Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Подставив в наше рекуррентное соотношение 0, 1,nk
10 0
чим
10 1
0,
откуда
01
01
Таком образом, для того
1.
полу-
чтобы наше рекуррентное соотношение выполнялось при всех
0
естественно положить
,0,nk
0
1.
1.5. Разбиения множеств. Числа Белла
Пусть S – основное множество из n элементов:
1, , .Sn
Определение 1.5.1. Разбиением множества S на k частей, кото-
рые называются блоками разбиения, называется представление S в
виде
1, , .ik
SA A
1
,
причем
k
AA
ij
при ,ij
A
i
,
Разбиения, отличающиеся перестановкой (перенумерацией)
блоков, считаем одинаковыми.
Обозначим через
n
число способов разбить множество из n
k
элементов на k частей. Найдем рекуррентное соотношение для
n
.
k
Теорема 1.5.1
11nnn
делены
kk k
n
.
k
при всех , 0,nk для которых опре-
k
Доказательство
Подсчитаем, сколькими способами можно разбить множество из
1n
элементов на k непустых непересекающихся частей. Для это-
го разделим множество этих разбиений множества
1, , 1Sn
на две группы следующим образом:
21
1-я группа: такие разбиения, где
(1)n
-й элемент образует от-
дельную часть (блок) таких разбиений, остальные n элементов раз-
1k
биты на
блоков. Число таких разбиений равно
2-я группа: такие разбиения, где
(1)n
-й элемент входит в один
n
;
1
k
из k блоков. Удалив этот элемент, получим некоторое разбиение
множества из n элементов на k блоков. Обратно, из фиксированно-
го разбиения множества из n элементов на k блоков можно получить k разных разбиений множества из
в зависимости от того, в какой из
1.n
Отсюда
nnn
kk k
k блоков будет добавлен элемент
1
1
Непосредственно проверяется, что
n
k
при
0
.kn
Подставив в наше соотношение
1n
элементов на k блоков,
k
n
0
.
0,
0, 1,nk
n
при 0,n
1
n
получим
10 0
10 1
1
, откуда
0
0
1
. Таком образом, для того чтобы
наше рекуррентное соотношение выполнялось при всех
0
естественно положить
0
1.
Определение 1.5.2.
разбить множество из
ными способами:
B
n
Числом Белла B
n элементов на непустые части всевозмож-
n
n
.
k
0
k
называется число способов
n
Найдем рекуррентное соотношение для чисел Белла.
22
,0nk
,
Теорема 1.5.3
B
B
nn
nn
1
nnkk
kk
нию
1.B
0
BB
kk
00
где полагаем по определе-
,
Доказательство
Разделим все разбиения множества из
1n
группу следующим образом:
1n
элемента на
k-я группа – разбиения, в которых элемент
блоке, где, кроме него, имеется еще
k элементов, k = 0, 1, 2, ..., n.
1n
находится в
Очевидно, что группы не пересекаются.
n
Число разбиений в
выбрать эти другие
разбить оставшиеся
k-й группе есть
k элементов, умноженное на число способов
n-k элементов. (Заметим, что при
k
т.е. число способов
,
B
nk
kn
число
таких разбиений равно 1, следовательно, естественно положить
n
n
0
1,B
а так как
B
n
то и
,
k
0
k
мы видели, и из рекуррентного соотношения для
0, 1.nk
Тогда, объединяя рассматриваемые разбиения для всех
0
0
Это же следует, как
1.
B
0
n
при
k
k, получим
nn
nn
1
nnkk
kk
BB
kk
00
.
23
Лекция 2. РАЗБИЕНИЯ ЧИСЕЛ И СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
Рассматриваются разбиения чисел. Для получения результатов о
числе таких разбиений и связях между ними используются рекуррентные соотношения и диаграммы Ферре. Рассматриваются системы подмножеств конечного множества с ограничениями (конфигурации), а также матрицы Адамара, их основные свойства и
связь с конфигурациями.
Ключевые слова:
подмножеств, конфигурации, матрицы инцидентности, матрицы
Адамара.
Введение. В данной лекции исследуются упорядоченные и
неупорядоченные разбиения чисел. Выводятся основные рекуррентные формулы для числа разбиений. Рассматриваются диаграммы Ферре и их использование для получения результатов о
числе разбиений. Рассматриваются системы подмножеств конечного множества с ограничениями (конфигурации). Для получения
соотношений между параметрами
пользуются матрицы инцидентности. Определяются матрицы Адамара и рассматриваются их основные свойства, а также их связь с
,,vk
-конфигурациями.
разбиения чисел, диаграммы Ферре, системы
,,,,bvrk
-конфигураций ис-
2.1. Разбиения чисел
2.1.1. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения чисел
Пусть
Определение 2.1.1. Упорядоченным разбиением числа n называ-
ется представление
n – целое положительное число.
n в виде
ny y y
12 k
, где все
24
y
i
.
ny y y
y
y
p
p
y
Каждому упорядоченному разбиению
n
можно поставить в соответствие диаграмму в виде строки из то-
чек, содержащую
n точек, разделенных вертикальными чертами,
причем число точек слева от первой черты равно
и второй чертами –
y
точек:
но
k
и т.д., справа от (k – 1)-й черты расположе-
2
|||.
yy y
12
12 k
y
k
числа
, между первой
1
Утверждение 2.1.1.
1
равно
на
1n
местах между n точками.
так как это число способов расставить
,
1nk
Число упорядоченных k-разбиений числа n
1k
черту
Определение 2.1.2. k-разбиением числа n называется представ-
ление числа
ny y y
n в виде:
12
... ,
k
где
yy
12
...
– целые.
k
Пример. 4 = 2 + 2
4 = 4
4 = 3 + 1
n
() ()
npn
()
Обозначим
n
число k-разбиений числа n,
k
число всевозможных разбиений числа
k
где
yy
12
...
ny y y
12
... ,
n (число решений уравнения
– целые). Заметим, что
k
1
k
–
k
разбиение однозначно определяется списком пар
1, , 2 , , , , ,
ii ni
12
гаемых, равных
j.
где
n
– число входящих в разбиение сла-
i
j
2.1.2. Диаграммы Ферре разбиений чисел
Определение 2.1.3.
составленная из точек, сгруппированных в строки, длины которых
не возрастают:
Диаграммой Ферре называется диаграмма,
25
............
p
.........
......
...
...
Поставим в соответствие
из
n точек и k строк, причем число точек в первой строке равно
k-разбиению числа n диаграмму Ферре
первому слагаемому разбиения, во второй – второму и т.д.
Пример: 5 = 3 + 1 + 1
Теорема 2.1.1
Число разбиений числа n на k слагаемых равно числу разбиений
числа
n – k на не более, чем k слагаемых:
k
() ( ) ( ).
npnk pnk
kk j
j
1
Доказательство
Пусть у нас есть некоторое разбиение числа n на k слагаемых.
Рассмотрим его диаграмму Ферре. «Отрезав» у диаграммы первый
столбец (в нем ровно
разбиения числа
нив слева столбцом длины
ния числа
n – k, имеющую не более k строк, получим диаграмму
Ферре разбиения числа
k точек), получим диаграмму Ферре некого
n – k, имеющую не более k строк. Обратно, допол-
k диаграмму Ферре для любого разбие-
n на k слагаемых.
Теорема доказана.
Пример. Очевидно, что
() (2) (2)1 (2)11 (4).../2pn pn pn pn pn n
21 2 2 2
n-четных,
для
() 1 ... 1 (1) ( 1)/2pn p n
22
1
() 1.pn
Согласно теореме
–
– для n-нечетных.
Теорема 2.1.2
Число разбиений числа
n на не более чем k частей равно числу
разбиений того же числа на произвольное число частей, каждая из
которых не больше
k. Другими словами, общее число решений
26
уравнений
L
y
ny y
1
в целых числах
... 0
yy
1
L
для всех
Lk равно числу решений в целых числах уравнения
ny y
1 m
для всех
0.
где
,mn
1
yk
m
Доказательство
Рассмотрим разбиение числа n на некоторое число частей, не
превосходящее
k. Транспонируем диаграмму Ферре подобно тому,
как транспонируют матрицы, т.е. отразим относительно главной
диагонали. Получили вновь диаграмму Ферре, у которой длина
строк не превышает
всех разбиений числа
k. Протранспонируем так диаграммы Ферре
n на не более, чем k частей. Получим диа-
граммы всех разбиений, длины строк диаграмм Ферре которых не
превышают
k.
Теорема доказана.
Пусть
чет
,
n
нечет
– числа разбиений числа n соответ-
n
ственно на четное и нечетное число различных слагаемых.
Теорема 2.1.3 (Эйлера)
2
() ()
nn
чет нечет
(1) ,при
0, в противном случае
k
n
k
3
k
2
Доказательство
Пусть у нас выписаны все разбиения числа n на четное и нечетное число различных слагаемых. Рассмотрим диаграмму Ферре некоторого разбиения:
s = 2
b = 2
Самую нижнюю строчку диаграммы назовем ее основанием b.
Число точек в ней также будем обозначать буквой b.
Из самой правой точки первой строки проведем влево вниз прямую под углом 45
. Точки диаграммы, которые оказались на этой
27
прямой, назовем боковой стороной s. Число точек в ней также бу-
дем обозначать буквой s. В примере b = 2 и s = 2.
Возможны два случая.
Случай 1. Если
заем» основание
b и «приклеиваем» его к боковой стороне. После
то выполняем «Преобразование 1»: «отре-
,bs
этого оно будет новой боковой стороной.
Число строк диаграммы (слагаемых разбиения) уменьшилось
на 1, следовательно, четность числа строк изменилась. Число точек
при этом не изменилось.
В случае, когда боковая сторона и основание пересекаются, указанное преобразование возможно в случае
зование будет неприменимо в случае, когда
.bs
Назовем такое разбиение «Исключением 1».
.bs
Данное преобра-
b и s пересекаются и
Случай 2. Если ,bs то выполняем «Преобразование 2»: «отре-
заем» боковую сторону
s и «приклеиваем» ее к диаграмме снизу в
качестве нового основания. Четность числа слагаемых (числа
строк) изменится, а число точек останется прежним. Если основание и боковая сторона пересекаются, то «Преобразование 2» будет
возможно, когда
будет неприменимо в случае, когда
1.sb
Следовательно, данное преобразование
b и s пересекаются и
1.sb
Назовем такое разбиение «Исключением 2».
Легко видеть, что Преобразования 1 и 2, в случае их применимости, взаимно обратные. Таким образом, с помощью этого соответствия мы каждому четному разбиению (разбиению с четным
числом различных слагаемых) взаимно однозначно поставили в
соответствие нечетное разбиение.
Итак, все наши разбиения разбились на пары, следовательно,
число четных и нечетных разбиений одинаково, кроме Исключений
1 и 2 (для них пары нет).
Рассмотрим подробнее Исключение 1:
bs в диаграмме k строк, следовательно, ;sk
;
nk k k k k
.... 1 .... 1 ,
kk kk
( 1) ( 2) ..... ( 1)
1
23
k
четность этого разбиения равна четности
b и s пересекаются и
всего точек
k
(1)3
kk k k
2
2
22
k.
28
Рассмотрим Исключение 2: b и s пересекаются и 1;bs
A
грамме
k строк, следовательно,
всего точек
;sk
в диа-
n
2
2
3
kk
2
,
то
kk k k
( 1) ( 2) .... ( ) ,
nk k kkk
2
четность этого разбиения также равна четности
Итак,
можны, т.е., если
() () 0,nn
чет неч
2
3
kk
n
2
если исключительные случаи невоз-
2
Если
.
32kk
n
(1)3
22
k.
или
в каждом из этих случаев существует одно исключение – «непар-
ное» разбиение, и тогда
() () (1).
nn
чет неч
k
Исключительные
случаи не могут возникнуть одновременно, т.е. для одного и того
n
же
. Действительно, пусть для некоторых натуральных k и m вы-
22
33
полняется
3( ) 1,mk
kkmm
n
22
что невозможно для натуральных k и m.
.
Отсюда
22
3( )mk mk
и
Теорема доказана.
2.2. Системы множеств
2.2.1. Основные определения и обозначения
Пусть есть основное множество
S из n элементов:
1, ..., ,Sn
и
есть множество его подмножеств
SSi m
i
, которое будем
,1,,
называть системой подмножеств.
Каждой системе подмножеств можно сопоставить матрицу инцидентности.
Определение 2.2.1.
;,1,,
SS S j m
j
nm
из нулей и единиц, где
Матрицей инцидентности системы
называется матрица
1при
aim
ij
0при
29
xS
ij
xS
ij
размера
a
ij
,1,,.
Обозначим через
j
A
j
A
A
A
A
Aj
AA
A
Aj
j
A
j
j
j
v
j-й столбец, через
– i-ю строку мат-
()Ai
A. Тогда вектор-столбец
рицы
жества
Пусть
будем называть сумму его координат. В этих обозначениях
()Aj
число множеств, содержащих одновременно элементы с номерами
i и j.
Определение 2.2.2. Система подмножеств с матрицей инци-
дентности
условия в отношении следующих величин:
, 1,, ;(())(),, 1,,,ij m Ai Aj ij n
стей подмножеств и числа появления элементов и пар элементов в
подмножествах системы.
Задание конкретных условий определяет конкретный класс
блок-схем.
Рассмотрим некоторые примеры.
2.2.2. Конфигурации
Определение 2.2.3.
множеств с матрицей инцидентности
цов, вес всех строк одинаков и равен
и равен
кроме того,
Таким образом, эта система подмножеств состоит из b
k-подмножеств некоторого основного
дый элемент основного множества присутствует ровно в
.jS
V – вектор из нулей и единиц, тогда весом
S
ii
– число подмножеств, содержащих j-й элемент;
A называется блок-схемой, если выполняются некоторые
,,,,bvrk
k:
,1,,;
ki b
i
(()) () , 1, , , .
iA
есть вектор-индикатор подмно-
V
,
ASS
ij i j
т.е. в отношении мощно-
-конфигурация – система под-
A, имеющей v строк, b столб-
r, вес всех столбцов одинаков
() , 1, , ;
i
-множества таких, что каж-
30
r
,
i
vi
,
(),
v
вектора V
–
ij
()) ( )Ai A j
r подмно-
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]