Отметим одно любопытное наблюдение, имеющее место в рассмотренном только что примере: построенный набор функционально независимых дифференциальных инвариантов первого порядка {I1 (x, y, y′), I2 (x, y, y′)} содержит дифференциальный инвариант более низкого порядка, а именно –

дифференцирование по ней. Это позволяет нам ограничиться сначала поиском инварианта нулевого порядка I1 (x, y) , который в силу своей независимости от y′ автоматически будет являться и дифференциальным инвариантом первого порядка, а затем заняться поиском ещё одного дифференциального инварианта I2 (x, y, y′), уже зависящего от y′. Очевидно, что подобное будет иметь место и в случае продолженияk-го порядка: сначала мы можем искать дифференциальные инварианты порядка k – 1, а затем достроить недостающие дифференциальные инварианты k-го порядка. На практике это иногда помогает сократить вычисления.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 2.5. Для однопараметрической группы преобразований плоскости G

x =ϕ(x, y,a) = xea , y =ψ(x, y,a) = yeka , k > 0 −const

найти инфинитезимальные операторы для первого и второго продолжений

G и G . Найти общий вид дифференциального инвариантапервого порядка.

1 2

77

РЕШЕНИЕ. Находим вначале инфинитезимальный оператор однопараметрической группы G:

Для нахождения дифференциальных инвариантов первого порядка рассмотрим линейное однородное уравнение

78

Соответствующая характеристическая система в симметрической форме записывается как

dx dy dy′

x= ky = (k −1)y′.

Вчастности, используя равенство dx / x = dy / (ky), легко находим первый инвариант:

или

I2 (x, y, y′) = eC2 = xyk−′1 .

Инварианты I1 (x, y, y′) = y / xk и I2 (x, y, y′) = y′/ xk−1 определены и являются функционально независимыми всюду, кроме точек прямых x = 0

79

и y = 0. Таким образом, произвольный дифференциальный инвариант первого порядка группы преобразований G имеет вид

Φ xyk , xyk−′1 ,

где Φ – произвольная дифференцируемая функция двух переменных. ОТВЕТ. Инфинитезимальные операторы для первого и второго про-

Φ – произвольная дифференцируемая функция двух переменных.

ЗАДАЧИ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Для однопараметрической группы преобразований плоскости G, заданной функциями ϕ(x, y,a) и ψ (x, y,a) , найти инфинитезимальные опе-

в) ϕ(x, y,a) = x cosh a + y sinh a , ψ (x, y,a) = xsinh a + y cosh a ;

г) ϕ(x, y,a) = x + ay , ψ (x, y,a) = y .

80