Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
f
M
f
YY rTT Y YY r
:: :
nn
::
kr k kr k
(1) ( ) ( )(1)
r
()(1) (1) ()
fY fY
kr k kr k
rr
n
kr
kr k
(1) .
S
rk
Yr Y
r
fY
Теорема доказана.
Следствие 6.3.1
Суммарный вес элементов, не обладающих ни одним из свойств,
равен
n
kn
(1) ... (1) .
0012
k
0
Следствие 6.3.2
A A AA AA A
ii ii iii
i
iii iii
SSSS S
kn
12 123
12 123
...
Доказательство
Будем считать, что
AxXx i а ве-
i
обладает свойством ,
совая функция тождественно равна 1.
Тогда суммарный вес (т.е. число) элементов, обладающих свойствами из множества Т и, возможно, еще какими-то, равен
() .
i
A
В наших обозначениях
i
SA
ki
:
k
i
.
Пусть нет элементов, которые не обладают ни одним из свойств,
т.е.
12
0
тогда
но
,SS
SA
0 i
0MSSS
0012
– число всех элементов, следова-
i
отсюда
S
0
0,M
тельно,
81
M
f
A A AA AA A
i i ii ii i
i
iii iii
12 123
12 123
...
Часто именно эту формулу называют формулой включения-
исключения.
Следствие доказано.
Рассмотрим несколько примеров использования метода включения-исключения.
Пример 6.3.1. Число подстановок без единичных циклов
(«беспорядков»)
В качестве множества X рассматривается множество подстановок на множестве из n элементов. Будем говорить, что подстановка
обладает свойством i, если в ней элемент i отображается сам в себя,
т.е. образует единичный цикл.
Тогда число подстановок без единичных циклов – это число
элементов множества X, обладающих точно 0 свойствами, т.е.
,,
Число подстановок, обладающих свойствами
,, ( )!
можно, еще какими-то), равно
становки, у которых элементы
себя, множество остальных
nk
ii nk
1
,,
ii
1
k
элементов – произвольно взаимно
k
отображаются каждый в
ii
1
k
– это под-
.
0
(и, воз-
однозначно в себя.
Тогда
n
SfYnk nk
k
YY k YY k
::
() ( )! 1 ( )!
k
!
n
.
!
k
Отсюда число «беспорядков»
nn
kk
MS
0
nneO
(1) (1)
kk
00
n
(1) 1
!!1.
kn
k
0
k
k
!!
1
82
!
n
!
k
Пример 6.3.2. Функция Эйлера
p
p
p
Функция Эйлера φ( ),n уже определенная выше, – это количе-
ство натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с ним.
Найдем выражение для нее, используя метод включенияисключения. Введем множество
числа n на простые множители есть
1, 2, , .Xn
npp p
Пусть разложение
12
,, .
12
k
k
Назовем
число из множества X обладающим свойством i, если оно делится
.
на
Тогда функция φ( )n есть число элементов множества X,
i
обладающих ровно 0 свойствами. Здесь в наших обозначениях
fi i
,, ,
1
m
n
pp
ii i
12
m
тогда
SfY
m
:,,
YY m i i
() ,
1
m
n
pp
ii i
12
m
и
nn
MS
0
mmii
mm
(1) (1)
00,,
m
1
m
11
11.
n
pp
1
k
n
pp p
ii i
12
m
6.3.2. Неравенства Бонферрони
Теорема 6.3.2
Если в условиях теоремы 5.4.1 весовая функция действительнозначна и неотрицательна, то для любого
n
kkm
(1) 0.
rk
km
m
,
S
,rmn
83
Доказательство
f
М
nn
kkm kkm
rkr
km km TT k
:::
TT m TT m YY T
TTm TTm
rr
(1) (1) ()
(1) () (1) ()
SfT
TfY
:
() (1)
YY m TT Y
::
YY m k mTT k
YY m k m
fY
::
fY
:
Yn
() (1)
Y
fY
() (1)
TTm
r
m
TY
k
r
k
r
kn
km
Y
k
Y
YY m k m
fY
:
YYr
() (1) 0,
rkr
km
поскольку
() 0,fY
а внутренняя сумма неотрицательна, так как
YY Y
Yr Yr Yr
kr kr kr
km km km
km km km
(1) (1) (1)
Yr
1
Yr
(1) 0.
Ym
11
11
Yr Yr
11
mr mr
1
1
Теорема доказана.
Следствие 6.3.3
1
При (m – r) четном
m
rr k
kkr
kr
84
(1) ,
S
1
M
M
М
M
при (m – r) нечетном
m
kkr
rr k
kr
(1) .
S
Доказательство
n
Разобьем сумму
mn
MSS
rr k r k
kr km
1
mn
kkr mrkkm
rk r k
kr km
rrk
kr
1
kkr kkr
(1) (1)
(1) (1) (1) .
SS
kr k
(1)
на две части:
S
Тогда, поскольку вторая сумма неотрицательна, то
1
при (m – r) четном
при (m – r) нечетном
m
rr k
kkr
kr
1
m
rr k
kr
(1) ,
kkr
(1) .
S
S
Следствие доказано.
В часто встречающемся случае
тают особенно простой вид:
SSS S M SSS S
012 21 0 012 2
km
эти неравенства приобре-
0r
.
Рассмотрим несколько примеров использования неравенств
Бонферрони.
Пример 6.3.3. Число булевых функций без несущественных
переменных
Пусть булева функция от n переменных обладает свойством i,
если i-я переменная для нее несущественна. В наших обозначениях
n т
,, 2 ;
fi i
1
m
2
SfY
m
YY m
:
() 2 ,
nm
n
2
m
85
n
f
M
M
0
(1) 2 .
0
m
nm
2
mn
m
Сравним это значение с общим числом булевых функций от n
переменных. Неравенства Бонферрони дают
SS n M S
01 0 0
nn n
22 2
22 2,
1
отсюда
1
n
2
2
11,
22
M
n
0
nn
22
а это показывает, что «почти все» булевы функции не имеют несу-
щественных переменных, т.е.
nM
0
lim 1.
n
2
2
Пример 6.3.4. Число способов разложения шаров по ячейкам
с заданным числом пустых ячеек
Найдем число способов разложить n помеченных (пронумерованных) шаров по m помеченным ячейкам так, чтобы r ячеек были
пустыми. В качестве множества X рассмотрим разложения; разложение обладает свойством i, если в нем i-я ячейка пуста.
Тогда
,,
ii mk
1
шаров в оставшиеся
k
mk
ячеек (т.е. кроме
n
– число способов разложить n
,,
ii
1
) произволь-
k
ным образом. Отсюда
n
SfYmk
m
YY k
:
() ,
k
n
и
nmr
(1) (1) .
r
kr s
km m mr
kr s
rk r s
nn
mk mrs
0
Неравенства Бонферрони
SSMS
01 0 0
принимают вид
86
mm m
rr r
nnn
mr r mr M mr
11 .
1
r
Преобразуем эти неравенства к виду
11 1.
В частности, при
Отсюда видно, что если
M
0
1,
т.е. в этом случае «почти все» размещения шаров по
m
n
mr
mr
0
r
n
1
m
11 1.
m
mn,
n
1
ячейкам не имеют пустых ячеек. Соотношение
вивалентно тому, что
ln 1 1 .
nmC mm
n
mo
Пусть
m
~ln,
n
C
где
n
что n растет не медленнее, чем
ln ln 1 ,mn
ln 1 1 ,
.
Следовательно, если
ln ,mm
M
r
m
M
m
mr
r
0
n
так, что
n
тогда
moC
m
n
n
1
10,
m
m
n
1
10
m
m
1
m
или
n
,nm
то «почти все» размещения
шаров по ячейкам не имеют пустых ячеек.
то
эк-
так,
87
Лекция 7. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ
И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Рассматриваются формальные степенные, экспоненциальные
ряды и ряды Дирихле и их основные свойства, а также соответствующие производящие функции.
Ключевые слова: формальные степенные ряды, формальные
экспоненциальные ряды, формальные ряды Дирихле, производящие функции, экспоненциальные производящие функции, производящие функции Дирихле.
Введение. В данной лекции будут введены формальные степен-
ные, экспоненциальные ряды и ряды Дирихле, исследованы их основные свойства. Будут рассмотрены производящие функции, экспоненциальные производящие функции, производящие функции
Дирихле.
7.1. Формальные степенные ряды. Производящие функции
Пусть K – некоторое коммутативное кольцо с единицей. Рассмотрим множество A бесконечных последовательностей с элемен-
тами из кольца K:
Зададим на множестве A операции:
1) сложения двух последовательностей:
для
последовательность
2) свертки двух последовательностей:
для
последовательность
0,1, 2,n
Рассмотрим некоторые свойства множества A, снабженного указанными операциями.
,, ,,,, ,,,ab A a a a a b b b b
,, ,,,, ,,,ab Aa a a a b b bb
Aaa aKi.
,, , 0,1,2,
01
012 012
012 012
*,,,cab ccc
i
,, ,;ab a b a b a b
001122
012
88
, где
определим
определим
n
cab
nini
i
0
,
Все введенные операции коммутативны.
Последовательность
нейтральным элементом относительно сложения:
Последовательность
но, тем свойством, что
Последовательность
том относительно операции свертки.
Операция свертки ассоциативна. Действительно, n-й элемент
()abc
свертки
nni n
abc ab abc
ijnij ijc ijnij
0 0 ,0, 0,0,
i j ij ijn r ij ijr
– n-му элементу свертки
Операция свертки дистрибутивна относительно сложения
равен
nnr
0, 0, 0 0
rijijr r i
aa
{1,0,0,...}
().ab c
0, 0, 0, 0
,, ,aaaa
012
0.
является нейтральным элемен-
ab c ab c
ijnr iri nr
() ,() .abc abac bca baca
Таким образом, относительно введенных операций множество
последовательностей A является коммутативным кольцом с единицей, где роль умножения играет свертка.
Пусть есть бесконечное множество последовательностей
0,1, 2,...,k
для любого j множество j-х элементов последовательностей
{()}, 0,1,2,...
ak k
j
ментов, то определим бесконечную сумму последовательностей
bak
где
()
0
k
0,1, 2, ...}.j
конечное число ненулевых элементов.
() { (), (), (),...},ak a k a k a k
как последовательность 0{(),
Все такие суммы конечны, так как включают лишь
012
содержит конечное число ненулевых эле-
, очевидно, является
00
обладает, очевид-
ni j
0, 1, 2, ...k
bak
jj
k
.aaa
(),ak
Если
89
Выделим в A подмножество последовательностей вида
,0,0,a
. Тогда
,0,0, ,0,0, ,0,0,abab
,
,0,0, * ,0,0, ,0,0,ab ab
жество изоморфно кольцу K, и можно считать, что A содержит K в
качестве подкольца.
Отметим, что
краткости будем записывать это как умножение элемента кольца K
на последовательность:
Последовательность
кольца, если существует такая последовательность
* 1 1, 0, 0, .ab
Теорема 7.1.1
Для обратимости последовательности aA необходимо и достаточно обратимости
Доказательство
Необходимость. Пусть существует такая последовательность
что
a
обратим.
0
Достаточность. Пусть aA
им последовательность
следовательность
00
найдены. Должно выполняться равенство
1
n
0
i
Теорема доказана.
,bA
1ab
, то
abab
nii n
0
,0,0, * , , , , , , ,a b b b ab ab ab
*,,, , , ,.a b b b ab ab ab
012 0 1 2
aA
– обратимый элемент построенного
a
в K.
0
* 1 1, 0, 0,ab
bA
такую, что
строим индуктивно. Так как должно быть
bA
1
0,
откуда
.ba
Далее, пусть элементы
ba ab
nnii
00
. Мы видим, что это подмно-
012 0 1 2
. Тогда
такова, что
1,ab
00
следовательно,
a
обратим. Постро-
0
*11,0,0,ab
b
для ,in
i
n
ab
nii
0
i
1
n
1
0
i
.
0
что
,bA
. По-
0,
тогда
для
1n
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]