Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Пример 1.2.1. Пусть S = {1, 2, ..., 10}, тогда (1, 3, 10) и (3, 1,
A
A
A
10) – размещения (по 3 элемента из 10).
Число размещений из n по m обозначим
a
) – размещение.
m
В качестве a
S, в качестве a
можно выбрать любой из n элементов множества
1
– любой из оставшихся n – 1 элементов множества
2
m
.
Пусть (a1, a2, ...,
n
S , и т.д. Тогда всего различных вариантов
m
( 1)( 2) ...( 1).
Ann n nm
n
(1.1)
Определение 1.2.2. Если m = n, то такое размещение называется
перестановкой.
n
(1)(2)...21!
nn n n
Число перестановок
Размещению (a
1
n
, ..., am) можно поставить в соответствие инъек-
тивное отображение f множества
щим образом: f (1) = a
, ..., f (m) = am. Обратно, каждому такому
1
{1, . . . , }m
в множество S следую-
инъективному отображению соответствует некоторое размещение.
1.2.2. Сочетания
Определение 1.2.3. Сочетанием из n элементов по m называет-
ся неупорядоченное m-подмножество основного множества из n
элементов.
n
m
Число сочетаний обозначается двумя способами:
C
n
Мы будем чаще пользоваться вторым обозначением.
Из каждого сочетания из n элементов по m, меняя порядок эле-
ментов, можно получить m! разных размещений, поэтому
n
m
n
m
отсюда
!,
m
n
m
m
Ann nm n
mmmnm
( 1) ...( 1) !
n
!!!()!
.
Введем определение и обозначения для факториальной степени
величины x.
или
m
(1.2)
.
11
Определение 1.2.4. k-я верхняя факториальная степень x есть
A
k
( 1)...( 1).
xxx xk
k
( 1)...( 1).
xxx xk
Будем считать, что по определению
nm
m
,
n
n
!.
nn
k-я нижняя факториальная степень x есть
000
Тогда
1.xxx
Число сочетаний в этих обозначениях может быть записано так:
n
(1)...( 1)
nn n k n
k
!
k
Некоторые свойства числа сочетаний:
nn
1.
mnm
,
k
.
k
k
nn
2.
mm
nn n
3.
4.
5
6.
7.
mm m
n
1
n
m
n
n
n
0
1
,
n
если m > n,
0,
1,
1.
n
,
1
m
11
1
,
Эти свойства могут быть выведены из формулы (1.2) для числа
сочетаний, а также из его определения. Например, свойство 1 вытекает из того, что каждому m-подмножеству однозначно соответствует (n – m)-подмножество – его дополнение; свойство 3 отражает тот факт, что все m-подмножества n-множества можно разбить
на две группы: m-подмножества, содержащие
некоторый фиксиро-
12
ванный элемент (например, элемент номер n), и m-подмножества,
не содержащие его. Равенство 7 может быть получено из формулы
(1.2) для числа сочетаний, а также как следствие равенств 1 и 6.
Рассмотрим в качестве примера использования свойств чисел
сочетаний два способа доказательства равенства
n
rk rn
0
k
kn
1
.
Первый способ. Преобразуем левую часть следующим образом,
nn
rk rk
используя свойство 1:
ство R мощности
00
kk
1rn
и выделим в нем
kr
ство этих выделенных элементов обозначим
,,.
элементов обозначим
k
,, ,
k
1.
Для каждого
Saa
01
Srk
и
aa
1
n
Ясно, что
1, , .kn
Рассмотрим множества
1r
-подмножества T множества R
можно однозначно указать такое k, что
0,k то это значит, что T содержит
каких-то
а также элементы множества
,ik
и еще r элементов множества
0k
данным показателем
rk
элементы, т.е
r
тогда равно числу способов выбрать эти
. Число ( 1)r-подмножеств T с нулевым по-
S
a
k
. Число ( 1)r-подмножеств T с
1k
Рассмотрим множе-
.
1r
элементов, множе-
S
. Оставшиеся n
0
SSS SR
012 n
TS
k
, но
TS
, может содержать
S
, т.е. T содержит
0
S
Если
1.k
a
i
k
для
a
k
казателем равно 1, так как такое подмножество только одно,
TS
kk
. Общее число
0
nn
rk rk
10
1
rr
множеств множества R равно, как известно,
(1)r
-подмножеств множества R равно тогда
. С другой стороны, число ( 1)r-под-
1
nr
r
. Мы доказа-
1
13
ли равенство
r
r
A
x
x
A
x
лось.
n
rk nr nr
k
0
rr n
11
1
, что и требова-
Второй способ. Воспользуемся для преобразования левой части
рекуррентным соотношением (свойство 3) для числа сочетаний:
nnnn
rk rk rk rk
kk kk
0111
kkkk
Отсюда
на
нив
11
nn
rk r j
kj
nnn
rk rk r j rn
000
kkj
1
, получим требуемое равенство.
1
kkjn
kj
00
1
11
1
1
.
1
. Заме-
1.2.3. Сочетания как отображения
Пусть S – конечное множество мощности n (основное множе-
,,
ство) и
ii
1
Определение 1.2.5. Для AS функция
1при
что
Ix
жества
A
() ,
0при
.AS
Таким образом, сочетанию
ствие функция
() 0
Ix
A
Табличное задание индикатора имеет вид
для остальных x.
I
A
– некоторое сочетание.
m
:0,1
IS
A
A
называется индикатором подмно-
такая,
A
,,
ii
1
:0,1
IS
A
12
00 1 1 1 0
ii i n
12
,
() 1
Ix
A
ставится в соответ-
m
,,
для
m
ii
1
.
m
и
14
В верхней строке таблицы выписаны все значения аргументов, а
F
в нижней под каждым аргументом помещено значение функции от
него.
Обратно, задав такую функцию, мы тем самым задаем сочетание. Нижняя строка таблицы – вектор из «0» и «1» (двоичный, или
булев, вектор) – называется вектором-индикатором подмножества
iiA ,,1
m
n
2.
.
n
0
что ранее было получено из дру-
1,
:0,1.IS
Рассмотрим теперь
n
m
(сочетания)
Определение 1.2.6. Весом двоичного вектора называется число
единиц в нем (сумма его элементов как целых чисел).
Так как каждому n-мерному двоичному вектору веса m взаимно
однозначно соответствует некоторое m-подмножество n-множе-
ства, то число n-мерных двоичных векторов веса m равно
Число n-мерных векторов из всех нулей равно 1, следовательно,
естественно считать, что
гих соображений.
Так как всего сочетаний столько, сколько n-мерных двоичных
n
n
векторов, то
1.3. Мультимножества. Сочетания с повторениями
Итак, каждому подмножеству множества S взаимно однозначно
соответствует некоторая функция
k
0
k
.
множество функций F таких, что
Определение 1.3.1. Функция
мультимножеством (на основном множестве S):
F
()
ik
можно рассматривать как число «экземпляров» элемен-
i
та i.
:0,1,2,3,.FS
:0,1,2,3,FS
1 2 ...
kk k
12
15
...
n
n
называется
.
Таким образом, мультимножество можно неформально пред-
F
F
F
F
F
ставлять как множество «с повторениями», в котором каждый элемент может быть в нескольких «экземплярах».
Определение 1.3.2. Для мультимножества F число ()
дем называть кратностью элемента
i
в данном мультимножестве.
ik
бу-
i
Ясно, что множества являются частным случаем мультимножеств – это мультимножества, у которых кратности всех элементов
не превосходят 1.
На мультимножества могут быть распространены основные отношения и операции, определенные для множеств.
Нетрудно проверить, что для множеств
,FGS
выполняются
соотношения:
GIaIa для всех ;aS
GH где
GH
FG
Ia IaIa
,
где
Ia IaIa
,
HHG
HHG
min , ;
max , .
Распространим по аналогии эти операции и отношение включения на случай, когда ,
G – мультимножества на S, заменив инди-
каторы на функции, определяющие мультимножества.
Определение 1.3.3. Сочетанием с повторениями из n элементов
по m называется мультимножество, у которого основное множе-
n
,
ство содержит n элементов и
km
i
1
i
где
0
k
– кратности эле-
i
ментов.
Тогда число сочетаний с повторениями из n элементов по m есть
число решений этого уравнения для целых неотрицательных
,,
kk
1
.
n
Любое решение уравнения
n
km
i
1
i
можно изобразить в виде
строки длины m + n – 1:
0 010 010 010 0,
kk k
12
n
где число нулей равно m, а число единиц равно n – 1.
16
Следовательно, в строке всего m + n – 1 мест, на которые нам,
например, надо разместить m нулей (на остальных местах будут
единицы), тогда число сочетаний с повторениями из n по m равно
mn
1.4. Отображения конечных множеств
Пусть
Рассмотрим все возможные отображения первого множества во
второе, т.е. все
ние F будем обозначать как
1, 2 , 3, , ,Sn
:.FS R
В табличном виде конкретное отображе-
1
.
m
1, 2, 3, ,Rm
F
– конечные множества.
1
kk
1
n
n
где
,
kFi
i
,
1, , .in
каждый элемент нижней строки таблицы может быть выбран независимо от других m способами.
Если рассматривать только инъективные отображения, то все
kFii n
i
,,,
kk k
12
m-множества, т.е. размещение n элементов из m. Число инъектив-
ных отображений S в R, следовательно, равно числу размещений
n
Amm mn
m
Рассмотрим теперь всевозможные отображения конечного множества в себя, т.е. случай
жений есть, следовательно,
равно числу перестановок
Выберем произвольное отображение конечного множества в себя и обозначим его f.
Пусть
ту вновь применим f и т.д. В силу конечности множества
лучаемой последовательности повторится какой-то элемент и, сле-
Общее число таких отображений есть
(), 1, ,
n
11.
должны быть различными. Тогда
представляет собой упорядоченное n-подмножество
,.RSmn
Общее число таких отобра-
;nn
число инъективных отображений
n
APnn n
nn
.rS
Применим к нему отображение f, затем к результа-
.
17
11!
,nm
поскольку
S в по-
довательно, все элементы после него будут циклически повторять-
ся.
Периодически повторяющуюся часть полученной последовательности назовем циклом, начальный отрезок последовательности
до первого цикла – подходом:
, ( ), ( ( )), , ( ), , , ( ),rfr ffr afa afa
подход цикл цикл
Если есть элемент множества S, не принадлежащий построенной
последовательности, то выберем этот элемент и подвергнем такой
же операции. Новая последовательность может, начиная с какогото места, совпадать с уже построенной (тоже с какого-то места).
Продолжая этот процесс, пока не исчерпается множество S, получим, что все отображение можно графически изобразить в виде
набора циклов с подходами (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Инъективное отображение конечного множества в себя является
взаимно однозначным, так как в нижней строке табличной (двустрочной) записи такого отображения элементы множества S
встречаются все и по одному разу, следовательно, каждому из них
можно без противоречий поставить в соответствие единственный
элемент – расположенный над ним в верхней строке. Элементы в
нижней строке образуют, как уже отмечалось, некоторую перестановку исходного множества S.
Определение 1.4.1. Взаимно однозначное отображение конеч-
ного множества в себя называется подстановкой на данном множестве.
Если f – взаимно однозначное отображение (подстановка), то
оно графически выглядит как набор циклов без подходов (в силу
взаимной однозначности).
18
Пусть f – подстановка на множестве S.
f
Возьмем элемент 1 и построим последовательность 1, f (1),
f (f (1)), ..., пока не повторится единица. Заключим построенную
последовательность в скобки.
Из оставшихся элементов, если они есть, выберем наименьший
(с точки зрения обычного порядка: 1 < 2 < ... < n) элемент b и построим последовательность b, f (b), f (f (b)),
..., пока не повторится b,
и т.д. Также заключим построенную последовательность в скобки.
Полученный набор скобок
( ( )), ...)ffb
называется цикловой записью отображения f. Если на
(1, (1), ( (1)), ...)( , ( ),
ff bfb
каждом шаге начинать выписывание не с наименьшего из оставшихся элементов, а с произвольного, то мы получим для того же
отображения запись, отличающуюся перестановкой скобок и циклическими сдвигами в скобках. Будем называть такие записи экви-
валентными цикловыми записями подстановки f. Запись, в которой
каждый цикл начинается с наименьшего из своих элементов, а сами
циклы расположены в порядке возрастания их первых элементов,
будем называть каноническим видом цикловой записи.
Пример 1.4.1
1234 5
f
23154
или, например, (5 4) (2 31),f
тогда в цикловой записи (1 2 3) (4 5),f
,
но канонической записью является
первый вариант.
n
Введем обозначение:
– число подстановок на множестве из
k
n элементов в себя, имеющих ровно k циклов.
n
Найдем рекуррентное соотношение для
.
k
Теорема 1.4.1
1
nnn
делены
kk k
n
k
1
.
при всех , 0,nk для которых опре-
n
19
Доказательство
j
j
Разобьем все подстановки на множестве из
ющие k циклов, на
1n
группу следующим образом:
1n
элемента, име-
0-я группа – подстановки, в которых элемент
1n
отображается
сам в себя, т.е. образует цикл длины 1;
1n
j-я группа – подстановки, в которых элемент
отображается
в элемент j, j = 1, 2, ..., n.
Очевидно, что группы не пересекаются.
Число подстановок в нулевой группе равно числу подстановок
на множестве из n элементов, имеющих
1k
цикл, т.е.
Рассмотрим некоторую подстановку из j-й группы,
ставленную в циклическом виде. Элемент
1n
стоит в ней в ка-
k
n
1,j
.
1
пред-
ком-то цикле перед элементом j. Рассматривая эту пару как новый
элемент
получим циклический вид некоторой подстановки с k
,
циклами на множестве из n элементов, в котором элемент j заменен
на элемент
Теперь ясно, что любую подстановку из j-й группы
.
можно получить из некоторой подстановки с k циклами на множестве из n элементов, вставив в ее цикловой записи элемент
1n
перед элементом j.
Число подстановок в j-й группе равно числу подстановок на
n
.
множестве из n элементов, имеющих k циклов, т.е.
k
Отсюда получаем рекуррентное соотношение:
1
nnnnn
kk kk k
n
.
11
j
1
n
Теорема доказана.
n
Непосредственно проверяется, что
n
при
0
k
.kn
20
0
0,
n
при
1
n
0,n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]