Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
p
t
1
1
t
m
0,,0
ptk tk всех делителей числа n и
mmm
11
упорядочим его по делимости. Очевидно, что полученное ч.у.м.
является ч.у. подмножеством множества натуральных чисел, упорядоченных по делимости. С другой стороны, задав на множестве
его отображение в множество m-мерных векторов следу-
n
t
ющим образом: для
1
rp p
1
чаем изоморфизм данного ч.у.м. и ч.у.м.
t
m
пусть
m
rt t
1
Ck Ck
1
m
полу-
m
,, ,
По-
.
следнее изоморфно ч.у. множеству мультимножеств для
m-множества, где кратности элементов ограничены числами
,, .
kk
1
Построим инъекцию
,, ,, ,0.
aa aa
11
m
n
C
nn
в
Будем считать, что
C
1n
следующим образом:
nn
CC
1
понимая это в том смысле, что второе содержит ч.у. подмножество,
изоморфное первому (изоморфное вложение). Рассмотрим ч.у.м.,
представляющее собой объединение
C
1nn
как множеств, со
следующим отношением порядка: так как для любых
,
ab C
n
1
ab
в
n
существует m такое, что
C
1nn
тогда и только тогда, когда
,,
ab C
m
ab
то пусть
в
C
m
Другими словами, рассматривается ч.у.м., состоящее из строк целых неотрицательных чисел конечных длин, которые сравниваются
между собой так же, как строки кратностей для мультимножеств:
для
aa a
,, ,
1
n
bb b
,,
1
ab a bi n
n
,1,,,
ii
в
случае строк разной длины более короткая сначала дописывается
справа нулями до нужной длины.
Обозначим построенное ч.у.м.
*
Оно изоморфно множе-
.C
ству натуральных чисел, упорядоченных по делимости. Чтобы показать это, занумеруем все простые числа в порядке возрастания:
,
.
61
2, 3,pp
f
s
P
12
щим образом:
Построим отображение
a
,, .
aap p
1
nn
1
1
a
n
Нетрудно видеть, что это
:fC
*
ℕ следую-
отображение задает нужный изоморфизм.
Отметим, что для любых
Ck Ck C (в смысле изоморфного вложения).
1
m
*
,,,
mk k
1
выполняется
m
5.2. Теоремы Дилуорса и Кенига
Приведем теперь некоторые результаты о частично упорядоченных множествах.
Любое ч.у.м. можно представить в виде объединения непересе-
в связи с этим возникает вопрос о минимальном числе непересекающихся цепей, на которые можно разбить данное множество. Ответ на этот вопрос дает теорема 5.2.1.
Теорема 5.2.1 (Дилуорса)
Пусть P – конечное ч.у.м. Наименьшее число непересекающихся
цепей, содержащих все элементы
P, равно ширине P.
Доказательство
Пусть
dP
– минимальное число непересекающихся цепей, на
которые можно разбить ч.у.м.
пей в
P,
max
PA
AU P
.dP sP
– ширина P. Теорема утверждает, что
P,
– множество всех антице-
UP
Никакие два элемента любой антицепи не могут лежать в одной
цепи из разбиения, поэтому любое разбиение ч.у.м. на цепи должно
содержать не меньше цепей, чем мощность любой антицепи, а следовательно, чем максимум этих мощностей. Следовательно, число
цепей в любом разбиении не меньше ширины множества. Отсюда
dP sP
. Обратное неравенство докажем индукцией по
.
Для одноэлементного множества теорема, очевидно, верна.
Пусть
1.P
62
Пусть неравенство
A
A
P
P
A
P
P
P
P
P
A
s
s
s
dP sP
(а значит, и вся теорема) спра-
ведливо для всех ч.у. множеств
чая.
Случай 1. Пусть существует антицепь
состоящая ни только из всех максимальных, ни только из всех минимальных элементов множества
PA
Тогда
нимость элементов антицепи, т.е. противоречие;
надлежащий антицепи
воречие с тем, что
пи
A.
Отсюда
ции
каждое из множеств
одновременно минимальным в
няя цепи
Проделав это для каждого элемента антицепи
ство из
дает множество
объединение которых есть
его максимальные элементы, либо все минимальные. Тогда таких
()() ()dP sP A sP
Ps
непересекающихся цепей:
()
P цепей, минимальное число
Случай 2. Каждая антицепь мощности
PP
P
sP
i
– в противном случае существует элемент, не при-
и
и () () (),dP sP A sP
C
и
i
1
и
C
i
()
sP
– предположив противное, получим срав-
A, и не сравнимый с ее элементами – проти-
sP
P
, в силу предположения относительно антице-
и
P
sP
i
,jC
содержащие элемент a, получаем цепь
непересекающихся цепей, объединение которых
P. Поскольку существует разбиение ч.у.м. P на
Q с
P. Определим два множества:
:,PxPaAxa
;
PP ,
C
i
1
Тогда по предположению индук-
.PP
представимо в виде объединения
.
Каждый элемент
P
и максимальным в .P Объеди-
()dP
63
.QP
Рассмотрим два слу-
,
UP
т.е.
A, получаем множе-
непересекающихся цепей,
P .
()
P
содержит либо все
:.PxPaAxa
aA
является
не
,
sP
.aC
антицепей может быть не больше двух: одна из всех максималь-
M
ных, другая из всех минимальных элементов. Пусть
ный элемент,
этом может быть ).
меньше, чем
жению индукции ч.у.м.
b – максимальный элемент, такой, что ba
ab
Тогда ч.у.м.
P, и ширина его равна
() ()1.sQ sP
\,QPab
Q может быть разложено на
ресекающихся цепей, добавляя к этим цепям еще цепь
чим разложение
() ().dP sP
что
Теорема доказана.
P на
()sP
цепей, откуда, как и в случае 1, следует,
a – минималь-
. (При
по мощности
По предполо-
() 1sP
(, )ab
непе-
, полу-
Приведем некоторые следствия из теоремы Дилуорса, определив предварительно необходимые понятия.
Заметим, что двудольный граф
12
можно интер-
,GVVE
претировать, как частичный порядок на множестве его вершин, если считать, что
,vVv V
112 2
vv
12
и смежны.
тогда и только тогда, когда вершины
Определение 5.2.1. Паросочетанием в графе называется такое
множество
F его ребер, что никакие два ребра из множества F
не
имеют общей вершины.
Определение 5.2.2. Вершинным покрытием графа называется
такое множество его вершин, что любое ребро графа инцидентно
хотя бы одной вершине из этого множества.
Тривиальным паросочетанием является одно ребро (если в графе вообще есть ребра).
Тривиальным вершинным покрытием является множество всех
вершин графа.
Справедлива теорема 5.2.2.
Теорема 5.2.2 (Кенига)
В двудольном графе
max min .
паросочетание
M
C
64
покрытие
C
Доказательство
Снабдим множество вершин нашего графа отношением порядка,
указанным выше, и рассмотрим некоторое паросочетание мощности
k. Так как каждое ребро графа представляет собой цепь длины
1, то паросочетанию соответствует разбиение множества вершин
графа на непересекающиеся цепи длины 1, соответствующие ребрам паросочетания, и длины 0 (одноэлементные), соответствующие
вершинам, не инцидентным ребрам паросочетания. Число цепей
длины 1 в разбиении равно
оставшихся вершин. Так как ребра паросочетания не пересекаются,
и каждое ребро содержит две вершины, то число цепей длины 0
равно
2.nkknk
на непересекающиеся цепи соответствует паросочетание, состоящее из ребер, соединяющих вершины, входящие в цепи длины 1.
Мы получили взаимно однозначное соответствие между паросочетаниями мощности
nk
непересекающихся цепей.
Вершинному покрытию мощности
соответствие множество из
Это множество – антицепь, так как две вершины, на входящие в
покрытие, не могут быть концами одного ребра (иначе это ребро не
будет покрыто) и, следовательно, не сравнимы. Построенное соответствие между покрытиями мощности
nk
также является взаимно однозначным.
По теореме Дилуорса имеем
2,nk
а общее число цепей в разбиении равно
Обратно, любому разбиению двудольного графа
k и разбиениями ч.у. множества вершин на
k, число цепей длины 0 равно числу
k нашего графа поставим в
nk
вершин, не входящих в покрытие.
k и антицепями мощности
min max ,
паросочетание
M
что равносильно доказываемому утверждению.
Теорема доказана.
nM nC
покрытие
C
Следствие 5.2.1. Теорема Кенига-Эгервари
Для любой (0–1)-матрицы минимальное число строк и столбцов,
содержащих все ее единицы, равно максимальному числу не стоящих в одной строке или в одном столбце единиц в ней.
65
Доказательство
Заметим, что в терминах матриц смежности графа вершинное
покрытие – это множество линий (строк и столбцов) (0–1)матрицы, содержащих все ее ненулевые элементы, а паросочетание – некоторое множество единичных элементов (0–1)матрицы, такое, что никакие два элемента не стоят в одной строке
или в одном столбце (не коллинеарны). Тогда теорема Кенига на
языке матриц утверждает, что для любой (0-1)-матрицы минимальное число линий, содержащих все ее единицы, равно максимальному числу неколлинеарных единиц в ней.
Следствие доказано.
66
Лекция 6. АЛГЕБРЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ
K
f
y
y
f
Рассматриваются алгебры инцидентности для локально конечных частично упорядоченных множеств. Исследуются свойства
функций инцидентности, обращение Мебиуса и его варианты. Основное внимание уделено методу включения-исключения.
Ключевые слова: отношение частичного порядка, частично
упорядоченное множество, алгебра инцидентности, дзета-функция,
функция Мебиуса, обращение Мебиуса, метод включенияисключения, неравенства Бонферрони.
Введение. В данной лекции рассматриваются алгебры инци-
дентности для локально конечных частично упорядоченных множеств, свойства операций, условия существования обратной функции, дзета-функции и функции Мебиуса для различных алгебр инцидентности. Получены формулы обращения Мебиуса. В качестве
следствия получены формулы включения-исключения. Выведены
неравенства Бонферрони для оценки усеченных формул включения-исключения.
6.1. Основные определения и свойства
Пусть
множество функций двух переменных
F
,P
– локально конечное ч.у.м., K – поле. Рассмотрим
PfPPK xy xyfxy
:при или(,)0.
На множестве
сложения функций:
умножения функций на элемент поля
,.afx
В правой части в обоих случаях операция в поле
Зададим еще операцию свертки двух функций из
F
обычным образом зададим операции
P
K
,,,;
gxy fxy gxy
*, , ,.
gxy fxzgzy
:
zx z y
67
:aK
K.
F
K
,afx
P
:
В правой части операции в поле K; сумма конечна ввиду ло-
xy
xy
y
f
f
yfxy
f
f
f
кальной конечности множества
Определение 6.1.1.
K называется множество F
выше, операциями сложения, умножения на скаляр (элемент поля)
и свертки.
Рассмотрим некоторые свойства алгебры инцидентности.
1). Определим функцию
Алгеброй инцидентности множества P над
P.
с заданными на нем, как указано
P
K
,
следующим образом:
,0, .
Тогда для любой
2). Для любой
функцию:
,,
x
Тогда очевидно, что
3). Операция свертки ассоциативна. Действительно,
** , , * ,
fghxy fxzghzy
::
zx z y wz w y
::
zx z y wz w y
::
wx w y zx z w
:
wx w y
F
f
F
f
fxz gzwhwy
*, , **,.
gxwhwy fg hxy
верно .
P
K
обозначим через – f следующую
P
K
F
K
zx z y
,,,
x
(обратный элемент в поле).
и
P
:
,, ,
fxzgzwhwy
,, ,
fxzgzw hwy
P
f
.ff
Это дает нам право не писать скобки в выражениях вида
gh
.
68
,
xy
x
x
f
yfxyfxy
gf
gf
gfhgfhgg
f
f
y
xy
Определение 6.1.2. Определим дельта-функцию
дующим образом:
1при
xy
Нетрудно видеть что эта функция является нейтральным элементом для операции свертки:
Определение 6.1.3. Левой обратной функцией для функции f
называется такая функция
Определение 6.1.4. Правой обратной функцией для функции f
называется такая функция
Если для функции
они совпадают:
** * * *
h
В этом случае будем говорить, что функция
функцию, которая обозначается
Теорема 6.1.1. Критерий существования обратной функции
Функция f из F
,0fxx
Доказательство
Пусть f обратима, тогда
стороны,
*, , , , ,,
следует, что
для любого
111
f xx fxzfzxfxxfxx
f существуют левая g и правая h обратные, то
hhh
P
имеет обратную тогда и только тогда, когда
K
:
zx z x
,0.fxx
,
0при
*, * , ,.
x
g, что * .gf
h, что * .fh
** * * * .
и
1
:
.xP
1
*, ,1,ff xx xx
y
.
y
11
**.ff f f
f имеет обратную
но, с другой
откуда
сле-
Пусть теперь
левую обратную функцию
[, ]
– мощности интервала
,0fxx
для любого
,gx
[, ].xy
Построим для f
.xP
. Воспользуемся индукцией по
69
Пусть
f
P
x
y
xy
xy
x
g
g
f
y
x
x
x
x
y
y
ложенному,
для любого
Пусть теперь функция
[, ] 1.xy
*, , ,1gf xx gxxfxx
.
Это значит, что
,gx
определена для всех пар
и, аналогично вышеиз-
,xy
1
,
gxx
и
xx
,
,,
таких, что
Пусть
лее
0,, ,,,,,
отсюда
где
ны для всех
функция для
ных функции совпадают.
Теорема доказана.
Заметим, что если
1
[, ].xy
Следствие 6.1.1
Если QP – ч.у. множества, и для любых ,
[, ] .
[, ] 1,xy k
::
zx z y zx z y
,gxz
в правой части по предположению индукции определе-
,fx
используются только значения функции f на множестве
k
отсюда
xzfzy gxzfzy gxyfyy
,,,,
xy gxz f zy
и
:zz x
f. Отсюда, как было показано, следует, что обе обрат-
1
,
fyy
.zy
:
zx z y
Аналогично строится правая обратная
1
существует, то при построении
*, , 0,gfxy xy
и
y
yQ
выполняет-
да-
,
ся
,,
yxy
QP
для ,
yQ
(напомним, что
1
,fx
в Q совпадает с
70
yzQxzy
Q
1
,fx
в P.
), то
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]