Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Определение 4.3.3. Дерево (ориентированное или нет) с одной
особо выделенной вершиной называется корневым деревом, а выделенная вершина – корнем дерева.
Определение 4.3.4. Лес – граф без циклов (т.е. лес – это граф,
компонентами связности которого являются деревья).
Теорема 4.3.1. «5 определений дерева»
Для графа G следующие утверждения эквивалентны:
1) G – связный граф без циклов (дерево);
2) G – связный граф, но удаление любого ребра делает его не-
связным;
3) G – связный граф, и для любых двух вершин существует
единственный соединяющий их путь;
4) G – ацикличен и имеет n – 1 ребро, где n – число вершин гра-
фа G;
5) G – связен и имеет n – 1 ребро, где n – число вершин графа G.
Примечание. В силу эквивалентности утверждений каждое из них мог-
ло бы служить определением дерева – отсюда название теоремы.
Доказательство
Схема доказательства: 1) 2) 3) 1) 4) 5) 1).
1)
2). Доказательство «от противного». Пусть 2) не выполня-
ется, т.е. граф несвязен или он связен и есть ребро, удаление которого не делает граф несвязным. В первом случае (несвязность)
утверждение 1) не выполняется. Пусть граф связен. Рассмотрим
ребро (u, v), удаление которого не делает граф несвязным. В новом
,G
графе
полученном путем удаления этого ребра, вершины u и v
по-прежнему соединены путем, следовательно, в графе G есть
цикл, состоящий из этого пути и удаленного ребра, и утверждение
1) неверно.
3). Пусть 3) не выполняется и граф связен. Пусть вершины
2)
u и v соединены двумя различными путями:
~~ ~~ ~ ~~,
uu u u u v
12 1
~~ ~~ ~ ~~,
uu u u u v
12 1
тогда существует такое минимальное k, что
kk
kk
uu
51
11
kk
.
Построим новый граф ,G удалив ребро
(, ).
uu
kk
Он по-
1
прежнему остался связным (так как любой путь, содержащий удаленное ребро, мы можем заменить путем, где вместо этого ребра
вставлен путь
uuu v u
~~~~~),
kkk k
11
и утверждение 2)
неверно. Случай несвязного графа рассматривается аналогично
предыдущему пункту.
3)
1). Пусть 1) не выполняется, т.е. есть цикл, или граф не
связен. Тогда утверждение 3) не выполняется (цикл дает не единственный путь, либо граф не связен).
Далее нам потребуется вспомогательное утверждение.
Лемма 4.3.1
Если граф G конечен, ацикличен и имеет хотя бы одно ребро, то
в нем существует вершина степени 1.
Доказательство леммы
Выберем в графе произвольную неизолированную вершину
Если
deg 1,v
ная с
vv
1
v
~~
1
k
зана. В противном случае существует смежная с
личная от
то утверждение доказано. Пусть v2 – любая смеж-
1
вершина. Рассмотрим последовательность вершин
для 2.k Если
которую выберем в качестве
1,kv
v – вершина степени 1, то лемма дока-
k
v
вершина, от-
k
v
В силу конеч-
1.k
1
ности и ацикличности графа этот процесс обрывается, т.е. будет
найдена вершина степени 1.
Лемма доказана.
n
Докажем индукцией по
, что из 1) следует 4): для n = 2 это
верно. Пусть для графа с n – 1 вершиной утверждение верно, и
пусть есть связный ацикличный граф с n вершинами. Найдем в
этой графе вершину степени 1 (которая существует по лемме).
Удалим эту вершину вместе с инцидентным ей ребром. У графа
1nn
останется
новом графе 1 2nn
вершина. Тогда по предложению индукции в
ребер, а так как одно ребро было удалено,
то в исходном графе было n – 1 ребер, и утверждение доказано.
5). Снова индукция по n. Для n = 2 утверждение верно.
4)
Пусть для графа с n – 1 вершиной утверждение доказано, и пусть
52
.v
есть ацикличный граф
с n вершинами, имеющий n – 1 ребро.
G
n
Найдем и удалим из него вершину v степени 1 вместе с инцидентным ей ребром. В оставшемся графе
n – 1 – вершина, n – 2 –
1nG
ребра, он ацикличен и, по предположению индукции, связен. Тогда
исходный граф тоже связен, поскольку удаленная вершина v смежна с вершиной, являющейся по предположению индукции вершиной связного графа
1). Пусть в связном графе с n вершинами и n – 1 ребром
5)
.
G
1n
есть цикл. Тогда мы можем удалить одно из ребер цикла без нарушения связности. Если после этого еще есть циклы, то снова удаляем одно ребро из цикла (без нарушения связности), и т.д. до тех
пор, пока не исчезнут все циклы. Пусть удалено k ребер, и граф
стал ацикличен, но связность осталась, т.е. для полученного графа
выполняется условие 1), следовательно, как показано выше, выполняется условие 4), тогда число оставшихся ребер n – 1 – k =
= n – 1, следовательно, k = 0, т.е. исходный граф не имел циклов.
Теорема доказана.
Следствие 4.3.1
Дерево есть двудольный граф.
Доказательство следует из следствия 4.1.1.
Следствие 4.3.2
Хроматическое число дерева равно 2.
Определение 4.3.5.
Лес – граф без циклов.
Лес, очевидно, представляет собой граф, компоненты связности
которого являются деревьями.
4.4. Цикломатическое число графа
Теорема 4.4.1
Пусть граф с n вершинами и m ребрами имеет k компонент связ-
ности.
Тогда
.mnk
53
Доказательство
Рассмотрим связный граф с n вершинами и m ребрами. Если в
графе есть циклы, то будем удалять входящие в них ребра до тех
пор, пока не исчезнут все циклы. Поскольку число оставшихся ребер есть
число удаленных ребер равно 1.mn
1,n
Рассмотрим произвольный граф с n вершинами и m ребрами,
,
имеющий k компонент связности. Обозначим через
вершин и ребер в i-й компоненте связности,
1, ..., .ik
nm число
ii
Если в гра-
фе есть циклы, то будем удалять входящие в них ребра до тех пор,
пока не исчезнут все циклы. При этом в j-й компоненте связности
будет удалено
mn
ii
ребро, тогда общее число удаленных ре-
1
бер равно
kkk
(1) 0.
mn m nkmnk
iii
111
ii i i
Следствие 4.4.1
В связном графе с n вершинами и m ребрами
1.mn
Определение 4.4.1
Для графа с n вершинами и m ребрами, имеющего k компонент
связности, величина
mnk
называется цикломатическим чис-
лом графа.
Цикломатическое число равно минимальному числу ребер графа, которые следует удалить, чтобы граф стал ацикличным, т.е. лесом. Заметим, что эта величина зависит только от весьма общих
числовых характеристик графа – числа вершин, ребер и компонент
связности, и не зависит от его конкретного строения.
54
Лекция 5. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
Исследуется отношение частичного порядка. Рассматриваются
различные частично упорядоченные множества, их свойства и операции над ними. Приведены некоторые результаты о структуре частично упорядоченных множеств.
Ключевые слова: отношение частичного порядка, частично
упорядоченное множество, сумма частично упорядоченных множеств, прямое произведение частично упорядоченных множеств,
цепь, антицепь.
Введение. В данной лекции рассматриваются отношение ча-
стичного порядка и варианты его задания. В частности, частично
упорядоченные множества действительных, целых, натуральных
чисел, подмножеств конечного множества. Рассмотрены операции
над частично упорядоченными множествами, позволяющие прояснить их структуру. Приведена теорема Дилуорса о разложении конечного частично упорядоченного множества на минимальное число непересекающихся цепей и следствия из нее.
5.1. Основные определения и свойства
5.1.1. Определения и примеры
Определение 5.1.1.
Бинарное отношение R на множестве S
называется отношением порядка, если оно
;aS
рефлексивно: aRa для любого
транзитивно: из aRa и bRc следует aRc;
антисимметрично: если aRb и bRa, то a = b.
Примеры
1). Множества
натуральных чисел
целых неотрицательных чисел
целых чисел
ℤ;
рациональных чисел
ℕ;
ℚ;
55
ℕ
;
0
действительных чисел ℝ;
f
g
P
x
xy
xy
xy
xy
с обычным порядком
2). Множество
.aRb a b
3). Множество S всех подмножеств некоторого множества P с
порядком, определяемым отношением включения:
4). Множество всех мультимножеств основного множества
S, где для мультимножеств
ℕ с порядком, определяемым делимостью:
.aRb a b
, : 0, 1, 2,fgS
считаем
.aRb a b
,aS
т.е. кратность (число «эк-
,ab
aRb «путь от вершины
,ab
ab
или
ab
«каждый блок
aRb
,
если необхо-
P
,P
или
и
;
,ab
либо
,.
P
озна-
.ba
Rg f a
земпляров») каждого элемента в первом мультимножестве не
больше кратности этого элемента во втором мультимножестве.
(корнем) v. Тогда для вершин дерева
b к корню проходит через вершину a».
стые части (блоки). Для двух разбиений
разбиения a есть подмножество некоторого блока разбиения b». (В
этом случае разбиение a называется измельчением разбиения b.)
, т.е. вместо
димо подчеркнуть, о каком множестве идет речь.
ем порядка
ством (ч.у. множеством, ч.у.м.) и обозначать
чает
ры a, b элементов ч.у.м. можно утверждать, что
5). Множество вершин дерева с одной выделенной вершиной
6). Множество всех разбиений конечного множества на непу-
Отношение порядка на множестве P будем обозначать символом
Определение 5.1.2. Множество P с заданным на нем отношени-
Будем использовать очевидные обозначения:
y
означает
.yx
Пусть
Если неверно, что
Вышеприведенные примеры 2–5 показывают, что не про все па-
,P
для любого
a
будем писать
aRb
будем называть частично упорядоченным множе-
;yx
означает
– ч.у.м.,
,.ab P
,ab
то будем обозначать это .ab
56
Определение 5.1.3. Если ab
M
M
несравнимыми и обозначать это
Определение 5.1.4.
жеством) называется ч.у.м., в котором нет несравнимых элементов.
Множества
ℕ, ℕ
, ℤ, ℚ, ℝ с обычным порядком
0
Определение 5.1.5.
ab
для всех
Определение 5.1.6.
если не существует
Определение 5.1.7.
если не существует
Справедливы следующие утверждения.
Утверждение 5.1.1
Множество всех максимальных элементов ч.у. множества образует антицепь.
Утверждение 5.1.2
Множество всех минимальных элементов ч.у.множества образует антицепь.
Определение 5.1.7 (1).
если для любого
Определение 5.1.8.
если для любого
Определение 5.1.9.
ч.у.м.
*
,PP
aP
aP
следующим образом:
*
Цепью (или линейно упорядоченным мно-
Антицепью называется ч.у.м., в котором
.ab
Элемент
,,aPaM
Элемент
,,aPam
Элемент
.aM
Элемент
Для ч.у.м.
и ,ba то будем называть a и b
.ab
такого, что
mP
такого, что
mP
.ma
aRb a b
P
называется максимальным,
называется минимальным,
P называется наибольшим,
называется наименьшим,
,P
определим двойственное
*
PPa b b a
– цепи.
.Ma
.am
,.
*
P
P
57
Определение 5.1.10. Пусть
P
,,
Ч.у.м.
стично упорядоченным подмножеством ч.у. множества
дуцировано отношением порядка на исходном множестве.
называется его ч.у. подмножество следующего вида:
Q
При этом говорят, что отношение порядка на подмножестве ин-
Определение 5.1.11.
Определение 5.1.12.
любой его интервал конечен.
Пример. Множество действительных чисел с обычным порядком не является локально конечным, а множество целых чисел является. Конечное ч.у.м., естественно, локально конечно.
Определение 5.1.13.
вается его непустое подмножество, которое, как ч.у.м., является
цепью (антицепью).
Определение 5.1.14.
где для
,,
Q
.zPazb
ab Qa b a b
Интервалом
Ч.у.м. называется локально конечным, если
Цепью (антицепью) в ч.у. множестве назы-
Длина
,PP
– ч.у.м. и
QP
,,ab
где
lC
конечной цепи C есть
,.QPQ
называется ча-
,.
P
ab
в ч.у.м. P,
,ab
1.C
Определение 5.1.15.
цепей этого множества. Обозначим ее
Определение 5.1.16.
мощности антицепи из этого множества. Обозначим ее
Для ч.у. множеств естественно определяется понятие изоморфизма.
Длина ч.у.м. P равна максимальной из длин
.lP
Ширина ч.у.м. P равна максимальной
58
.sP
Определение 5.1.17. Ч.у. множества
A
B
A
x
x
xy
x
A
AB
A
ются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение
,.
aa Aa a a a
12 1 2 1 2
,AA
Из одних ч.у.м. могут быть построены другие. Одним из вариантов такого построения является взятие подмножества, рассмотренное выше. Можно также строить новое ч.у.м. из нескольких имеющихся.
Определение 5.1.18.
A и B не пересекаются. Прямой суммой этих ч.у.м. называется
AB A B
,xyA
Определение 5.1.19.
ч.у.м.
AB
множества A на множество B такое, что для
AB
,BB
и
AA
,
или просто
Пусть
,
A
,
B
, где для
B
,
y
либо
на декартовом произведении множеств A и B, т.е.
,
Прямым (или декартовым) произведением
BB
и
.AB
AA
,,
yABx y
B
и
,
называется ч.у.м.
B
,AA
Будем обозначать это
и
,
B
BB
.
y
и
,
AB
,BB
таковы, что
если либо
называ-
на множестве
тов, такое, что
Если множества-сомножители одинаковые, то говорят о декартовой степени ч.у.м.
Определения прямой суммы и декартова произведения ч.у.м.
очевидным образом обобщаются на случай любого конечного или
счетного числа множеств-слагаемых (сомножителей).
Пусть
множеству целых чисел
изоморфную множеству всех целых неотрицательных чисел
обычным порядком, будем обозначать
Cn
,,ab a Ab B упорядоченных пар их элемен-
,,
ab a b a a
– цепь длины n, тогда она, очевидно, изоморфна
AB A
01 n
с обычным порядком. Цепь,
59
bb
и
.C
.
B
ℕ
0
с
5.1.2. Декартовы произведения цепей и структура множества
подмножеств конечного множества,
упорядоченных по включению
Пусть
n
11 1
CC C
n
– n-я декартова степень цепи дли-
ны 1, последнюю, согласно предыдущему примеру, можно считать
01.
множеством {0, 1}, где
Элементы декартовой степени представляют собой строки (векторы) из нулей и единиц, и для векторов
степени
,, ,
1
n
,1,,.
ii
,,
1
in
по определению декартовой
n
Рассматривая теперь и как
векторы-индикаторы подмножеств A и B некоторого n-множества,
видим, что
Тем самым установлен изоморфизм
.AB
между ч.у.м. всех подмножеств n-множества и n-й декартовой степенью цепи длины 1.
Изоморфизм предыдущего примера фактически состоит в отображении подмножества в его вектор-индикатор, который затем рассматривается как элемент n-й декартовой степени цепи длины 1.
Рассмотрим теперь декартову степень цепи длины m:
n
Cm Cm Cm
n
.
По аналогии с предыдущим примером
нетрудно видеть, что это ч.у.м. изоморфно ч.у. множеству таких
мультимножеств на некотором основном n-множестве, у которых
кратность каждого элемента не превосходит m.
Продолжая вышеприведенные рассуждения, нетрудно видеть,
что
мультимножеств на некотором основном
n
CC C
n
изоморфно ч.у. множеству всех
n-множестве.
5.1.3. Структура частично упорядоченного множества
натуральных чисел, упорядоченных по делимости
k
Пусть
n
– натуральное число,
1
np p
1
на простые множители. Рассмотрим множество
k
m
– его разложение
m
n
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]