Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Задача. Что представляет собой выходная последовательность
F
A
линейного автономного автомата ( , , ),VAb где A – вырожденная
матрица?
10.6. Метод трансфер-матрицы
10.6.1. Описание метода
Пусть
(, )GVE – ориентированный граф, в котором допуска-
ется наличие петель.
Пусть на дугах графа задана комплекснозначная весовая функция : E
Пусть
тогда вес пути зададим как
Обозначим через
ℂ.
( ,..., )
Pe e – путь из вершины i в вершину j длины n,
1
n
() ()... ( ).
Pe e
1
() ( ) ( )... ( ),
neee
ij n
...
ee
1
ij
12
n
n
где сумми-
рование производится по всем путям из вершины i в вершину j
длины n, т.е. это суммарный вес таких путей.
Если
() 1,e то это просто число путей длины n из вершины i в
вершину j.
Построим матрицу
w
ij
Ww
( ), если есть дуга ( , ),
eeij
0 в противном случае.
следующим образом:
ij
Если () 1,e то это просто матрица смежности графа G.
()
Для произвольной матрицы A через
обозначим ее (i, j)-й
ij
элемент.
Теорема 10.6.1
() ( ).
Fn W
ij ij
n
Доказательство
Рассмотрим (i, j)-й элемент матрицы
:nW
161
n
() ... ,
Wwww
ij ii i i in j
ii
11
...
n
112
1
где суммирование производится по всем наборам индексов.
Величина под знаком суммы равна 0, если хотя бы для одной
пары индексов
пути
элемент матрицы
ii
вершины
1kk
...ii jв противном случае. Следовательно, (i, j)-й
1
n
W равен сумме весов всех таких путей.
i и 1ki
k
не смежны, и равна весу
Теорема доказана.
Следствие 10.6.1
( ) ( ...) ( ) .
Fnz Wz WzWz E zW
ij ij ij
0
n
00 22 1
n
Доказательство вытекает из теоремы 10.6.1 и леммы 10.5.1.
10.6.2. Примеры применения метода трансфер-
матрицы
Рассмотрим пути длины n – 1, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же вершине i. Производящая функция их весов есть
Fnx xWE xW
1
n
n
() ( ) .
ii
1
ii
Производящая функция весов всех циклов длины n есть
() () ( ) ( ).
Fnx Fnx xWExW x W
цикл
nii ni
111 11
mm m
nn nn
ii ii
1
ii
Определение 10.6.1. Следом матрицы A Tr (A) называется сум-
m
() .
Tr A a
ма ее диагональных элементов:
i
ii
1
162
m
x
x
() () ( ).
В этих обозначениях
Fn FnTrW
цикл
из линейной алгебры, если
nn n
() ... .
Tr W
W, то
Fnx x x
цикл 1
nnn
111
1
nnn nn
( ) ... ... .
m
i
1
,...,
– собственные числа матрицы
1
m
Тогда
m
ii
11
n
Как известно
x
1
1
m
x
m
Пример 1. Рассмотрим алфавит из 3-х букв {1, 2, 3}
Рассмотрим в этом алфавите все последовательности (слова)
длины
( , , ..., ),
na a a такие, что
12
n
ii
11
1
aa или 23, т.е. две едини-
цы не могут стоять рядом, и за буквой «2» не может идти буква
«3».
Найдем число таких последовательностей.
Построим ориентированный граф из трех вершин, помеченных
числами 1, 2, 3. Соединим дугами все пары вершин, за исключением пар (1, 1) и (2, 3). Нетрудно видеть, что допустимым последовательностям длины n соответствуют пути в построенном графе дли-
ны
. Пусть вес каждой дуги равен 1.
1n
Матрица смежности графа имеет вид
011
110
A
111
и совпадает с матрицей W, так как все () 1.e
Как показано выше, для нахождения, например, числа путей
длины n, начинающихся в 1 и заканчивающихся в 2, нужно вычислить
1
xx
1
1
ExA x x
() 1 0
xx x
1
163
x
x
x
x
F
() .
Fnx
12
0
12
Тогда, например,
1
ExA
23
zxx x
определитель
n
Просуммировав все элементы матрицы
производящую функцию числа всех возможных путей длины n:
n
0
n
() ,
Fnx
2
(1 ) (1 )
xxxx
(1 ) 1 .
xx xx x
xx xx
n
12
3
xx
12
22
(1 ) 1
x
23
xx
2
23
xx
(),EAz
2
1
получим
откуда по теореме 6.10.1
nnn
11 2 2 3 3
2,24698,
3
123
0,554958 находятся из
где
1
0,801938,
представления
Коэффициенты
() ,
Fn c c c
2
1 2 (1 ) (1 ) (1 ).
23
xx x x x
,,cc c могут быть найдены из системы ли-
123
нейных уравнений:
(0) , (1) , (2) .FcccFcccFccc
123 112233 11 2233
Решая эту систему, находим
4,88691.c
3
Поскольку
, по модулю меньше 1, при больших значениях
13
n имеет место приближенное равенство
2,24698 .
n
Кроме того, число
()Fn путей длины n удовлетворяет линейно-
12,858,c
1
( ) 8,373732
Fn c
222
22
8,37372,c
2
n
му рекуррентному соотношению:
(3)2(2) (1) ().
nFnFnFn
164
Пример 2. Рассмотрим тот же алфавит {1, 2, 3}.
(, ,..., ),
Найдем число слов длины n
бинации вида
aa
ii
12,
1
а также
aa a где отсутствуют ком-
12
aa a
ii i
12
n
213, 222, 231, 313.
Решение
Построим граф, но возьмем в качестве вершин не символы алфавита, а их пары 11 ... 33.
Соединяем дугой вершины
,ij ke если j = k и тройка ije = ike
не запрещена.
Требуемым словам длины n соответствуют пути длины n – 2 в
графе:
Получаем матрицу смежности размера 88 (не 99, так как вер-
шина (12) – изолирована и не используется):
11 13 21 22 23 31 32 33
11 1 1 0 0 0
13 0 0 0 0 0
21 1 0 0 0 0
22 0 0 1 0 1
23 0 0 0 0 0
31 1 0 0 0 0
32 0 0 1 1 1
33 0 0 0 0 0
0 0 0
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0 1 1
0 0 0
0 0 0
1 1 1
165
Матрица
E
M
где ()
z
()
1
Az
выглядит так:
() ,
EAz
1
12
()
Mz
36
zz z
166
Производящая функция ()
F
F
F
как и ранее, сумме элементов матрицы
Fz
()
zz z z z
8 17 37 81 177 388 ... .
Следовательно, число ()
нейному рекуррентному соотношению:
(3) ().
nFn
n числа путей заданной длины равна,
():EAz
83 23
23 4 5
zzz z z
12
23 4 5
36
zz z
1
n путей длины n удовлетворяет ли-
(6)2(5)Fn Fn
Поскольку
1 2 (1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 ),zz z z z z z z z
36
123456
где
2,4449 2,4449 1,4555
0,799217 , 0,799217 , 0,932486 ,
123
0,932486 , 2,18882, 0,822576,
456
iii
eee
1,4555
i
e
() ,
то число путей длины n
Fn c c c c c c
и, поскольку модули всех величин
чаем асимптотическую формулу
Коэффициенты
c могут быть найдены путем решения соответ-
i
nnnnnn
11 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
кроме 5 меньше 1, то полу-
i
( ) 2,18882 .
Fn c
5
n
ствующей системы линейных уравнений, но, поскольку для больших значений n нас интересует только
определить другим способом. Сравнивая значения
,c его можно приближенно
5
(),Fn найден-
ные с помощью рекуррентной формулы, с соответствующими степенями
, находим приближенное значение
5
7,71955.c
5
167
Лекция 11. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
f
x
f
x
f
x
И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
Рассматриваются методы получения асимптотических оценок
значений величин, возникающих в ходе решения задач, в частности, членов линейных и нелинейных уравнений, а также сумм.
Описан принцип использования вероятностных методов для исследования вопросов существования изучаемых объектов при определенных значениях числовых параметров, а также получение асимптотических результатов для числа объектов.
Ключевые слова: асимптотические оценки, рекуррентные со-
отношения, асимптотические оценки сумм, случайные графы, случайные подстановки, случайные отображения, «почти все» графы.
Введение. В данной лекции будут рассматриваться методы по-
лучения асимптотических оценок значений членов линейных и нелинейных уравнений, методы получения асимптотических оценок
сумм с помощью интегралов; будут получены точные значения и
асимптотические оценки числа подстановок и отображений с данными значениями числовых характеристик методами теории вероятностей. Показано что «почти все» графы не имеют изолированных вершин и связны.
11.1. Основные обозначения
Как обычно, будем обозначать:
()
C
0
0
fx
()
gx
при
при
.x
при
1
0
,xx
0
.xx
где
через
через
C
через
()~ ()
xgx при
xx
;
0
() ()
xOgx
при
– некоторая константа;
() ()
xogx
при
x тот факт, что
0
x то, что
0
x то, что
0
Во всех этих случаях, в частности, может быть
168
()
fx
()
gx
()
fx
()
gx
Примеры
j
j
1.
(1)O – ограниченная величина, (1)o – любая величина, стре-
мящаяся к 0.
2.
n
при
(1)...( 1)
nn n k
k
k
n
при ,n const,k
!
k
!!
kknnn
,n
const.k
k
nk
12 1
11...1
т.е. в наших обозначениях
n
k
k
n
~
!
k
11.2. Асимптотическая оценка
членов рекуррентных соотношений
11.2.1. Линейные рекуррентные соотношения
Пусть для
0, 1, 2, ...n
выполняется равенство
( ) ( 1) ( 2) ... ( ) 0.
fn d fn d fn d fn
11
d
( ) 1 ... ,
Обозначим через
член можно представить в виде
есть величина, обратная i-му корню многочлена (k – число его
i
Qx x x x
12
( ) (1 ) . .. (1 ) ,
Qx x x
2
1
различных корней).
Тогда, согласно теореме 10.1.1, для
k
() () ,
равенство
меньше
гда при
fn Pn
i
1
.id Пусть i – максимальна по модулю среди всех ,i то-
n
()~ () .
fn Pn Это следует из того, что для любого
ij и достаточно больших n
при
.n
n
ii
где ()
n
j
Pn – многочлен от n степени
i
n
()
Pn
ii i
()
Pn
jj
169
()
Pn
i
n
d
этот много-
d
d
1
0, 1, 2, ...n
выполняется
n
и стремится к 0
d
k
где
k
Пример. Для чисел Стирлинга второго рода (, ),nk
f
x
x
x
x
x
(, ) ,
nk P i
примеру из раздела 10.2.3,
гда при
,n
const ( , ) ~ .
knk
1, ..., ,kk
1
n
k
!
k
согласно
k
i
i
1
nk
то-
11.2.2. Нелинейные рекуррентные уравнения
Рассмотрим на примерах некоторые приемы получения решений
и их асимптотических оценок для рекуррентных уравнений общего
xfx x
вида
(,... ).
nn n
01
Переход к последовательным разностям
Прием заключается в переходе от последовательности
( , ..., )
xx к последовательности
0
nn
yx x
0, 1, 2, ... .n
nn n
,
1
x
1n
Пример 1.
Пусть есть числовая последовательность
1
n
bx
ii
0
i
Тогда
2, 3,..., .nxxb
Линейная рекуррента возрастающего порядка
, , , ...bbb и
012
,
1, 2,... ,n т.е. зависит от всей «предыстории».
(1 ) (1 ) ,
bx xb b
xbx
отсюда
111
nn nn
100
,
nnn i
1100
n
i
n
1
1
Пример 2. Неоднородная линейная рекуррента
Пусть для
где c – константа. Рассмотрим
1
n
xy
0
ni
0
i
0, 1, 2, ...n
nd nd nd d n
,
yy y y
nd nd nd d d
выполняется равенство
xx xc
112 2
0,1, 2, ...,n
112 2
... ,
yx x
nn n
0, 1, 2, ... .n
1
,
... 0,
Тогда
и в соответствии с теоремой 6.10.1 производящая функция после-
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]