют эти функции.
116
Лекция 9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМАЛЬНЫХ РЯДОВ
И ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
Рассматривается применение формальных степенных и экспоненциальных рядов, а также соответствующих производящих
функций для решения ряда перечислительных задач. Получены
формулы для мультисекции и обращения степенного ряда. Приводится подход к построению формальных рядов и производящих
функций многих переменных.
Ключевые слова: формальные степенные ряды, формальные
экспоненциальные ряды, производящие функции, экспоненциальные производящие функции, бесконечные произведения, мультисекция степенного ряда, обращение степенного ряда, числа Каталана, формула Добинского, число разбиений, число корневых помеченных деревьев, производящие функции многих переменных.
Введение. В данной лекции рассматриваются перечислительные
задачи, для решения которых будут использоваться формальные
ряды и производящие функции. С использованием ПФ индикаторов подмножеств множества целых неотрицательных чисел получены ПФ чисел сочетаний и разбиений. Будет рассмотрена мультисекция степенного ряда, что соответствует выборке периодической
подпоследовательности из исходной последовательности.
На примере решения задачи о подсчете числа корневых помеченных деревьев рассматривается использование обращения степенного ряда (вариант формулы Бюрмана-Лагранжа). Вводится понятие формальных рядов и производящих функций многих переменных.
9.1. Задача о расстановке скобок
Рассмотрим какую-нибудь неассоциативную операцию, например деление. Пусть
нулю.
, , ...,
aa a
12
– некоторые числа, не равные
n
117
Тогда значение выражения
aa a
дут расставлены скобки. Пусть
::...
12
– число способов расставить
t
n
зависит от того, как бу-
n
скобки в этом выражении, тогда непосредственно проверяется, что
1, 1, 2.tt t
123
Постараемся получить рекуррентное соотношение для
Пусть самые внешние скобки замыкают
.nt
( ... )
aa
1
k
и
( ... ),
aa
1
kn
т.е. знак последней по порядку выполнения операции стоит между
и
a
k
1.ka
Эту последнюю операцию можно поставить в любой промежуток между переменными, т.е. k может принимать значения 1, ...,
n – 1. При фиксированном k остальные скобки можно расставить
tt
способами. Тогда
knk
1
n
tttn
nknk
1
k
; 2, 3....
Умножим полученное рекуррентное соотношение на
n
z и про-
суммируем по n от 2 до +:
1
nn
tz t t z
nknk
221
nnk
Введем ФСР (производящую функцию)
n
.
() .
Tz tz
n
1
n
n
Меняя порядок суммирования (в предположении, что ( )Tz –
сходящийся ряд, он будет и абсолютно сходящимся), получим:
1
n
()
Tz z t z t z
nk
knk k j
11 1 1
knk kj
tz t z tz tz T z
knk k j
21
knk
nnk
2
(),
т.е.
2
() () 0,Tz Tz z
отсюда
114
() .
Tz
z
Поскольку
2
() ,
Tz t z
n
n
то (0) 0,T
n
1
тогда выбираем
118
Tz
114
() .
z
2
Раскладываем бином в ряд:
x
11
( ) (1 (1 4 ) ) 1 ( 1) 4
Tz z z
22 !
1/2
111
2!
n
1
n
1 ( 1) ( 3) ... (1 2 2 ) ( 1) 2
n
2
12
2!
n
1
(домножим числитель и знаменатель на 2 4 ... (2 2)n
1
nn
2( 1)!)
11
2!24...2(1) 2 !(1)!
nn nn
111
nnn
Следовательно,
nn
2 (2 2)! 2 (2 2)! (2 2)!
nnn
nnn
zzz
(2 2)!
n
n
!( 1)!
nn
t
11 1
22 2
0
n
n
13...(2 3)
n
!2 ( 1)!
nn
Эти числа называются числами
.
1 ... 1
n
nnn
n
2
nz
nz
nnn
n
1
n
.
Каталана.
22
n
Преобразуем
(2 2)! (2 2)!
nn
t
n
! ( 1)! ( 1)! ( 1)!
nn n n nn
1
n
.
1
Проверяем:
024
111134
tt t
12 3
12332!
1; 1; 2.
013
Задача 9.1
Используя рекуррентные соотношения для чисел Стирлинга
второго рода, полученные в разделе 8.2, доказать, что производящая функция чисел Стирлинга второго рода есть
nk x
(, ) .
nk
n
(1 )(1 2 )...(1 )
119
k
x
xkx
9.2. Экспоненциальная производящая функция
B
B
B
F
для чисел Белла. Формула Добинского
Как определялось в разделе 1.5, число Белла
n
разбиений множества из
элементов на непересекающиеся непу-
– это число
n
стые подмножества. Для чисел Белла справедлива рекуррентная
формула:
nn n
BBB BB
1100
nnn
01
Положив
n
zn
на
Fz B
() ,
n
!
и просуммируем по n от 0 до +.
n
z
n
n
!
0
Получим справа от знака равенства
... , где 1.
n
умножим рекуррентное соотношение
nk
n
n
n
z
!
n
00
k
так как это ЭПФ биномиальной свертки последовательности
nk
Fze
z
() ,
с
n
последовательностью {1, 1, 1, ...}. Слева от знака равенства получим
z
далее
11,ce
1
1
1,C
n
()
kz
(),
z
z
таким образом,
00 1
nn n
таким образом,
()
Fz
()
Так как
Fz e
Fz
z
e
() .
nn n
Bz Bz Bz
11
nn n
!(1)! !
ndz n dz n
(ln( ()) , ln () , () .
(0) 1,FB
1
dd
() () ,
Fz Fz e
zz eC
Fz e FzeCFze
то
0
Разложим найденную ЭПФ по степеням z:
kz n n
ezk
() ,
Fz e e e
11 1
!!! !!
kkn nk
kkn nk
000 00
отсюда получаем формулу Добинского:
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]