Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
(1)
nn
Это число равно
2
(так как нам нужно расставить 0 или 1
во всей матрице, кроме главной диагонали).
Задача 3.3.4. Найти число ориентированных помеченных гра-
фов с петлями.
2
n
Это число есть
ницами матрицу смежности размера
2
– число способов заполнить нулями и еди-
2
.n
Задача 3.3.5. Сколько существует неориентированных графов
без петель с
Ответ:
k ребрами?
n
2
– число способов расставить
k
k единиц на
n
2
воз-
можных местах в верхнем треугольнике матрицы смежности.
Задача 3.3.6. Пусть в графе с n вершинами и k ребрами допус-
каются кратные ребра, но не петли. Сколько существует таких графов?
Мы должны выбрать с повторением
n
2
Если допускаются петли, то таких графов будет
(1)
nn
2
k элементов из
1
k
.
k
1
k
.
k
n
:
2
3.4. Пути в графах
Пусть ( , )GVE – граф. Смежность вершин u и v будем, как и
прежде, обозначать u ~ v. Введем ряд определений.
Определение 3.4.1. Пусть u и v – вершины графа. Говорят, что
существует путь от u к v, если существует такое множество вершин
, ..., ,
vv
11
что
k
~ ~ ~ ...~ ~ .
uv v v v
12 1
k
41
Число ребер k в последовательности
(,)
vv
называется длиной пути.
1
k
( , ), ( , ), ( , ),...,uv v v v v
112 23
Определение 3.4.2. Путь называется простым, если вершины,
входящие в него, разные (кроме, возможно, первой и последней).
Очевидно, что если существует путь, то существует и простой
путь, так как участок пути между повторными вхождениями одинаковых вершин можно удалить.
Определение 3.4.3 Расстояние между вершинами есть мини-
мальная длина пути между ними (если путь существует, в противном случае расстояние не определено). Обозначим расстояние
между вершинами u и v через (u, v).
Определение 3.4.4. Путь называется циклом, если его первая и
последняя вершины совпадают.
Определение. 3.4.5. Цикл называется простым, если его длина
не меньше трех и в нем все вершины разные, кроме концевых.
Примечание. Если не накладывать ограничение на длину, то простыми
циклами длины два пришлось бы считать последовательности, состоящие
из двух смежных вершин, т.е. ребра графа.
Чтобы исключить этот вырожденный случай, вводится ограничение на длину простого цикла.
Определение 3.4.6. Две вершины v и w называются связанными,
если между ними существует путь. Вершина v достижима из вер-
шины u, если они связаны.
Определение 3.4.7. Отношение связанности является отноше-
нием эквивалентности, следовательно, все вершины графа распадаются на непересекающиеся классы эквивалентности, которые
называются компонентами связности.
Расположим компоненты связности графа в каком-либо порядке
и пронумеруем сначала вершины, входящие в первую компоненту,
затем во вторую и т.д. Тогда матрица смежности полученного помеченного графа будет блочно-диагональной. Действительно,
42
пусть
v
,1,,rr m
– номера вершин, входящих в некоторую ком-
поненту связности. Тогда эти вершины могут быть смежны только
,1,,rr m
между собой, что означает, что единицы в строках
матрицы инцидентности могут быть только в столбцах, номера которых лежат в этом же множестве чисел.
Определение 3.4.8. Если каждая вершина графа достижима из
любой другой, то компонента связности одна и граф называется
связным.
Введем еще несколько определений для связных графов.
Определение 3.4.9. Эксцентриситет вершины v – максимум
расстояний от этой вершины до любой другой:
ext( ) max ( , ).
vuv
uV
Определение 3.4.10. Диаметр графа – максимальный из экс-
центриситетов его вершин (или максимальное расстояние между
его вершинами):
diam( ) max ext max max ( , ).
Gv uv
vV vV uV
Определение 3.4.11. Радиус графа – минимальный из эксцен-
триситетов его вершин
Очевидно, что
Определение 3.4.12. Вершина
ext( ) rad .vG
ли
Примечание. Центров может быть несколько.
rad( ) min ext min max ( , ).
Gv uv
vV vV
rad diamGG
.
называется центром графа, ес-
uV
Определение 3.4.13. Ориентированный граф называется связ-
ным, если связным является соответствующий ему обычный граф
(граф, получающийся из ориентированного заменой дуг на ребра,
т.е. упорядоченных пар вершин на неупорядоченные).
Определение 3.4.14. Пусть G – ориентированный граф, u и v –
его вершины. Говорят, что существует ориентированный путь
(орпуть) от u к v, если существует такое множество вершин
, ..., ,
vv
11
что
k
uv v v v
12 1
k
43
.
Определение 3.4.15. Число ребер k на этом пути называется
A
j
A
j
A
A
A
A
длиной ориентированного пути.
Определение 3.4.16. Ориентированный путь называется ориен-
тированным циклом (орциклом), если его первая и последняя вер-
шины совпадают.
Примечание. Здесь нет ограничения на длину пути, т.е. если есть дуги
от u к v и от v к u, то
uvu
– ориентированный цикл.
Определение 3.4.17. Ориентированный граф называется сильно
связным, если существует ориентированный путь из любой верши-
ны его в любую другую.
3.5. Связь путей в графе со степенями матрицы смежности
Теорема 3.5.1
Пусть
Тогда
(, )ij
-й элемент ее r-й степени есть число путей длины r (не
обязательно простых) из вершины
есть матрица смежности некоторого графа G.
a
ij
v
в вершину
i
.
v
Доказательство
Индукция по r. Для r = 1 утверждение очевидно, выполняется.
Пусть оно выполняется для некоторого r.
(, )ij
Обозначим
m
(, ),
i
тогда:
Так как
rr
противном случае, то
v
в
, последним ребром которых является ребро, соединяющее
j
вершину
v
с вершиной
k
случае. Тогда сумма
-й элемент m-й степени матрицы A через
1
rr
,,
ij A ik a
,,,
ik a A ik
kj
r
,
ik a
v
n
1
k
n
.
1
k
если
– число путей длины 1r из
kj
, если они смежны, и 0 в противном
j
r
,
ik a
kj
44
kj
~
vv
kj
r
,0
Aika
и
представляет собой общее
в
kj
v
i
v
j
число путей длины r + 1 из
v
в
, поскольку каждый такой путь
j
i
содержит некоторое последнее ребро.
Теорема доказана.
Точно так же доказывается, что для ориентированного графа
степень его матрицы смежности задает число ориентированных
путей между вершинами.
n
,
k
ik ki
1
Заметим, что при
n
deg .
av
ik i
k
1
i
имеем
2
Aii a a
3.6. Полные графы, клики, хроматическое число графа
Определение 3.6.1.
Полный граф
– граф с n вершинами, у
K
n
которого каждая вершина соединена с каждой другой (т.е. в графе
есть все возможные ребра).
Определение 3.6.2. Клика графа – его максимальный по вклю-
чению полный подграф.
(Максимальный по включению – это значит не являющийся
подграфом другого полного подграфа с большим числом вершин.)
Заметим, что клик может быть несколько, и число вершин в них
может быть различным.
Определение 3.6.3. k-раскрашиванием графа ( , )GVE
называ-
ется отображение множества вершин V в множество из k элементов, такое, что смежные вершины отображаются в разные элементы. (Раскрашиваем вершины графа в k цветов, соблюдая правило:
смежные вершины – разного цвета.)
Определение 3.6.4. Минимальное k, для которого раскрашива-
ние графа G еще возможно, называется хроматическим числом этого графа.
45
Нетрудно видеть, что хроматическое число полного графа с n
вершинами равно n (все вершины должны быть разного цвета, так
как все смежны).
Обозначим через
Хроматическое число графа
граф с n вершинами, у которого нет ребер.
O
n
равно 1.
O
n
46
Лекция 4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ГРАФОВ
Рассматриваются специальные классы графов, представляющие
интерес для решения прикладных задач: двудольные графы, эйлеровы и гамильтоновы графы, деревья, леса. Исследуются основные
свойства графов рассматриваемых классов.
Ключевые слова: двудольные графы, эйлеровы графы, гамиль-
тоновы графы, деревья, леса, цикломатическое число.
Введение. В данной лекции рассматриваются графы определен-
ных классов, характеризующихся ограничениями на смежность
вершин, а также наличием или отсутствием определенных циклов.
Изложены критерии принадлежности графов к двудольным, эйлеровым графам, связным ацикличным графам (деревьям).
4.1. Двудольные графы
Определение 4.1.1.
гда и только тогда, когда его множество вершин V можно разделить на два непересекающихся подмножества
так что любое ребро
.vV
2
Матрица смежности двудольного графа имеет вид
Граф ( , )GVE называется двудольным то-
имеет вид:
eE
,, ,VV V V
(, ),evv
12
где
1
,vV
T
A
,
0
A
0
где A – некоторая (0–1)-матрица; 0 – нулевая матрица соответствующего размера. Обратно, каждой (0–1)-матрице A размера
можно поставить в соответствие двудольный граф с
mn
mn
верши-
нами и матрицей смежности вышеприведенного вида.
Очевидно, что хроматическое число двудольного графа, имеющего хотя бы одно ребро, равно 2.
47
Теорема 4.1.1 (Кенига) – критерий двудольности графа
Граф является двудольным тогда и только тогда, когда в нем нет
циклов нечетной длины.
Доказательство
Необходимость. Пусть
и любое ребро соединяет вершину из
.V Пусть вершины
,VV V
,,,
vvv
11
образуют цикл, и
n
– двудольный граф, тогда
(, )GVE
V
с вершиной из
1
.vV
Тогда в
этом цикле все вершины с нечетными порядковыми номерами (индексами) принадлежат
,V
следовательно, n + 1 – нечетное число,
следовательно, длина цикла n четна.
Достаточность. Пусть нет циклов нечетной длины, и граф
связен (двудольность определяется отдельно для каждой компоненты связности). Выберем вершину
v
. Разобьем множество вер-
1
шин V на два подмножества:
и сама вершина
– все остальные вершины (находящиеся на нечетном рассто-
V
янии от
1
).v
Пусть есть ребро, соединяющее
Тогда построим цикл
,четноеVvVvv
1
uV
~ ... ~ ~ ... ~vuwv
11
v
;
1
и .wV
нечетной длины –
противоречие. Следовательно, вершины, принадлежащие ,V
несмежны. Аналогично доказывается, что не могут быть смежны
вершины, принадежащие .V
имеет вид
(, ),evv где
12
Следовательно, любое ребро графа
,vV
1
,vV
2
,VV
что соответ-
ствует определению двудольного графа.
Теорема доказана.
Следствие 4.1.1.
двудольный.
Граф, не имеющий циклов (ацикличный) –
4.2. Эйлеровы и гамильтоновы графы
Определение 4.2.1.
дит через все ребра графа по одному разу.
Цикл называется эйлеровым, если он прохо-
48
Определение 4.2.2. Цикл называется гамильтоновым, если он
v
v
v
p
g
проходит через все вершины графа по одному разу.
Определение 4.2.3. Граф называется гамильтоновым (эйлеро-
вым), если он имеет гамильтонов (эйлеров) цикл.
Примечание. Гамильтонов граф связен.
Теорема 4.2.1. (Эйлера) – критерий эйлеровости графа
Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда он связен
или будет являться связным, если удалить из него все изолированные вершины, и каждая его вершина имеет четную степень.
Доказательство
Наличие изолированных вершин не влияет на эйлеровость графа, поэтому можно рассматривать только случай графа без изолированных вершин.
Необходимость. Пусть граф G эйлеров. Тогда он связен, и при
каждом проходе по эйлерову циклу через произвольную вершину
v
графа «используются» (включаются в цикл) два новых ребра, и
все ребра обязательно используются, следовательно, число ребер,
инцидентных данной вершине, четное.
Достаточность. Пусть граф G связен и все вершины имеют
четную степень. Выберем вершину
и будем, начиная с нее, переходить от вершины к вершине, не проходя по одному и тому же
ребру дважды. Каждая вершина имеет четную степень, следовательно, если мы попали в вершину, не совпадающую с
, у нас
есть еще возможность двигаться дальше. Число вершин конечно,
тогда в конце концов мы вернемся в вершину
. Если построеннный цикл P содержит все ребра графа, то он эйлеров. Если остались
еще непройденные ребра, то построим граф ,G
выбросив все ребра
из G, входящие в построенный цикл, а также удалив те вершины,
которые после этого стали изолированными.
Тогда существует вершина, принадлежащая одновременно P и
Действительно, рассмотрим какую-либо вершину g графа G
.G
и какую-либо вершину
цикла P. В силу связности графа G меж-
ду ними существует путь. Двигаясь по этому пути от p к g, мы в
wP
какой-то момент сделаем шаг от некоторой вершины
шине
Если соединяющее их ребро входит в построенный
.
G
49
к вер-
цикл, то
g
g
P
P
P
но
,
Если соединяющее их ребро не входит
.
G
в построенный цикл, то это ребро не удаляется, и, следовательно,
не удаляется вершина w, значит,
Итак, найдена вершина, принадлежащая одновременно P и
Обозначим ее u. В графе G
Начиная с вершины
u
, построим в нем цикл 1P , подобно тому, как
все вершины имеют четную степень.
мы делали это в исходном графе. Обозначим через
,wG
но .wP
и
части
.G
цикла P от v до u и от u до v соответственно. Тогда, начиная с вершины v, можно построить цикл, состоящий последовательно из ребер, входящих в множества
,, .PPP
1
Если опять остались неис-
пользованные ребра, то поступаем аналогично: удаляем из исходного графа построенный цикл, находим вершину, принадлежащую
одновременно построенному циклу и оставшейся части графа, и
т.д., если неиспользованных ребер нет, то эйлеров цикл построен. В
силу конечности графа процесс завершится на конечном шаге.
Теорема доказана.
Теорема 4.2.2. Критерий эйлеровости ориентированного
графа
Ориентированный граф содержит эйлеров цикл тогда и только
тогда, когда он сильно связен, или среди его компонент сильной
связности только одна содержит ребра (а все остальные являются
изолированными вершинами), и в каждую вершину входит столько
же дуг, сколько из нее и выходит.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.2.1.
Примечание. Для свойства гамильтоновости графа общего критерия не
найдено. Известны достаточные и, для некоторых классов графов, необходимые условия гамильтоновости графа.
4.3. Деревья
Определение 4.3.1.
Дерево – связный граф без циклов.
Определение 4.3.2. Ориентированное дерево – ориентирован-
ный граф, для которого соответствующий ему обычный граф является деревом.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]