Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
ничимся нахождением математического ожидания С числа цикли-
j
E
ческих элементов.
Теорема 11.4.7
Среднее число циклических элементов в случайно выбранном
отображении есть
nn
n
n
.
j
0
j
!
1
n
!
Доказательство
Обозначим через
I
случайную величину, равную 1, если в
,kj
случайном отображении k – циклический элемент, лежащий на
цикле длины j. Тогда
CI
nn
11
jk
.
kj
Матожидание числа циклических точек равно
1
n
nn nn n
() ( ) ( 1)
EC EI PI n
jk k j j
11 11 1
kj kj
nnn
jjj
100
!1!
nnn
()! !
njn jn n
jnjn
11
!.
n
1
j
(1)!
jn
n
j
!
j
nj
n
Теорема доказана.
Следствие 11.4.3
В условиях теоремы матожидание числа циклических элементов
при
n
Доказательство
где через П( )n обозначена случайная величина, имеющая распре-
деление Пуассона с параметром n. Как известно из теории вероят-
равно
no
1(1).
2
11
nn
() П() ,
nn n
nn n
!! !
nnn n n
CeeePnn
jj
jj
!!
jj
00
nn n
191
ностей, сумма независимых случайных величин, имеющих распре-
деление Пуассона, имеет вновь распределение Пуассона с параметром, равным сумме параметров слагаемых. Тогда
же распределение, как и
П (1), ..., П (1)
2
– независимые пуассоновские случайные величи-
n
П (1) П (1) ... П (1),
12
где 1П(1),
П( )n имеет такое
n
ны с параметром 1, имеющие соответственно матожидание и дисперсию, равные 1.
По центральной предельной теореме теории вероятностей при
n
(П( ) ) П (1) П (1) . .. П (1)
PnnP n
П (1) П (1) ... П (1)
Poo
12
n
12
n
n
0 Ф (0) 1 (1) 1 (1) ,
n
1
2
где Ф – функция распределения стандартного нормального закона.
,n
Отсюда при
!1 2 1
nnnen
( ) 1 (1) 1 (1) 1 (1) .
EC e o e o o
nn
nn
nn
222
применяя формулу Стирлинга, имеем
nn
Следствие доказано.
Мы видим, что число циклических элементов в среднем про-
порционально
,n
т.е., как правило, основное число элементов
находится на древовидных подходах.
11.4.3. «Почти все графы»
Будем рассматривать множество
()Gn графов с n вершинами,
которые помечены и неориентированы. Число таких графов, как
n
было найдено в разделе 3.3, есть
() 2 .
Gn
2
Пусть P – некоторое
свойство, которым могут обладать рассматриваемые графы. Множество графов с n вершинами, обладающих свойством P, обозначим
ством P, если справедливо следующее соотношение:
().
Gn Будем говорить, что почти все графы обладают свой-
P
192
()
E
D
Gn
P
()
Gn
n
1.
Будем говорить, что почти нет графов, обладающих свойством
P, если
()
Gn
P
()
Gn
n
0.
()
Gn
Нетрудно видеть, что
чайно и равновероятно выбранный из множества
P
есть вероятность того, что слу-
()
Gn
()Gn граф обла-
дает свойством P.
Пусть
()vG – некоторый неотрицательный числовой параметр
графа G. При случайном и равновероятном выборе графа из множества
()Gn ()vG есть случайная величина, для которой справед-
ливы неравенства Маркова:
()
() ;
PvG a
1)
vG
a
и Чебышева
()
2)
() () .
PvG EvG a
vG
2
a
Для доказательства результатов о «почти всех графах» удобно
использовать следующую лемму.
Лемма 11.4.1
Пусть ()vG – неотрицательный целочисленный параметр графа
()
vG – его среднее значение (математическое ожидание) при
G, а
n
случайном и равновероятном выборе графа из множества
Если
lim ( ) 0,
vG
n
n
то для почти всех графов () 0.vG
().Gn
Доказательство
Воспользуемся неравенством Маркова, положив в нем
1
.
a
2
193
При случайном и равновероятном выборе графа из множества
()Gn имеем
PvG v G
(относительное число) графов из множества
метр
()vG меньше
метр целочисленный, то для него быть меньше
1
() 2 () 0.
2
1
стремится к 1 при
,
2
n
n
Это значит, что доля
(),Gn у которых пара-
.n
Поскольку пара-
1
означает быть
2
равным 0.
Лемма доказана.
Теорема 11.4.8
«Почти все графы» не имеют изолированных вершин.
Доказательство
В качестве параметра ()vG выберем число изолированных вер-
шин.
Пусть есть граф G с n вершинами, введем индикаторы
( ), ...,IG (),
1
IG в противном случае. Тогда
и
( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( ).
vG EI G EI G Pn P n Здесь iP – вероят-
IG где ()1,
n
() 0
i
11
IG
i
nn
если i-я вершина графа изолирована
() ()... (),
vG I G I G
1
n
и
ность того, что при случайном и равновероятном выборе графа из
множества
()Gn
i-я вершина графа изолирована. Используя ре-
зультат задачи 4.7,
1
n
тогда
2
2
P
i
n
2
2
1
n
() 2 0,
vG n
откуда по лемме 11.4.1 следует
n
1
nn
22
22,
1
n
наше утверждение.
Теорема 11.4.9
«Почти все графы» связны.
Доказательство
Выберем число k, 11.kn
В качестве параметра выберем
число k-подмножеств вершин графа, не связанных с остальными
194
вершинами. Если граф несвязен, то для него этот параметр больше
A
A
нуля. Пусть есть граф G с n вершинами. Каждому k-подмножеству
A вершин графа G поставим в соответствие индикатор
(),IA рав-
ный единице, если в графе нет ребер, соединяющих вершины из
множества A с другими вершинами, и равный нулю в противном
случае. В качестве параметра
всем k-подмножествам A:
() () () 1.
графа G
случайном графе
vG EI A PI A
AA
() 1IA
()vG выберем сумму индикаторов по
() ().
vG I A
A
для заданного A :
Для случайно выбранного
Вероятность того, что в
k
есть вероятность
того, что в матрице смежности над главной диагональю на пересечении строк, соответствующих k-подмножеству вершин A и столбцов, соответствующих
(n – k)-подмножеству остальных вершин,
стоят нули. Число элементов матрицы, равных нулю, следователь-
но, равно
(),kn k на остальных
2
()
kn k
местах над главной
n
диагональю стоят произвольно нули и единицы. Тогда вероятность
n
k
k
есть
1
n
того, что в случайном графе
n
2
2
vG P IA
() ()1 2 2 .
и
Далее,
11
max 2 2 ,
AA
() (1)
kn k n
kn
() 1IA
()
kn k
n
2
2
для заданного A :
kn k
2,
kn k kn k
следовательно,
()
n
() ()
k
vG
() 2 .
Рассмотрим отношение биномиальных коэффициентов:
nn
kk
!( 1)!( 1)!
nk n k
1
!( )! !
kn kn n k
1
k
.
195
1
Это отношение не превосходит единицы при
дует, что при нечетном n максимальными являются
n
n
а при четном –
,
1
2
n
n
.
n
2
n
откуда сле-
k
,
2
n
n
1
2
и
По локальной теореме Муавра–Лапласа
n
knk
pp
(1 ) ~ e xp
k
2(1)
1
np p
knp
()
np p
2(1 )
2
knp
при фиксированном p,
1
n
1/ 2p при ,
ственно,
2
20.
n
k
n
k
n
2
n
2
Применяя лемму 11.4.1, получаем справедли-
,
2
2
для любого k. Тогда
n
,n
n
2
и при
1
имеем
(1 )
np p
n
12
~
n
k
2
(1).
O
() 2
vG
Выбирая
и, соответ-
n
n
k
n
1
вость нашего утверждения о том, что почти все графы связны.
Теорема 11.4.10
Диаметр почти всех графов равен двум.
Доказательство
Назовем окрестностью вершины графа множество, состоящее
из смежных с ней вершин.
Если окрестности двух вершин графа не пересекаются, то расстояние между ними больше двух (если одна вершина не достижима из другой, то будем считать расстояние между ними равным
бесконечности).
196
В качестве параметра выберем число пар вершин графа, окрест-
ности которых не пересекаются:
() (),
где
()
IG
равно 1, если окрестности вершин a и b не пересекают-
,
ab
vG I G
,
ab
ab
,
ся, и нулю – в противном случае.
Тогда при случайном и равновероятном выборе графа, имеющего n вершин,
n
() () () 1 () 1,
vG E I G P I G P I G
ab ab
,,
,, ,
ab ab ab
2
поскольку все вероятности одинаковы. Число графов, у которых
окрестности двух фиксированных несмежных вершин состоят из k
и m вершин соответственно и не пересекаются, а в остальном произвольных равно
n
(2( 1) 1)
22
nnk
km
2,
n
2
где 02.kmn
Тогда
nnk
22
() 1 2
PI G
ab
,
1
n
km
2
2
00
22
nnk
km
n
n
(2( 1) 1)
2
22 2
nnk n
23 23 2
nnnk
222
km k
2221
22 2
nnk n
km k
00 0
2
2
n
n
2
nkn
k
0
k
11
n
1
2
83
94
n
.
Далее,
83
n
n
n
vG P I G
() () 1 0.
2
ab
,
2
nn
294
197
Отсюда и из леммы 11.4.1 следует, что для «почти всех графов»
() 0,vG т.е. у «почти всех графов» нет такой пары вершин,
окрестности которых не пересекаются. Если окрестности двух
вершин пересекаются, то расстояние между ними не превосходит
двух. Следовательно, у «почти всех графов» диаметр равен 2 или 1.
Но диаметр, равный 1, имеет только полный граф. Следовательно,
у «почти всех графов» диаметр равен 2.
Теорема доказана.
Теорема 11.4.11
Радиус «почти всех графов» равен двум.
Доказательство
Так как радиус графа не превосходит его диаметра, то «почти
все графы» имеют радиус, не превосходящий 2.
В качестве параметра выберем число вершин графа с эксцентриситетом 1:
() (),
vG I G
ab
,
где ()
IG равно 1, если эксцентриситет вершины a равен 1, и нулю
a
a
в противном случае.
Тогда при случайном и равновероятном выборе графа, имеющего n вершин,
() () () 1 () 1,
vG EIG PIG nPIG
aa a
aa
поскольку все вероятности одинаковы. Если эксцентриситет данной вершины равен 1, то она смежна со всеми остальными, в
1
n
2
2
остальном граф произволен, тогда число таких графов есть
1
n
PI G
() 1 2 2 .
a
1
n
2
2
2
1
n
и
Далее,
1
n
() ()1 2 0.
vG nP I G n
a
n
198
Отсюда и из леммы 11.4.1 следует, что для «почти всех графов»
() 0,vG т.е. у «почти всех графов» нет вершин с эксцентрисите-
том 1, следовательно, у «почти всех графов» радиус больше 1 и при
этом, по доказанному ранее, не превосходит 2. Следовательно, радиус «почти всех графов» равен 2.
Теорема доказана.
199
Список литературы
[1] Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2013.
[2] Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике: Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
[3] Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. – М.:
Мир, 1998.
[4] Емеличев В.А., Мельников О.И. и др. Лекции по теории графов.
М.: Наука, 1990.
[5] Кнут Д.Э. Искусство программирования. Т. 1: Основные алгоритмы. 3-е изд. – М.: Вильямс, 2002.
[6] Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-x т. Т. 2. Пер. с
англ. – М.: Мир, 1988.
[7] Меньшиков М.В., Ревякин А.М., Копылова А.Н. и др. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения: Учебное пособие / Под ред.
К.А. Рыбникова. – М.: Наука, 1982.
[8] Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: В 2-х ч. / Пер. с
нем. 3-е изд. – М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1978. Ч. 1, 2.
[9] Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. – М.: Изд-во
МГУ, 1985.
[10] Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. – М.: МЦНМО, 2004.
[11] Сачков В.Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. –
М.: Наука, 1978.
[12] Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. –
М.: Наука, 1977.
[13] Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: Учебник для вузов. 6-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
[14] Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. – М.: Мир, 1990.
[15] Холл М. Комбинаторика. – М.: Мир, 1970.
[16] Эрдеш П., Спенсер Дж. Вероятностные методы в комбинаторике. – М.: Мир, 1976.
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]