Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
жествах, и число подмножеств, содержащих любую фиксирован-
A
A
A
A
ную пару элементов, равно
.
Теорема 2.2.4
Для
,,,,bvrk
-конфигурация выполняются равенства:
,(1) (1)bk vr v r k
.
Доказательство
Обозначим через
J
– матрицу из единиц размера ,nn и через 𝟙
n
ниц размерности
Тогда требования для
виде выражаются следующими уравнениями:
ArEJ
T
𝟙
v
T
k
,
𝟙
𝟙
b
В каждом столбце матрицы
следовательно, число единиц в матрице равно
В каждой строке
число единиц в матрице равно
,,,,bvr k
ров:
-конфигурации имеет место равенство для ее парамет-
.bk vr
E
единичную матрицу размера ,nn через
n
– вектор из еди-
n
n.
,,,,bvr k
r
r
T
r
𝟙
b
v
.
-конфигурации в матричном
vv
r
,
k единиц; число столбцов равно b,
bk.
r единиц, число строк равно v, следовательно,
vr. Таким образом, для любой
Из вышеприведенных матричных уравнений следует, что
r
r
T
A
𝟙
v
𝟙
v
r
(1)
rv
,
𝟙
v
31
и одновременно
A
A
A
Отсюда
T
A
𝟙
v
TT
)
(𝟙
v
1,kr r v
и мы получили второе соотношение
Ak
kr
𝟙
b
.
𝟙
v
для нашей
Теорема доказана.
Определение 2.2.4.
,,,,bvrk
Из 1-го равенства для
лучаем
Второе соотношение принимает вид
2.2.3. Матрицы Адамара
Определение 2.2.5.
()nn
-матрица H, элементами которой являются +1 и –1, такая, что
T
HH nE
Это равенство эквивалентно тому, что любые две строки матрицы Адамара ортогональны. Очевидно, что перестановка строк или
столбцов матрицы, а также умножение строки или столбца на –1
сохраняют это свойство.
Определение 2.2.6. Будем называть две матрицы Адамара экви-
валентными, если одна может быть получена из другой с помощью
вышеуказанных операций.
Для данной матрицы Адамара всегда можно найти эквивалентную ей матрицу Адамара, первая строка и первый столбец которой
состоят целиком из +1.
Определение 2.2.7. Матрица Адамара, первая строка и первый
столбец которой состоят целиком из +1, называется нормализованной.
,,,,bvrk
-конфигурации при .bv
.kr
.
n
-конфигурации:
(, , )vk
Матрицей Адамара порядка n называется
-конфигурация – это частный случай
,,,,bvrk
(1) ( 1).vrk
-конфигурации при bv по-
(1) (1).vkk
32
Существуют матрицы Адамара порядков 1 и 2:
x
x
11
(1),H
1
H
2
11
.
Теорема 2.2.5
Если H – матрица Адамара порядка 3,n то n кратно 4.
Доказательство
Умножением нужных строк и столбцов матрицы H на –1 приведем ее к нормализованному виду. Три первые строки матрицы после нормализации будут состоять из столбцов четырех видов:
11 1 1
1, 1 , 1, 1
111 1
.
Пусть число столбцов каждого вида равно соответственно
,,,.
yzt Тогда
yztn
,
xyzt
0,
xyzt
xyzt
0,
0.
Первое из этих уравнений означает то, что общее число столбцов равно
n.
Второе уравнение выражает ортогональность первой и второй
строки, третье – первой и третьей, четвертое – второй и третьей.
n
x
,
Сложив все уравнения, получим
умножая второе и четвер-
4
n
тое уравнения на –1 и складывая все уравнения, получим
y
4
далее, действуя аналогично, получим решение всей системы:
xyzt
n
.
Отсюда заключаем, что если H – матрица Адамара
4
порядка
то n кратно 4.
3,n
Теорема доказана.
33
,
Замечание. Вместо второй и третьей строк могли быть исполь-
H
зованы любые две различные строки матрицы, кроме первой.
Следствие 1. В каждой строке нормализованной матрицы Ада-
мара, кроме первой, число единиц равно числу минус единиц и
равно половине числа столбцов.
Следствие 2. Каждая пара строк нормализованной матрицы
n
Адамара, не содержащая первую строку, имеет
в обеих строках стоят 1. Числа мест, на которых встречаются
остальные возможные сочетания элементов:
1, 1
Матрица Адамара не вырождена, следовательно, обратима, тогда,
умножая равенство
nH H HH H
и, следовательно,
столбцы матрицы Адамара – ортогональны.
рица Адамара, следует, что утверждения следствий 1 и 2, сформулированные для строк нормализованной матрицы Адамара, верны
и для ее столбцов.
построить
строить нормализованную матрицу Адамара порядка 4 .nm
– также равны
Дополнительные свойства матриц Адамара:
1. Поскольку
det det det ,
HH H следовательно,
11,TT
2. Из того, что транспонированная матрица Адамара – тоже мат-
Теорема 2.2.6
Из нормализованной матрицы Адамара порядка
21,km
T
(, , )vk
n
для каждого сочетания.
4
T
то
nE HH
n
nE HH
откуда
T
также является матрицей Адамара, т.е.
-конфигурацию с параметрами 4 1,vm
и обратно, из такой конфигурации можно по-
1m
,
2
n
det det
nE n HH
T
слева на
1
1
HH
T
n
мест, на которых
4
1, 1 ,
nT
n
Отсюда
.
det 0.
Hn
1
,H
HH nE
1, 1 ,
получим
T
mn 4
n
2
n
можно
34
Доказательство
Из нормализованной матрицы Адамара H построим матрицу A
следующим образом: удалим из матрицы H первую строку и первый столбец, а в оставшейся подматрице заменим все элементы –1
на 0. Получим квадратную матрицу A порядка 4 1.m
Рассмотрим скалярные произведения ее строк. Скалярное произведение строки на себя равно числу единиц в ней, которое в результате удаления первого столбца на единицу меньше числа единиц в строке матрицы H. По следствию 1 это составит 2 1.m
Скалярное произведение различных строк матрицы A по той же причине будет на единицу меньше числа мест в соответствующих
строках матрицы H, на которых в обеих этих строках стоят единицы. По следствию 2 это составит
21 1 1 1
mm m m
mm
12 1
T
AA
mmm
1211
mm m m
11 121
Таким образом,
1.m
.
Далее, как было указано, число единиц в каждой строке матри-
цы A равно 2 1.m
Число единиц в каждом ее столбце на единицу
меньше числа единиц в столбце матрицы H, которое по следствию
2 равно
Следовательно, каждый столбец матрицы A содержит
2.m
12 m единиц. Таким образом, матрица A есть матрица инцидент-
ности
(, , )vk
1.m
Обратно, пусть A есть матрица инцидентности
фигурации с параметрами
им матрицу
-конфигурации с параметрами
41, 21, 1.vm k m m
41, 21,vm km
(, , )vk
-кон-
Постро-
и заменим в ней все элементы 0 на –1. Полученную матрицу из
единиц и минус единиц обозначим через H. Она будет матрицей
Адамара, если все ее строки ортогональны. Рассмотрим пару ее
35
строк, не содержащую первую строку. Эти две строки будут состо-
x
x
x
x
ять из столбцов четырех видов:
11 1 1
,,,.
111 1
Пусть число столбцов каждого вида равно соответственно
,,,.
yzt Тогда
рицы A
нии матрицы
числу мест в этих строках, на которых в обеих строках стоит 1.
Число столбцов первого вида
счет того, что добавленный первый столбец дает еще одну пару
столбцов матрицы H равно 4 ,m то и
ное произведение рассматриваемых строк матрицы
матрица
плюс 1 (за счет добавления столбца из единиц при построе-
Скалярное произведение строк матрицы
1
.
Итак,
1
0.xyzt
H есть матрица Адамара.
Теорема доказана.
ym
H). Аналогично 2 .
.xm
Отсюда
Строки ортогональны, следовательно, построенная
так как это число единиц в строке мат-
2,
zm
равно числу таких мест плюс 1 за
,,ymzm
A равно
и, поскольку общее число
.tm
Следовательно, скаляр-
и равно
1m
H равно
36
Лекция 3. ГРАФЫ
Вводятся основные понятия теории графов. Определяются основные виды графов и их представления: диаграммы, матрицы инцидентности, матрицы смежности. Рассматриваются некоторые
задачи перечисления графов, а также пути в графах.
Ключевые слова: графы, ориентированные графы, мультигра-
фы, матрицы смежности графов, матрицы инцидентности графов,
достижимость, связность, перечисление помеченных графов.
Введение. В данной лекции рассматриваются основные понятия
теории графов. Определяются графы, ориентированные графы,
мультиграфы, их матрицы инцидентности, матрицы смежности.
Получены формулы для числа помеченных графов ориентированных графов, мультиграфов с заданными числами вершин и ребер
(дуг). Рассматриваются понятия, относящиеся к путям в графах:
достижимость, связность, эксцентриситет, диаметр, радиус. Исследуется связь числа путей между вершинами со степенями матицы
смежности.
3.1. Основные определения и обозначения
Определение 3.1.1.
рами называется пара, состоящая из множества
его двухэлементных подмножеств
e
ства
ства
тов множества
ворят, что граф имеет помеченные вершины, или что перед нами
помеченный граф.
есть ребро
называются ребрами графа, а элементы основного множе-
i
V – вершинами графа.
Вершины графа при этом помечены идентификаторами элемен-
V (номерами); если требуется подчеркнуть это, го-
Определение 3.1.2. Пусть i, j – вершины графа. Если в графе
{, },eij
Конечным графом с n вершинами и m реб-
V и системы из m
;, , ,
Ve e
1
то говорят, что вершины i и j смежны или со-
при этом множе-
m
37
единены ребром e, при этом ребро e инцидентно этим вершинам, а
они, в свою очередь,
Смежность вершин
инцидентны соединяющему их ребру.
i и j будем обозначать i ~ j.
Число ребер, инцидентных данной вершине графа, называется
ее
степенью.
Определение 3.1.3.
,,
ee
1
называется матрица инцидентности образующей его си-
m
Матрицей инцидентности графа
стемы двухэлементных подмножеств – ребер графа.
Определение 3.1.4. Изолированная вершина – вершина степени 0.
Определение 3.1.5.
графа
(, ),GVE
если
Граф
(, )GVE
,.VVEE
называется подграфом
3.2. Свойства матрицы инцидентности графа
Теорема 3.2.1 (Эйлера) о степенях вершин графа.
Сумма степеней вершин графа равна удвоенному числу ребер:
n
,,
dd
i
i
1
1
где
2,
dm
Доказательство
Строка матрицы инцидентности соответствует определенной
вершине графа. Число единиц в этой строке равно степени этой
вершины. Сумма степеней вершин, следовательно, равна числу
единиц во всей матрице. С другой стороны, в каждом столбце матрицы ровно две единицы, число столбцов равно числу ребер, отсюда вытекает утверждение теоремы Эйлера – одного из первых доказанных свойств графов.
Теорема доказана.
Если мы из матрицы инцидентности графа вычеркнем любую
строку, то она может быть впоследствии восстановлена, так как
n
i
d
1
0(mod 2).
i
– степени вершин, m – число ребер.
n
;V
38
j
A
Определение 3.2.1.
ся от графа тем, что, у него пары элементов, образующих ребра,
упорядочены. Эти пары называют
Отменив упорядочение в ориентированном графе, получим
(обычный) граф,
графу.
Чтобы подчеркнуть ориентацию, дугу
ного графа иногда будем обозначать
направлена из вершины
Ориентированный граф – это уже система упорядоченных подмножеств (пар вершин), поэтому для него вводится свое определение матрицы инцидентности.
Определение 3.2.2. Матрица инцидентности ориентированного
графа отличается от матрицы инцидентности соответствующего
ему графа тем, что для обозначения дуги
ответствующем данной дуге, на месте
–1. На остальных местах в данном столбце, как и раньше, стоят нули.
Пусть есть граф
E – множество ребер.
Определение 3.2.3. Матрицей смежности (неориентированно-
го) графа
:nn
шины
Матрица смежности неориентированного графа, очевидно, симметрична.
Определение 3.2.4. Матрица смежности ориентированного
графа – это матрица из нулей и единиц размера ,
ребер; ее элемент
есть дуга, направленная из вершины
G называется матрица из нулей и единиц размера
(),
aG
Gij
i и j смежны.
Ориентированный граф (орграф) отличает-
дугами.
соответствующий данному ориентированному
,ei
ij
и говорить, что она
j в вершину i.
ei j
i стоит 1, а на месте j стоит
(, ),GVE
где
равен 1 тогда и только тогда, когда в графе
a
ij
V – множество вершин мощности n,
()1
aG
ij
тогда и только тогда, когда вер-
i в вершину j.
ориентирован-
в столбце, со-
nn
где n – число
39
Допустим в качестве ребер графа одноэлементные подмноже-
ства. Для таких ребер введем следующее.
Определение 3.2.5. Петля – ребро, соединяющее вершину с ней
самой.
Наличию петли соответствует единица на главной диагонали
матрицы смежности.
Если допустить, чтобы пары вершин, фигурирующие в определении графа, т.е. ребра, образовывали мультимножество, то говорят, что граф имеет
кратные ребра. Соответственно определяются
кратные петли.
Определение 3.2.6. Два помеченных графа называются изо-
морфными
, если существует такое взаимно однозначное отображение между их вершинами (перенумерация), после применения которого они станут одинаковыми.
3.3. Некоторые перечислительные задачи,
относящиеся к помеченным графам
Задача 3.3.1.
Найти число различных помеченных графов (без
кратных ребер и петель).
В матрице смежности надо заполнить только треугольник над
главной диагональю из
12nn
мест (так как нижний треуголь-
ник является его симметричным отражением). Разным заполнениям
соответствуют разные графы, следовательно, всего помеченных
неориентированных графов столько, сколько способов расставить
n
2
нули и единицы по этим местам, т.е.
2.
Задача 3.3.2. Найти число различных помеченных графов с пет-
лями.
Если допустить петли, то количество таких графов возрастет до
n
n
2
22
(1)
nn
2
(у нас появляется еще n «свободных» мест по
главной диагонали).
Задача 3.3.3. Найти число ориентированных помеченных гра-
фов без петель.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]