Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
f
f
f
f
x
x
x
x
k
n
k
.
!
0
1
B
n
ek
9.3. Производящие функции чисел сочетаний и разбиений
9.3.1. Производящая функция для индикаторов подмножеств
множества целых неотрицательных чисел.
Из формулы свертки для производящих функций следует, что,
если
где
ak
n
kn
сов,
() () ,
zakz
kn
0
n
caam
njj
jj
,..., 0
1
m
jjn
...
1
m
принимают только значения 0 и 1, т.е. когда
()
() () ,
zakz z
0
njA
ℕ
A
k
, k = 1, ..., m. Можно считать, что
0
n есть индикатор множества
( ) ... ( ) ,
zfz cz
1
т.е.
11
mn
– число решений уравнения
c
n
, ...,xA
A
mm
n
1, ..., ,km
(1) . .. ( ) .
1
nj
n
0
.
k
n
m
где
где
то
()... () ,
zfz cz
1
mn
Рассмотрим случай, когда все
– некоторое множество индек-
A
k
как функция от
()
ak
n
ℕ
A
czfz fz
nm
, k = 1, ..., m. При этом
0
k
n
[]()... () 1
1
... ,
1
9.3.2. Производящая функция для чисел сочетаний
Используем полученные результаты для нахождения уже известного нам числа сочетаний из m по n. Каждому сочетанию
(подмножеству) соответствует его вектор-индикатор
где
x
i
1,..., ,im
{0, 1},
... .
1
xn
В этом случае
m
n
0
,...,
jA j A
11
mm
...
jjn
1
m
xn
где
m
( , ..., ),
1
x
n
n
,
121
... {0,1},
f
x
x
p
p
y
p
p
j
AA
1
уравнения
m
1
...
и
xn
m
( ) ... ( ) 1 ,
zfzz
1
есть
m
nm
[](1 ) ,
zz
и число решений
m
как и ожидалось.
n
9.3.3. Производящая функция для чисел сочетаний
с повторениями
Число сочетаний с повторениями из m по n – это, как указывалось в п. 1.3, число решений уравнения
{0, 1, 2, ...},
x
i
ственно,
1, ..., .im
() ... () .
fz f z z
1
m
Здесь
0
j
... {0,1, 2,...}
AA
j
1
1
1
m
Тогда число сочетаний с
z
... ,
1
xn
m
и, соответ-
повторениями равно
1
nn nn
[] [] (1)
zz z
m
(1) (1)
n
(1)...( 1)( 1)!
mm mn mn
m
(1 )
z
( )( 1) ... ( 1)
mm mn
nn
!!(1)!
nnm
m
n
0
n
!
n
mn
1
n
,
как уже было найдено в разделе 1.3.
9.3.4. Производящая функция числа разбиений
Найдем производящую функцию для введенного в лекции 2
()()k
числа ( )
биений числа
решений уравнения
целые. Обозначим через
n разбиений числа n. Обозначим через
на m слагаемых, не превосходящих k, т.е. число
0n
... ,
yn
1
m
()()k
n
общее число разбиений числа n на
слагаемые, не превосходящие k, т.е.
где
ky y y
11
() ()
kk
n
() ().
npn
1
m
m
m
n
число раз-
... 0
m
Каждому такому разбиению поставим в соответствие вектор
v
( , ..., ),
vv
1
k
где
– число входящих в разбиение слагаемых, рав-
где
–
122
ных j. Соответствие между разбиениями и векторами
j
xj
x
j
j
j
j
j
j
jj
j
j
j
такими, что
nv v kv
2 ... ,
12
взаимно однозначным. Обозначив
является, как нетрудно видеть,
k
,
v
1,..., ,jk
j
( , ..., )
vv
1
k
видим, что
каждому разбиению числа n на слагаемые, не превосходящие k,
соответствует решение уравнения
xA jjj
jj
,0,kn
ложив
{0 , 2 , 3 , ...},
() 2 3
kn jjj n
( ) [ ] (1 ...) [ ] .
pn z zz z z
()
k
p
(0) 1,
получим
1, ..., ,jk
kk
и наоборот. Тогда при 1,...,j
jj
11
()
kn
() .
pnz
0
n
... ,
xxn
12
k
j
1
1
1
z
k
1
где
1
По-
z
Из математического анализа известно, что бесконечное произ-
N
(1 )
ведение
гда и только тогда, когда сходится ряд
Поскольку
j
j
jj
22
тать, что при
j
1
сходится, т.е. существует
1
jj
ln(1 ) ,
jj
2
2
где
j
2(1 )
1
ln(1 ) ( ),
2
(1) ( )
12
2
2
при
1
j
ln (1 ).
lim (1 ),
Nj
а
1
,
то можно счи-
2
() .
то-
1
()
j
2
j
j
2
Теперь рассмотрим вопрос о сходимости бесконечного произве-
1
дения
j
1
j
ln 1 .
1
0
абсолютно. Действительно, поскольку при (0, 1/2)z
.
Ему соответствует вопрос о сходимости ряда
z
1
j
z
Этот ряд сходится в интервале
z
(0, 1 2),
причем
j
z
1
zz
2
j
123
j
j
j
p
p
p
j
j
p
j
p
j
p
p
j
j
для любого j, то по доказанному
jj
zz
11
000
jjj
jj
zz
24,
2
zz
j
т.е. наш ряд из модулей
ln 1
0
n
j
z
j
1
z
логарифмов мажорируется сходящимся рядом, что влечет его абсолютную сходимость. Следовательно, в интервале (0, 1/2) сходится
1
,
произведение
NN
111
zzz
111
111
jjj
1
1
j
1
jj
Обозначим, как и ранее, через ( )
биений числа n на положительные слагаемые, тогда
()
k
() ()
для
kn
kk
pnz p nz p nz
nn n
00 0
и
nknkn
() () () .
npn
() ()
предел этого произведения при
k
() .
pnz
0
n
сумм
n
k
n
k
() ,
0
11
11
zz
11
jj
n
k = 0, 1, 2, ... при указанных z монотонно возрас-
nz
причем ясно, что в этом интервале
z
для любого N.
n , число всевозможных раз-
()
для .kn Положим (0) 1.p
k
k
1
1
j
1
Для (0,1/2)z
z
существует, поэтому
Последовательность частичных
j
k
() ()
npn
Далее
тает и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел и
() .
pnz
0
n
k
1
1
jz
k
1
1
jz
j
1
1
1
Теперь из того, что
z
()
k
() ()
npn
для любого k, имеем
n
1
и
1
для любого k и, следовательно,
0
n
0
n
n
0
n
() .
pnz
()
kn
()
nz
n
()
nz
1
1
z
1
j
124
Мы доказали, что по крайней мере для (0,1/2)z
j
x
xj
j
f
j
j
() .
pnz
0
n
j
1
1
z
1
n
9.3.5. Производящая функция числа разбиений
на различные слагаемые
n
Рассмотрим теперь задачу о числе разбиений числа
()()k
личные слагаемые. Пусть
dn
– число таких разбиений со сла-
на раз-
гаемыми, не превосходящими k. Аналогично предыдущему, обозначим для некоторого такого разбиения через
в нем, равных j. Тогда
2... ,
12
kn
число слагаемых
j
где
k
j
{0, 1},
1,..., .jk Каждому разбиению взаимно однозначно соответст-
вует некоторое решение уравнения
{0, },
j
dnz z
n
0
1, ..., .jk Следовательно,
kn j
()
() (1 ).
k
j
1
Обозначим через ( )dn число всевозмож-
... ,
xxn
12
kn j
()
() [ ] (1 )
dn z z
k
j
1
k
где
или
ных разбиений числа n на различные слагаемые. Рассуждая анало-
nj
1
j
для
гично предыдущему пункту, получим
() (1 )
dnz z
0
n
(0, 1/2).z
9.3.6. Производящая функция разности
между числами разбиений числа n
с четным и нечетным числом слагаемых
Предварительные замечания.
() 1 ,
zz
Пусть
через
k
( , ..., )
j
1
m
jA
число ненулевых чисел среди
k
где
A
k
ℕ
1,...,.km
0
Обозначим
j
m
То-
,..., .
1
125
f
j
x
x
x
f
j
гда
jA j A
11
ния
( ) ... ( ) ,
zfz cz
1
,...,
mm
...
jjn
1
m
... ,
1
mn
(1) .
xn
m
( ,..., )
j
1
m
где
n
0
Если
xA
ii
четное число ненулевых, а
ненулевых среди
, ..., ,
1
x
m
n
где
– число решений уравне-
()n
четн
1, ..., ,im и среди
{0},
– то же для нечетного числа
()n
неч
то
cnn
n
() ().
четн неч
n
[]()... ()
czfz fz
nm
1
1
,...,
x
m
Найдем теперь производящую функцию разности чисел разбиений числа n на четное и нечетное число различных слагаемых.
Теорема 9.3.1. Тождество Эйлера
(1 ) ( 1) .
j
1
jk
zzz
k
0
22
33
kk kk
22
Доказательство
Найдем производящую функцию разности чисел разбиений чис-
n
на четное и нечетное число различных слагаемых.
ла
Пусть ( ) 1 , 1,..., .
следует, что
()
m
()
dn – соответственно число разбиений числа n на четное и не-
неч
zzk m Тогда из результатов п. 9.3.1
k
[ ] ()... () () (),
zfz fz d n d n где
k
nmm
1четннеч
m
() ()
()
m
(),
dn
четн
четное число различных слагаемых, не превосходящих m. Пусть
теперь
n
на четное и нечетное число различных слагаемых. Рассуждая
четн
аналогично пункту 9.3.5, получим
(1 ).
z
1
j
(),dn
– соответственно число разбиений числа
()dn
неч
По теореме 2.3.1 (Эйлера)
k
(1) для ,
() ()
dndn
четн неч
0 в противном случае.
126
() ()
dndnz
четн неч
n
0
2
3
kk
n
2
n
Тогда справедливо тождество Эйлера:
j
p
f
f
f
j
1
jk
(1 ) ( 1) .
zzz
k
Отсюда, учитывая результат п. 9.3.4:
2
3
kk
nk
00
j
0
nk
() (1) 1,
pnz z
jkk
zpj j
22
kk kk
33
kj kj
0: 1:
22
2
22
33
kk kk
22
22
33
kk kk
0
22
() ,
pnz
0
n
j
1
имеем
z
1
1
n
отсюда
(1) (1) 1
и, следовательно,
pj pj
22
kk kk
33
kj kj
0: 1:
22
22
33
kk kk
22
kk
(1) (1) 0
для всех 0.j Последнее равенство дает возможность рекуррент-
но вычислять ( ).
n
9.4. Мультисекция степенного ряда
Пусть
плексных чисел
Как получить производящую функцию последовательности
, , , ... ?baaa
024
Так как
– производящая функция последовательности ком-
()
x
a
,, ,....aaa
012
0
i
то
() ,
xax
ai
i
() ( ) 2 .
xfx ax
aa i
127
2
0
i
2
i
() ( )
x
f
f
fx f x
Тогда
aa
2
следовательности
Если мы заменим x на
i
Аналогично
i
ax
0
024
– производящую функцию последовательности b
2
i
,,,....aaa
() ( )
fx f x
aa
0
i
,0, ,0, ,0,... .ba a a
024
2
2
i
– производящая функция по-
ax
2
i
,
то получим
ax
21
0
i
() ( )
xf x
aa
2
21
i
i
– производящая
функция последовательности нечетных членов исходной последовательности, перемежающихся с нулями, т.е. последовательности
0, , 0, , 0, , 0, ... .aaa
135
В общем случае требуется решить следующую задачу.
Есть последовательность
производящая функция
a
функцию для последовательности
, , , ... ,aaa которой соответствует
012
Мы хотим построить производящую
().
x
,, ,....
aa a
02
mm
Теорема 9.4.1
2
i
1
00
jk
jm
ax fxe
jm
m
1
m
k
m
.
Доказательство
Пусть – любой корень m-й степени из 1 (т.е.
m
1).
Тогда
m
1
1 ...
21
m
1
m
0при 1,
при 1.
128
Рассмотрим сумму:
j
j
f
x
22
ii
11
mm
fxe a x e
000
kkj
ax e m ax m ax
jjim
0 0 кратно 0
jk jm i
21i
j
так как
Мы получили, что
m
e
тогда и только тогда, когда j кратно m.
m
1
m
kkj
mm
2
i
1
j
m
1
m
kj
00
есть производящая функция последовательности
0, ..., 0, , 0, ... .
a Производящая функция последовательности
2
m
,, ,...
aa a получается из нее заменой x на .
02
mm
j
j
k
jim
\
2
i
k
m
xe a x
jm
m
, 0, ..., 0, ,
aa
0
m
Теорема дока-
зана.
Как получить производящую функцию последовательности
,, ,...?
aa a
lml ml
2
Теорема 9.4.2
22
ii
1
mx
m
1
1/
m
ax fxe e
00
ik
im
im l
1/
kkl
mm
.
Доказательство
Рассмотрим:
22 2
ii i
11
mm
fxe e a x e
000
kkj
ax e m ax m a x
jj jj iml
00 :|() 0
jk jmjl i
m
kkl kjl
mm m
2
i
1
()
kjl
m
129
j
j
()
im l
,
m
.
Отсюда
j
x
x
ax fxe e
ik
00
im l
im l
и
ax fxe e
ik
00
im
im l
mx
Теорема доказана.
Примеры:
n
4
n
1. Найдем сумму
По формуле бинома
0
k
n
j
4
Выполним мультисекцию для
n
4
n
kk
00
1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) .
4
xxe
k
4
nnn n
1
m
1
m
1/
1
lm
1
m
/
.
k
n
0
j
(1 ) .
4:m
4
4
1
3
1
k
ix x xi
22
ii
kkl
mm
x
22
ii
kkl
mm
n
,
n
i
2
k
4
.
Отсюда при 1:x
n
4
n
k
0
nn
22
2 2 cos sin cos sin 2 2 cos ,
так как
11
2(1)(1) 22 2
44
4
k
nn
21
22
12
ie
и 412.
nn
nnn nn n
ii e e
nnnn n
4444 4
i
4
ii
ie
i
ii
/2 /2
44
2. Рассмотрим случайную величину X, представляющую резуль-
тат испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Пусть
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]