Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
проводятся n независимых испытаний
p
f
му
SX X
nn
ность
PS k p q
... .
1
() .
n
Найдем вероятность того, что
Как известно из теории вероятностей, вероят-
n
k
knk
S
n
– четное.
, ..., .
XX
1
Рассмотрим сум-
n
Для этого рассмотрим производящую функцию
n
()( ),
PS k z q p z
k
n
0
kn
тогда
()()
k
(четное) (2)
PS PS kz
nn
Следовательно,
(1) ,
PX p
видим, что суммирование
i
k
(mod21) .
PS
n
1(12) 1( )
22
2
1( )
qp
2
Учитывая, что
qp
qpz qpz
z
1
n
.
1( )
qp
nn
2
n
2
z
1
по модулю 2 дает сглаживающий эффект, т.е. вероятность того, что
случайная величина
S
mod 2
n
равна 1, ближе к 0,5, чем вероятность
единицы в исходной схеме Бернулли.
9.5. Обращение степенного ряда. Пример использования
9.5.1. Формула обращения степенного ряда
Рассмотрим следующую задачу обращения степенного ряда.
Теорема 9.5.1
Пусть у нас есть комплексные переменные u и v, связанные
функциональной зависимостью: ( ),ufv
по степеням u в окрестности точки
()0.fv
Тогда
0
и требуется разложить v
причем
,v
0
()
vu
00
и
131
f
() ( ),
vgu v a uu
00
k
1
k
k
где
1
k
1
d
a
k
kfvfv
1
k
!()()
dv
vv
k
0
0
vv
.
0
Доказательство
Как известно из теории функций комплексного переменного,
при условиях теоремы функция f в окрестности V точки
ся однолистной, и в образе ( )
единственная обратная функция ( ),vgu
vauu
()vgu
00
тогда
,u
0
()
k
()
gu
a
k
!2 2
ki i
()
k
1
k
11
0
() (()())
u u fv fv
Г
V этой окрестности определена
и
00
k
и Г есть контур в ( )fV вокруг точки
() ()
gudu v f v dv
11
kk
00
R
v
0
().vgu
являет-
Пусть
11
2
ik
vd
(() ( )) 2 (() ( ))
fv fv ikfv fv
R
11
2
ik
kk
00
(() ( ))
fv fv
R
0
v
dv
k
R
(поскольку для замкнутого контура первое слагаемое равно 0)
vv
1
2()()
ik f v f v
R
k
1
11
(1)! () ()
k k fv fv
d
dv
k
1
132
k
0
0
vv
dv
()
vv
0
0
0
k
k
vv
.
0
k
0
0
vv
.
0
Итак,
1
k
1
a
k
d
k
1
!()()
kfvfv
dv
vv
Теорема доказана.
Следствие 9.5.1
k
.
v
0
При
k
1
1
dv
и
0v
0
()0fv
a
0
k
!()
kfv
dv
k
1
9.5.2. Подсчет числа корневых помеченных деревьев
Определение 9.5.2.
Корневым называется дерево, у которого
особо выделена одна вершина (корень).
Очевидно, что из одного помеченного дерева с n вершинами
можно построить n корневых помеченных деревьев (число способов выбрать корень равно n).
Итак, пусть
шинами,
()
Tk
n
– число корневых помеченных деревьев с n вер-
T
n
– число корневых помеченных деревьев, у которых
корень имеет степень k.
Очевидно, что
TTk
nn
k
().
0
Теорема 9.5.2
1.n
n
Tn
Доказательство
1. Найдем рекуррентную формулу для
невые помеченные деревья с 1n
обозначили
Tk
n
1
().
вершиной, число которых мы
Рассмотрим кор-
().
Tk
n
Чтобы построить такие деревья, нужно:
а) выбрать из всех вершин корневую – это можно сделать 1n
способами;
б) из n вершин построить k поддеревьев, «прикрепляемых» к
корню. Для этого нужно сначала выбрать вершины, которые будут
входить в соответствующие поддеревья. Зададим
ii
1
, ...,
– числа
k
133
вершин в поддеревьях, тогда множества вершин для поддеревьев
можно выбрать
i
1
1
ii
2
ni
n
ni i
...
Из выбранных вершин нужно построить деревья с
... 1
1
k
k
способами.
ii
1
, ...,
вер-
k
шинами и для каждого дерева выделить ту его вершину, которая
будет инцидентна корню основного дерева, т.е. фактически нужно
построить корневые деревья с
12
...
k
TT T способами.
лать
ii i
ii
1
вершинами. Это можно сде-
, ...,
k
Тогда общее число вариантов выбора корня, вершин для поддеревьев и построения поддеревьев равно
ni
n
( 1) ... .
nTTT
iin
1
...
ii
1
...
k
n
i
1
1
ii
2
ni i
... 1
1
k
k
12
...
k
ii i
.
При этом мы посчитали случаи, отличающиеся перестановкой
поддеревьев, как разные, в то же время они соответствуют одному
и тому же корневому дереву, поэтому для подсчета числа корневых
деревьев с
на число перестановок k поддеревьев, т.е. на
вершиной полученное выражение надо поделить
1n
!.k Имеем
... 1
ni i
ni
n
n
(1)
Tk TT T
() ...
1
niii
k
!
iin
1
nn
(1) (1)!
kii k i
!!...! ! !..
,..., ,...,
ii ii
11
... ...
iin iin
11
i
1
...
ii
1
k
...
n
n
!
11
kk
kk
1
ii
2
...
TT
ii
1
k
Тогда
Tk
()
n
1
(1)! ! ! !
nk ii
1
,...,
ii
1
...
iin
1
k
1
k
TT
ii
1
k
... .
1
k
k
12
TT
...
ii
1
.!
k
(9.5.1)
k
...
k
k
.
i
k
134
2. Введем экспоненциальные производящие функции:
F
F
F
F
()
Tk T z
nn
() ; () .
Fz z Fz
k
nn
00
nn
Умножим равенство (9.5.1) на 1nz
n
!!
и просуммируем по n от 0 до
бесконечности:
1
n
Tkz
1
n
nnii
nk ii
(1)! ! ! !
0 0 ...
TT
zzz
kiikjk
!! !! !!
ii j
1
Поскольку
ii
1
1
... 0 0
k
0
()
z
kii
!!!
nii
ii
11
zz Fz
... ( ( )) .
то
0,T
z
0 ...
1
k
...
iin
1
k
k
k
n
z
iin
1
TT
ii
1
i
1
zz
1
...
...
1
Tz
TT
ii
1
1
k
k
k
i
k
k
k
j
j
...
nnn
и
Так как
() , () .
zze Fze z
() () ()
T k Tk Tk
1
nnn
(1)! ! !
nnn
010
() (),
zFz
() ()
Fz Fz
1
nnn
zzzFz
k
k
0
k
!
k
() () ( ())
то
zFz Fz
z
() ( ()).
zFz
k
k
00
kk
Воспользуемся результатами теоремы 9.5.1.
v
В нашем случае
nnF
[]()
и
zFz e
,,() ,0,0,
vFuzfv ve v u
11
dF d
!!
nn
dF Fe dF
nn
11
nF n
11
1
1
nnF
ne
!!
nn
135
00
n
F
0
1
n
n
0
F
,
n
k
k
k
(),
k
z
!
k
k
или
F
0
x
1
n
таким образом,
Fz z
() ,
n
11
kn
n
nn
!!
меченных деревьев с n вершинами равно
T
n
и число корневых по-
1.n
n
Теорема доказана.
Следствие 9.5.2. Число помеченных деревьев
Как отмечалось выше, число помеченных деревьев в n раз
меньше числа корневых помеченных деревьев и, следовательно,
2.n
составит
n
9.6. Формальные ряды и производящие функции
многих переменных
Пусть K – некоторое коммутативное кольцо с единицей. Рассмотрим кольцо
Kx формальных степенных рядов над кольцом
K. Как было показано в разд. 6.1, оно в свою очередь является коммутативным кольцом с единицей, и, следовательно, можно рас-
смотреть кольцо
Kx y ФСР уже над
Kx. Обозначим это
кольцо
элементов
вид
(, ) () .
ax y a xy
nk
,.Kxy Пусть
Kx, тогда соответствующий ФСР из
n
0
axy
nk
00
,
( ( ), ,1, 2,...)
axn n
n
n
n
kn
Если
.
Такие двойные ФСР описывают двойные
() ,
ax a x
nnk
– последовательность
,Kxy имеет
k
k
то ( , )ax y
,
0
последовательности из элементов исходного кольца, т.е. функции
a двух целых неотрицательных переменных.
,nk
n
Пример 1. Пусть
a
,.nk
k
Тогда
n
() (1 ), (, ) (1 ) .
ax x x axy xy
n
kn
kn nn
k
00
136
1
1(1 )
y
Если K – поле действительных или комплексных чисел, то каж-
x
f
дому элементу кольца ФСР
,Kxy можно естественно поставить
в соответствие обычный двойной степенной ряд с коэффициентами
из поля. Это дает возможность использовать аппарат математического анализа и теории функций комплексного переменного для
изучения интересующих нас свойств последовательностей. В области сходимости двойного степенного ряда, соответствующего ФСР
при K
или ,K
или комплексной переменной
его сумма как функция от действительной
называется двойной производящей
функцией последовательности, представленной данным ФСР.
Если K – кольцо, содержащее поле характеристики 0, то аналогичные действия можно выполнить и с формальными экспоненциальными рядами. Более того, в этом случае можно рассматривать
кольцо ФЭР над кольцом ФСР, и наоборот. Соответственно вводятся в рассмотрение двойные производящие функции, скомбинированные из ПФ и ЭПФ.
Пример 2. ФЭР над кольцом ФСР. Рассмотрим числа Стирлинга
первого рода ( , ),Snr определяемые из условий:
n
Snrx xx x x n x
r
0
rn
(, ) ( 1)( 2)...( 1) .
Тогда двойная производящая функция, скомбинированная из
ПФ и ЭПФ, имеет вид
xy y y y
(, ) (1 ).
nn
r
00
0
nn
n
Snrx
r
(, )
nnx
!!
n
x
Продолжая процесс, можно рассмотреть формальные ряды от
любого конечного числа переменных.
137
Лекция 10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
И ЛИНЕЙНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Исследуются рациональные производящие функции, линейные
рекуррентные последовательности (ЛРП) над полями и их свойства. Определяется линейная сложность последовательности и алгоритм построения совпадающей с ее элементами ЛРП. Рассматриваются линейные автономные автоматы и их выходные последовательности. Излагается метод трансфер-матрицы для нахождения
суммы весов путей между вершинами графа, и рассматриваются
примеры его применения.
Ключевые слова: рациональные производящие функции, ли-
нейные рекуррентные последовательности, линейная сложность
последовательности и алгоритм Берлекэмпа-Мэсси, линейный автономный автомат.
Введение. В данной лекции будут рассматриваться рациональ-
ные производящие функции (рациональные ФСР) и линейные рекуррентные последовательности (ЛРП). Будет показано, что ФСР
для ЛРП есть рациональная функция, и исследована взаимосвязь их
свойств.
Будет показано, что периодические последовательности над полем есть линейные рекуррентные последовательности. Будет введено понятие линейной сложности последовательности, и рассмотрена задача построения для данной конечной последовательности
линейной рекуррентной последовательности, которая совпадает с
ее элементами.
Для задачи нахождения суммы весов путей между вершинами
графа будет описан метод трансфер-матрицы, и как примеры его
применения рассмотрены задачи нахождения числа слов в некотором алфавите, удовлетворяющих определенным ограничениям.
138
10.1. Основная теорема о рациональных функциях
x
Рациональные формальные степенные ряды (рациональные
()
производящие функции) над полем – ФСР (функции) вида
Px
()
Qx
где ( ), ( )Px Qx – многочлены и ( )Qx имеет обратимый свободный
член. Будем вначале рассматривать «правильные дроби», т.е. такие,
что deg( ) deg( ).PQ Рассмотрим множество последовательностей
(), 0,1,2,...,fn n принимающих комплексные значения, т.е.
,
множество функций
:.f
0
Теорема 10.1.1
Пусть фиксирована последовательность
плексных чисел, причем
1 ... ,
12
( ) (1 ) ... (1 ) ,
Qx x x где
2
xx тогда его можно представить в виде
d
1
1
корню многочлена ( ),
d
d
Qx 1, ...,ik
0.
Обозначим через ( )Qx многочлен
d
d
k
k
есть величина, обратная i-му
i
(k – число его различных кор-
ней).
Для последовательности
( ), 0, 1, 2, ...fn n следующие утвер-
ждения эквивалентны:
1.
fnx
() ,
n
0
2. Для 0,1, 2, ...
n выполняется равенство
( ) ( 1) ( 2) ... ( ) 0.
fn d fn d fn d fn
3. Для 0, 1, 2, ...n выполняется равенство
Pn – многочлен от n степени меньше .id
()
i
()
Px
n
12
где P – многочлен, deg( ) deg( ).PQ
Qx
()
() () ,
fn Pn
Доказательство
1. Рассмотрим множество всех функций
(множество всех последовательностей
0,1, 2, ... :nf
( ), 0, 1, 2, ... ).fn n
Выделим в нем четыре подмножества:
, , ...,
ком-
12
d
d
k
1
i
n
где
ii
0
139
{:
,
,
,
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
Ff
10
такие, что они удовлетворяют п. 1 – производящая функция каждой из них имеет вид ( ) / ( ),Px Qx для некото-
рого многочлена P: deg( ) deg( )};PQ
{:
Ff
20
такие, что они удовлетворяют рекуррентному
соотношению п. 2};
{:
Ff
30
некоторых многочленов
{:Ff
40
торых многочленов
такие, что они имеют вид, указанный в п. 3, для
}
d
d
k
(1 )
}.
i
;
i
()
Gx
i
x
ii
для неко-
d
i
()
Pn степени меньше
i
такие, что
()
Gn
i
01
ni
степени меньше
()
fnx
n
2. Все эти множества можно рассматривать как векторные про-
странства, так как изменение знака последовательности из
снова последовательность из
надлежит
лежит
, сумма двух последовательностей из
i
, умножение последовательности из
i
дает последовательность из
является векторным пространством размерности d с базисом
1
1
, , , ..., .
() () () ()
Qx Qx Qx Qx
также, очевидно, является пространством размерности d, по-
2
скольку задание первых d членов (0), (1), ..., ( 1)ff fd
, нулевая последовательность при-
i
снова принад-
i
на константу снова
i
.
i
xx x
21
d
последова-
дает
i
тельности однозначно определяет все остальные.
является векторным пространством размерности d, так как
3
коэффициенты многочленов ( )
k
i
1
n
()
Pn
ii
мы можем выбирать произвольно, а общее число ко-
эффициентов этих многочленов равно
Pn в представлении ( )fn
i
k
.
dd
i
i
1
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]