Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторика и теория графов для кибербезопасности. Конспект лекций. Учебное пособие
.pdf
Аналогично
F
f
x
f
f
F
F
F
f
d, поскольку в представлении
произвольно выбрать коэффициенты многочленов ( ),
число коэффициентов этих многочленов равно
3. Пусть
().Px Отсюда для любого 0m
1.
При md эта величина равна нулю, поскольку deg( ) .Pd
0
Так как, кроме того, deg( ) ,Qd
md выполняется равенство
можно считать, что ,mnd
0, т.е. последовательность
является векторным пространством размерности
4
,
F тогда
1
()
fnx
01
ni
() ,
fnx
0
n
то 0
j
Px
n
Qx
m
[]() ( ),
при ,jd и для любого
j
d
fm j
j
0
0,n и тогда
F
удовлетворяет рекуррентному
1
k
n
()
или () ()
()
Px f m j
()0.
()
Gx
i
d
(1 )
k
dd
i
1
i
x
ii
Gn а общее
i
.
i
Qx f nx
m
j
j
0
Для таких m
d
()
nd j
j
0
j
можно
n
где
соотношению п. 2 условия теоремы, т.е. принадлежит пространству
.F
2
– векторное пространство
Таким образом,
F
12
подпространством векторного пространства
совпадают, следовательно,
:
Пусть теперь
F
4
.FF
12
,
но их размерности
2
является
1
() ,
fnx
ni
01
k
где
deg ( ) deg ( ),
Px d Qx
i
1
k
n
i
()
Gx
i
(1 )
i
dk
i
x
() ()
Px Px
(1 )
i
1
x
i
d
i
так как все дроби правильные.
141
()
Qx
Тогда
F
F
f
dd
x
F
Пусть
,
F и из совпадения размерностей
41
k
n
,
F тогда
4
() ,
fnx
01
ni
()
Gx
i
(1 )
i
FF
а эта сумма дро-
d
i
x
412
.
бей является конечной линейной комбинацией дробей вида
m
axx
(1 )
d
i
i
где imd
,
fn a x
0
n
( ) ... [ ] ...,
n
fnx
( ) ... ...,
n
ax
(1 )
i
x
(1 )
m
d
i
x
m
d
i
x
i
тогда, далее,
nnmjj nm
[] [ ] () ( )
xx x
m
(1 )
d
x
i
dnm
i
nm
i
j
1
nm nm m n
(1) ( ) .
ii
0
ii
jnm
dnm
i
ili
d
1
1
i
1
d
dnm
Так как
i
d
член от n степени 1,
1
mm
1
i
d
i
ii
то ( )fn есть конечная линейная комбина-
(1)
dnm
i
(1)!
d
i
ция таких многочленов, умноженных на соответствующие ,
следовательно,
получаем, что
.fF Как и ранее, из совпадения размерностей
3
F
и теорема доказана.
43
i
есть много-
n
и,
i
Определение 10.1.1.
для которой выполняется соотношение
( 2) ...fn d () 0,
1
, , ...,
стант
(0),
12
d
Последовательность
fn
0, 1, 2, ...n
d
называется линейной рекуррентной
d
(), 0,1,2,...,fn n
() ( 1)fn d fn d
1
для некоторых кон-
последовательностью (ЛРП).
142
Определение 10.1.2. Многочлен
x
x
f
p
f
...
рекуррентного соотношения
d
называется характеристическим многочленом линейного
d
( ) ( 1) ( 2) ... ( ) 0
fn d fn d fn d fn
11
(или характеристическим многочленом ЛРП
( ) 1 ...Qx x x
12
d
( ), 0, 1, 2, ... ).fn n
2
Примечание 1. Приведенное доказательство эквивалентности утверждений 1 и 2 теоремы без изменений (кроме замены термина «производящая функция» на «формальный степенной ряд») может быть распространено на случай последовательностей над произвольными полями, в
том числе и конечными.
Примечание 2. Числитель рациональной производящей функции (ФСР)
содержит информацию о начальных условиях, а знаменатель – о рекуррентном законе.
Действительно, как мы видели, из
m
[]() ( ),
что
Px f m j
последовательности ( )
m
где
j
0
j
n линейное рекуррентное соотношение,
()
fnx
n
0
1. При md это дает для
0
()
Px
n
()
Qx
следует,
как мы уже видели в п. 3 доказательства теоремы, а при
0, ..., 1md – справедливость равенств:
(0);pf
0
(1) (0 )
ff.
11
…………..
pfd fd f
dd
( 1) ( 2) ... (0),
11 1
откуда последовательно
(0) ,
p
0
(1) (0 ),fp f
11
………….
( 1) ( ( 2) ... (0)),
fd p fd f
11 1
dd
143
где
p
p
f
f
fn
f
R
для 0, 1, 2,...n и того, что
отрезок ЛРП длины d может быть однозначно продолжен в обе стороны
(«вперед» и «назад»), другими словами: отображение отрезка ЛРП длины
d в следующий отрезок является взаимно однозначным.
, , ...,
pp
01 1
1
d
i
.
x
i
Примечание 3. Из соотношения
( 2), ..., ( )
nd fn однозначно определяются (),
i
0
( ) ( 1) ( 2) ... ( ) 0
fn d fn d fn d fn
1),d
и т.д., так и по
(1)fn однозначно определяется (),fn (1)fn
– коэффициенты многочлена ( ),Px ()Px
d
12
0,
следует, что как по (1),fn d
d
d
nd
(),
nd
(1),fn d
( 2), ...,fn d
и т.д. Таким образом,
(
10.2. Дополнительные результаты,
примеры и частные случаи
10.2.1. Другие рекуррентные соотношения для данной
линейной рекуррентной последовательности
1. Пусть
гочленом
произвольного многочлена ( )
справедливо равенство
( ), 0, 1, 2, ...fn n – ЛРП с характеристическим мно-
().Qx Тогда
n
()
fnx
0
()
Px
n
для некоторого ( )Px и для
()
Qx
x со свободным членом, равным 1,
() ,
fnx
0
n
PxRx
n
QxRx
() ()
() ()
т.е. наша последова-
тельность является одновременно ЛРП с характеристическим многочленом ( ) ( )QxRx и удовлетворяет более «длинному» (с большей
глубиной зависимости) рекуррентному соотношению, соответствующему коэффициентам многочлена ( ) ( ).QxRx Начальные
условия для такой ЛРП находятся из коэффициентов многочлена
() ().PxRx
144
2. Если многочлен ( )Qx является приводимым, ( )Qx
R
() (),QxQ x то среди ЛРП с данным характеристическим много-
12
членом имеется, например, последовательность, ФСР которой есть
()
Px
,
где ( )Px делится на
()
Qx
имеет ФСР
QxRx
QxQx Qx
12 2
() ()
1
() () ()
Это значит, что такая ЛРП удовле-
(),Qx 1() () (),Px Q xRx т.е. такая ЛРП
1
x
()
.
творяет другому линейному рекуррентному соотношению с меньшей глубиной зависимости, которое соответствует коэффициентам
многочлена
().Qx Как мы видели выше, числитель рациональной
2
производящей функции содержит информацию о начальных условиях, следовательно, при некоторых (но не всех!) начальных условиях рекуррентный закон (с приводимым характеристическим многочленом) задает ЛРП, которая фактически подчиняется другому,
более «короткому», линейному рекуррентному соотношению.
Теорема 10.2.1
Пусть
кие, что
делится на
(), (), (), ()Px Q x P x Q x – многочлены над полем K та-
112 2
() ()
Px Px
12
и
() ()
Qx Q x
12
(), ()Px Q x делится на 1().Qx
12
(), ()Px Q x взаимно просты. Тогда 2()Px
11
Доказательство
Так как
ны ( ), ( )Ux Vx такие, что
равенство на
ему
21
или
12 2 2
().Qx Так как
1
(), ()Px Q x взаимно просты, то существуют многочле-
11
() () () () 1.PxUx Q xVx Умножив это
11
()Qx и заменив произведение
2
() (),PxQx получим
() () () () (),QPxUx VxQx Qx т.е.
() ()
Px Q x
22
то
() ()
Px Qx
11
() () () () () () ()QxPxUx QxVxQ x Q x
12 1 2 2
,
()Px делится на 1().Px
2
() ()PxQ x на равное
12
()Qx делится на
2
Теорема доказана.
145
Следствие 10.2.1
R
Пусть
кие, что
имно прост с
Тогда
(), (), (), ()Px Q x P x Q x – многочлены над полем K та-
112 2
() ()
Px Px
12
и
() ()
Qx Q x
12
().Qx
2
() (),Px Px
21
,
()Px взаимно прост с
1
() (),Qx Qx
21
где – некоторый нену-
(), ()Qx Px вза-
12
левой элемент поля K.
В частности, если свободные члены многочленов
равны 1, то
() (), () ().Px Px Q x Qx
212 1
10.2.2. Общий случай рациональной производящей функции
Рассмотрим рациональную функцию общего вида
(), ()Px Qx – многочлены. В случае, когда
место равенство
() ()
Px Px
() ()
Qx Qx
неправильная правильная
дробь дробь
() ,
Rx
где ( )
x – многочлен – частное от деления ( )Px на ( )Qx с остат-
deg( ) deg( ),PQ имеет
ˆ
(), ()Qx Q x
12
()
Px
,
где
()
Qx
ком, ˆdeg( ) deg( ).PQ
Поскольку многочлен есть производящая функция последовательности, в которой лишь конечное число членов отлично от нуля,
()
то теперь очевидно, что, если рациональная функция
Px
()
Qx
не яв-
ляется правильной дробью, то она есть производящая функция последовательности, которая равна сумме двух последовательностей – линейной рекуррентной последовательности и последовательности, состоящей из конечного числа ненулевых элементов:
, ..., , 0, ... ,
aa где deg ( ) deg ( ) deg ( ).nRx Px Qx
0
n
146
fn
x
x
x
10.2.3. Случай различных корней характеристического
многочлена
Пусть все корни многочлена
ны, тогда в соответствии с п. 3 теоремы 10.1.1 ( )
P
– многочлены нулевой степени, т.е. элементы поля. Они могут
i
( ) (1 ) . .. (1 )
Qx x x
различ-
1
d
d
P
1
i
n
,
где
ii
быть найдены различными способами.
Во-первых, из разложения производящей функции на простей-
шие дроби:
() () ... .
Fx f nx
0
n
Это
первый способ получения коэффициентов .
() ()
Px Px
n
( ) (1 ) ... (1 ) 1 1
Qx x x x x
11
dd
P
1
P
i
P
d
Во-вторых, отсюда следует, что, например,
(1 )
xP
()
(1 ) ( ) .. . ,
xFx P
11
(1 ) ... (1 ) 1 1
Px
22
xx x
dd
12
(1 )
P
1
d
и из последнего равенства при
1
x
получаем
1
1
()
P
P
1
(1 ) . .. (1 )
21 1
1
11
,
d
и, действуя аналогично, получим
1
()
P
Pid
i
(1 ) ... (1 ) (1 ) ... (1 )
1111
111
iiiiidi
i
,1,...,.
Это второй способ получения коэффициентов .
Третий способ
(1 ) . .. (1 )
1
основывается на том, что из ( )Qx
x имеем
d
P
i
147
d
x
x
() (1 ),
Qx x
ij
i
1
ji
тогда
1
P
()
11
() (1 )
Q
11 1
1
j
и
j
P
1
11
1
Q
()
1
.
Аналогично
1
()
P
Pid
ii
i
Q
Следовательно,
() .
fn
Пример. Производящая функция чисел Стирлинга второго рода
есть (см. задачу из раздела 9.1)
тогда
(, ) [ ] [ ] ,
nk x x
nk
nnk
(1 )(1 2 )...(1 ) (1 )(1 2 )...(1 )
n
(, ) ,
nkx
k
x
xkx xxkx
таким образом,
(, ) ,
nk P i
где
Pik
i
(1 ) ... (1 ) (1 ) ... (1 )
1111
iiiiidi
111
( ) 1, 1, ..., ,
Здесь
Px k
1
k
,2,...,.
1
()
i
1
d
i
(1 )(1 2 )...(1 )
()
P
()
P
i
()
Q
1
i
k
i
1
i
1
i
1
n
i
1
k
x
xkx
nk
поэтому
1
,1,.
148
Pik
x
f
x
i
12 1 1
1 1 ... 1 1 ... 1
ii i i i
1
ii k
,1,
или
Pi
i
(1)!(1)( )!
iki
iki
ii
11
ki
1
kki
iik
(1) , 1, .
1
kki
(1)
k
1
k
!
i
(1!( )!
iki
Окончательно имеем
kk
nk i i i
(, ) (1) (1) .
kki nk nki
11
ii
kk
11
kk
!!
ii
10.2.4. Если все корни характеристического многочлена
равны 1
Пусть
n
0
n
() ,
fnx
эквивалентно тому, что
член, причем
deg ,Pd и обратно, последовательность вида «мно-
1
()
Px
(1 )
в соответствии с теоремой 10.1.1 это
d
() ()1 ()
nPn Pn – некоторый много-
11
n
гочлен от n степени d» является линейной рекуррентной последо-
вательностью с характеристическим многочленом
m
где .md
(1 ) ,
(1 )dx или
1
При этом
d
d
j
j
0
() (1 ) (1) ,
Qx x x
djj
тогда в соответствии с теоремой 10.1.1 это эквивалентно тому, что
d
()(1)0.
fn d j
j
0
d
j
j
149
f
x
x
x
10.3. Периодические последовательности
и линейные рекуррентные последовательности
Лемма 10.3.1
Рассмотрим последовательность
( ), 0, 1, 2, ...ffnn над
некоторым полем K. Будем говорить, что последовательность f
имеет период N, если ( ) ( ),
Тогда ФСР для последовательности имеет вид
nfnN
0, 1, 2, ... .n
Px
1
()
N
,
где
()Px – многочлен степени меньше N.
Доказательство
1
() () ( )
Fx fnx fn mNx
mN n mN mN
xfnx xPxPxx
00 0 0
mn m m
000
nmn
1
N
() () () ,
nnmN
1
N
где
() () .
Px f nx
n
0
n
N
()
Px
N
1
Теорема 10.3.1
Многочлен
( ) 1 ...
Qx x x x над полем из q эле-
ментов делит многочлен
12
1
для некоторого N: 1.
2
N
d
d
dNq
d
Доказательство
Пусть K – конечное поле из q элементов. Среди ЛРП с характеристическим многочленом ( )Qx
степени d выберем последова-
тельность, начальный отрезок которой (первые d членов) соответствует многочлену ( ) 1Px
в числителе рационального ФСР для
данной последовательности, т.е. такое начальное состояние, что
() () .
Fx fnx
0
n
1
n
В силу конечности поля число возмож-
()
Qx
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]