ЗАДАЧИ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Для данного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, зависящего от произвольной функции F и допускающего группу с инфинитезимальным оператором X, найти замену переменных u = u(x, y) и q = q(x, y), в которых уравнение не будет явно зависеть от переменнойq. Проинтегрировать полученное уравнение одной квадратурой:

2. Для уравнений из предыдущей задачи построить интегрирующие множители.

Контрольные вопросы

1. Пусть обыкновенное дифференциальное уравнение первого поряд-

сгруппой, допускаемой уравнением.

3.Как можно построить интегрирующий множитель уравнения, если известна допускаемая им группа?

108

§ 3.3. ГРУППОВЫЕ МЕТОДЫИНТЕГРИРОВАНИЯУРАВНЕНИЙ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим теперь методы интегрирования уравнения второго порядка

допускающего однопараметрическую группу преобразований G.

Пусть нам известен соответствующий инфинитезимальный оператор группы G:

X=ξ(x, y) ∂∂x +η(x, y) ∂∂y .

Спомощью стандартной техники, изложенной в параграфе 2.3, построим его второе продолжение:

X =ξ(x, y) ∂∂x +η(x, y) ∂∂y +θ1 (x, y, y′) ∂∂y′ +θ2 (x, y, y′, y′′) ∂∂y′′ .

2

Как мы знаем, соответствующая однопараметрическая группа преоб-

разований G , действующая в пространстве с координатами x, y, y′ и y′′,

2

имеет три функционально независимых инварианта: I0 (x, y), I1 (x, y, y′) и I2 (x, y, y′, y′′) . Согласно теореме 2.5 дифференциальное уравнение (3.15) тогда можно переписать в виде некоторого функционального соотношения между данными инвариантами:

Φ(I0 (x, y), I1 (x, y, y′), I2 (x, y, y′, y′′))= 0 .

Отметим, что на практике прямое построение инвариантов с помо-

щью решения уравнения X F = 0 может вызывать существенные затруд-

2

109

нения. В ряде случаев помочь может теорема 3.1, с помощью которой третий инвариант определяется через первые два:

I2 (x, y, y′, y′′) = DI1 .

DI0

С учётом этого факта исходное дифференциальное уравнение (3.15) можно записать в виде

ΦI0 , I1, DI1 = 0 , (3.16)

DI0

аэто уже дифференциальное уравнение первого порядка, в котором I1 рас-

сматривается как новая зависимая переменная, а I0 – новая независимая. Дифференциальное уравнение (3.16) имеет первый интеграл вида

H (I0 , I1,C) = 0,

где C – произвольная постоянная. Так как инвариантыI0 и I1 зависят только от x, y и y′, указанный первый интеграл представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка. Вывод: наличие у обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка однопараметрической группы преобразований позволяет (по крайней мере, в теории) понизить его порядок, т. е. свести задачу его решения к интегрированию одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

ПРИМЕР 3.7. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

110

Легко проверить, что оно допускает группу преобразований G вида

x=ϕ(x, y,a) = x, y =ψ (x, y,a) = y + ax

синфинитезимальным оператором X = x ∂∂y . Используя второе продолже-

ние оператора X

находим два первых инварианта группы G :

2

I0 = x, I1 = y′− xy .

Отсюда видно, что исходное уравнение(3.17) мы можем переписать как

x2 I1′ = 0 или I1′ = 0,

где штрихом обозначена производная по переменной x. Последнее уравнение является уравнением первого порядка; его первый интеграл равен I1 =C1 , где C1 – произвольная постоянная. Так как I1 = y′− y / x, мы получили уравнение

y′− xy = C1,

являющееся обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Решая его с помощью стандартных техник (см., например, [1, 3]), получаем общее решение исходного уравнения (3.17):

y =(C1 ln | x | +C2 )x .

111

Есть еще один возможный метод применения однопараметрических групп преобразований. Он использует возможность приведения группы G к группе сдвигов с помощью подбора соответствующей замены переменных (см. теорему 2.3). Покажем на примере, как подобная замена приводит к понижению порядка исходного уравнения.

ПРИМЕР 3.8. Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

В силу однородности это уравнение допускает группу растяжений G вида

в силу чего мы имеем

y′′+a(x)y′+b(x)y = ea [y′′+a(x)y′+b(x)y],

т. е. преобразования из группы G переводят уравнение (3.18) в эквивалентное ему.

112

Нетрудно видеть, что инфинитезимальный оператор группы G имеет

вид

X = y ∂∂y .

Найдём новые переменные u = u(x, y) и q = q(x, y), в которых этот оператор записывается в простейшей форме: X = ∂∂q . Как мы знаем,

функции u(x, y) и q(x, y) являются решениями системы уравнений Xu = 0 и Xq =1, которая в явной форме записывается как

Нужные частные решения находятся элементарно:

u = x, q = ln y .

Соответствующая обратная замена имеет вид:

x = u, y = eq .

Производные y′ и y′′ в новых координатах u и q выглядят следующим образом:

113

Обозначая w = q′, мы в итоге приходим к уравнению Риккати:

Рассмотренный нами пример показывает важность уравнения Риккати при исследовании линейных уравнений второго порядка; фактически мы показали, что всякое линейное однородное уравнение второго порядка (3.18) сводится к нелинейному уравнению первого порядка (уравнению Риккати). Данный факт хорошо известен в теории обыкновенных дифференциальных уравнений [6]; здесь мы установили эту связь с теоретико-групповых позиций.

Резюмируя, мы можем сказать, что наличие у уравнения второго порядка допускаемой группы позволяет, во всяком случае, облегчить его решение путём понижения степени уравнения. Конечно, это не всегда приводит к окончательной интегрируемости. Рассмотренный только что пример как раз и иллюстрирует такую ситуацию, так как уравнение Риккати (3.19), вообще говоря, не интегрируется в квадратурах1.

1 Здесь есть тонкий момент, сводящийся к выбору подходящего определения термина «интегрируемость». Обсуждение этой проблемы, однако, не входит в задачи данного учебного пособия.

114