Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5495 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
06.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Доказательство
y
f
f
f
xy
y




x

x
x
1
Утверждение следует из того, что при построении
используются только значения функции это множество по условию одно и то же для
Следствие доказано.
Пусть , ,
**
gh g f h

Определим две важные функции алгебры инцидентности.
Определение 6.1.5. Дзета-функция определяется следующим
образом:
Определение 6.1.6. Функция Мебиуса определяется следующим
образом:
Отсюда
;xP
:
zx z y

тогда
,,
 

gh из F
1
и
,

xy

,,1,xx xx
,,0
xz z y
 
yxz
:
zx z y

и функция h обратима. Тогда
P
K
**.
hg g h f

1при
 
0 в противном случае.

 
и
или
,,
следовательно,
:
zx z y

 
f на множестве
P и Q.
1
xy
1
x
.
,1xx
,,0
xz zy

,,
yzy
:
zx z y

[, ]xy
для любого
при x < y,
для
,fx

, а
;xy
обращения.
,0для .
yxy
Функция Мебиуса играет важную роль при получении формул
71
6.2. Обращение Мебиуса
x

g

g

g

f
Теорема 6.2.1 (формулы обращения Мебиуса)
Пусть
функции.
1). Пусть
Тогда справедлива 1-я формула обращения Мебиуса (обращение снизу).
2). Пусть
Тогда справедлива 2-я формула обращения Мебиуса (обращение сверху).
Доказательство
Докажем первую формулу. Если множество P содержит наименьший элемент, обозначим его соединим к множеству P новый элемент
ством:
,P
– локально конечное ч.у.м., K – поле, , :fgP K –
,P
таково, что для любого
xfyfxgyyx


::
yy x yy x

,P
таково, что для любого
xfyfxgyxy

0x
для любого
.xPyPyx

::
yy x yy x

т.е. наименьший элемент, и поло-
,xP
0. В противном случае при-
P
,.
,.
0 со следующим свой-
.yy x
жим
Тогда
000.fg


:0 :0
yyx yyx
 
Введем две новые функции:

gxy

xg x fy
0, 0, , * 0, .
yfyyxfx
0при0,
gy x
,
0 при 0.
fy x
,
fxy
при 0
при 0

:00,yyx

72
x
x
Отсюда

f

g
g




1
0, * 0, * 0, ,
xg xg x
или
fx f x g x


:0 :0
yyx yyx
Вторая формула обращения доказывается аналогично, но вместо наименьшего вводится наибольший элемент
,fx
 
Теорема доказана.
Для применения обращения Мебиуса необходимо уметь вычис­лять функцию Мебиуса алгебр инцидентности конкретных ч.у.м. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 6.2.1. Функция Мебиуса алгебры инцидентности ко-
нечной цепи.
Пусть
бого i;
x

 
заменяются на
,P
ii iz ii
   
0, , , .

,1 , , 1
 
0, * 0,

yyx gyyx
 
,1 , ,1fx gx

012 .Cn n
:1
zi z i

соответственно.
Тогда
1,
и функции
,1ii
для лю-
;
,2 , , ,10
ii iz ii ii
   
:2
zi z i

и далее
Пример 6.2.2. Функция Мебиуса алгебры инцидентности бес-
конечной цепи:

зависит только от значений дзета-функции на интервале
дзета-функция
),jn
,0ii k

,P
то по следствию 5.3.1 совпадают и функции Мебиуса:
для
012 .C
,ij
для множеств
2,k
,0ij
Так как функция Мебиуса
73
Cn
для
и
C
,
.ij
,ij
,,ij
совпадает (при
а
ji

x


x

x
xx

x
xy

x

1при
 
ij j i

,1при1

1-я формула обращения Мебиуса принимает вид
gn f i f n gn gn
   
i
Более интересные примеры относятся к более сложно устроен­ным ч.у.м. Для вычисления их функций Мебиуса потребуется сле­дующее утверждение.
Теорема 6.2.2. Функция Мебиуса прямого произведения ч.у.м.
Пусть
прямое произведение. Если
1.

2.
Доказательство
1.

,yy
2. Функция Мебиуса ч.у. множества однозначно задается
уравнениями
,,
yxy
,PP
,

,,, , , ,
yxy xx yy
PQ P Q

PQ P Q
PQ
что равносильно тому, что
PQ
,,, , , .


,,, 1
xy x y




,QQ
yxy xy xy


:
zx z y

имеем
xy x y xx yy
PQ P Q
 
0 в других случаях.
n

0
– локально конечные ч.у.м., PQ – их
,,
yxy


тогда и только тогда, когда
,,
zxy
,,, , ,
1.
PQ
,1
xx
P
для любых


в ,PQ то
и
,1.
yy
Q
.
Для
и
 

xux yv y


xy uv x y
 
Теорема доказана.
 
,,
xu yv

 
PQ


 

,,,
 
,,.
xu yv

PQ

74

Пример 6.2.3. Классическая функция Мебиуса
Пусть
,P
– множество натуральных чисел, упорядоченных
по делимости, K – поле действительных чисел. Найдем
k
.ln
Пусть
жители, тогда
1
np p
1
lp p
Рассмотрим множество
0
tk
mm
Поскольку

nln

всех делителей числа n, упорядоченное по делимости.
,,
ln ln

Pn
Как было показано выше,
,.

k
m
– разложение числа n на простые мно-
m
r
1
1
r
m
m

0,,0
rk r k
где
,

11
t
1
1
np p tk  

, то по следствию 5.3.1
nCk Ck 
mm
t
m
m
1
,,ln
где
.
0,,
11
,Pln
m
Этот изоморфизм переводит числа l, n соответственно в строки
,, , ,, .
r r k k Ck Ck
 
11 1
mm m
Тогда, используя теорему 6.2.2 о произведении, имеем
, , ... ( , ..., ), ( , ..., )
ln ln r r k k
 
n

  
()1 1 ( )
Ck Ck m m
()

kr
 
iii
( 1) , если все разности равны 0 или 1;

( , ) 0 в противном случае.
ln

p
() ( ) 1 1
Ck Ck m m
( , ) ... ( , )
rk r k
1
1
Этим разностям соответствует число
m
m
kr
ii
,nl
т.е. фактически функ-
ция Мебиуса здесь есть функция от отношения аргументов.
n

Тогда в рассматриваемом ч.у. множестве
функция

    
различных простых чисел,
одного натурального аргумента задается так:
m
11, 1,
n 
если
np p
0n
1 m
– в остальных случаях. В тео-

ln


– произведение m
,,

l

где
.
75
рии чисел под названием функции Мебиуса обычно используется
f
A
A
именно функция .
Первая формула обращения Мебиуса приобретает вид
что равносильно
Это классическая формула обращения Мебиуса из теории чисел.
Рассмотрим примеры ее использования.
n
gn fd fn gd
   
::
ddn ddn
n
ngd

ddn
:
d

.
,
d
Пример 6.2.4. Функция Эйлера
Функция Эйлера от n есть число взаимно простых с n натураль­ных чисел, не превосходящих n. Для нахождения
n
разобьем
k
1
r
1
,.an d
1
1
1, 2, , n
равна
d
11
nd
k
m
m
r
m
m
на классы, соответствующие делителям числа
,dn
тогда
Число классов равно числу делителей n, мощность
n
. Действительно,
d
,aadnnd
ddn ddn
::
тогда любой делитель d имеет вид
,
где
,
и
n
d
nd d 

0,,0 .
rk r k

11
,1an
11
ddn ddn
все числа
n. Именно, пусть
если
класса
му, что
столько, сколько есть чисел
,1.an
11
Отсюда
биуса, получим
np p
dp p
1, 2, ,an
11
.
Применяя обращение Ме-


::
76
отнесем к классу
,an d
. Таких чисел
1, 2, , ,an
nn
dd
mm
равносильно то-
Следовательно,
таких, что
.

,
d
1, 2, ,an
Пусть
   
j
x
A
npp

mm
 
nn
 
jj

jj
111

01
ii ii


11
n

0
rk
11

0
rk
mm

n

01
r
1

01
r
m
11
 

pp pp
ii ii
11
jj

m

1



j
1
ii


1
n
r
1

pp
1
1
r
1
pp
1

r
m
m
  

jj


11
    
pp
ii

1
j
r
1
r
m
m
rr
1
1


 
 
r
m
m
1

m

j

11
11 .
     
npppp

pp
1

Здесь мы воспользовались тем, что
m
1,
  

1
j
ii

1



m

что несложно доказать индукцией по m.
x
ii
1
j
kk
11
11
1
kk
mm

mm
11
xx
1
 
1
m
Пример 6.2.5. Число последовательностей с заданным пери­одом
,,
Пусть
aa
1
– множество символов (алфавит). Рас-
m
смотрим всевозможные последовательности (слова) в алфавите A
:,..., ,1,...,.
длины следовательность имеет период d, если
и
nAin

1
ni
,1,,
   
iidn
ind n

Будем говорить, что по-

iid
,
1, , ,ind
.
Это означает, что циклический сдвиг слова на d дает то же слово.
77
Очевидно, что n является периодом, и что если d – период, то
2,3,dd
– тоже периоды.
Минимальным периодом последовательности назовем наименьшее d, являющееся периодом. Нетрудно видеть, что мини- мальный период делит n.
Пусть
– число последовательностей длины n, имеющих
rd

n
минимальный период d. Каждая из этих последовательностей пред­ставляет собой последовательность длины d с минимальным пери-
nd
одом d, повторенную
.
rd
Разобьем множество из всех

d
раз, и, следовательно, их число равно
n
последовательностей дли-
m
ны n в нашем алфавите на классы в зависимости от значения ми­нимального периода, который пробегает множество делителей n:
n
mrdrd
ddn ddn
Отсюда
например,
rn m


n
– простое число, тогда любое слово длины p, кро-
np
::
d
:
ddn
ме слов из одинаковых букв вида
.
 
nd
n
 
d

.
Проверим результат. Пусть,

, имеет период p. По
нашей формуле
p

dpp
rp m mp m m m

  
p
:
dd p
 

d

1,
т.е. число всех слов длины p минус число всех слов из одинаковых букв.
Рассмотрим численный пример. Пусть 2,m длины 1000 из нулей и единиц:

1000
rm

1000
n d
: 1000
md


dd
dd
: 1000
1000 500 200 100
2222.
1000

d

d

1000n
– слова
78
Видим, что даже при
A


X
f
2m
«почти все» слова длины 1000 име-
ют минимальный период 1000, доля остальных составляет
500 800 900 151

2223,0510.

Пример 6.2.6. Формулы включения-исключения
Пусть
,P
– множество всех подмножеств множества
1, , ,Sn
.AB
упорядоченных по включению. Найдем
Как показано выше,
n
PC C C
11 1,
  
и изоморфизм
,,
B
где
состоит в переходе к векторам-индикаторам подмножеств. Пусть
 
,, , ,,

11
nn
– векторы-индикаторы подмно-
жеств A и B. Как и в предыдущем примере, воспользуемся изомор­физмом и теоремой умножения:
nn
,, ,1
AB


Pii
Пусть на подмножествах
X Здесь можно использовать обе формулы обращения. Они
().
приобретают следующий вид:
gX fY f X gY
 
   
n
1
C
n


111.
  

i
1


11
ii
ii
 

1
C

\
BA B A
S задана действительная функция

::

YY X YY X

ii

XY
1
и
YX
gX fY f X gY
 
   


::
YY X YY X
1.
Эти формулы называют формулами включения-исключения. В силу их важности и широкого использования они будут детальнее рассмотрены ниже.
79
6.3. Метод включения-исключения
f
f
f
M
f
M
M
6.3.1. Постановка задачи и основная теорема
1. Пусть X – конечное множество элементов, на котором задана
весовая функция
.wx
Введем множество свойств
1, ..., ,Sn
и
пусть каждый элемент из X может либо обладать любым из этих свойств, либо не обладать. Обозначим через ( )Px множество
свойств, которыми обладает элемент x. Таким образом, P отобра­жает X в множество всех подмножеств множества S.
TS
2. Пусть
ции
() ()
Twx
точности свойствами из множества T, и
по формулам включения-исключения
3. Пусть
– некоторое множество свойств. Введем функ-
:()
xP x T
r
TT r
– сумма весов элементов, обладающих в
() (),
TfY

YT
() (1) ().
YfT


– сумма весов всех элементов, обла-
()
fT
:
TT Y
:
TY
тогда
дающих ровно r свойствами,
SfTf

0
:0
TT
() ( )

SfT
k
TT k
:
() ()
Ywx
YYxPxY

:()
весов всех элементов множества X.
Теорема 6.3.1 (метод включения-исключения)
n
rrk
kr
kr k
(1) .

S

Доказательство
() (1) ()

r
ffY


:::
TT r TT rYY

80
().

Заметим, что
– сумма
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности