ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 2.1. Показать, что следующее семейство преобразований Ta порождает однопараметрическую группу:

РЕШЕНИЕ. Преобразование (2.12) определено и обратимо при a ≠1/ x . Имеем:

ϕ(x, y,0) = x, ψ (x, y,0) = y ,

т. е. значению a = 0 отвечает тождественное преобразование: T0 = I . Далее

т. е. Ta Tb =Ta+b . Итак, семейство преобразований Ta образует однопараметрическую группу.

ЗАДАЧА 2.2. Построить однопараметрическую группу преобразований, касательное векторное поле которой имеет вид

v = (x,1) .

46

РЕШЕНИЕ. Для построения однопараметрической группы преобразований нам необходимо решить задачу Коши (2.9). Для данного примера эта задача имеет вид

Соответствующая система уравнений легко решается. Интегрируя первое уравнение, получаем:

или

ϕ = С1ea ,

ϕ(x, y,a) = ea x, ψ(x, y,a) = y +b .

ОТВЕТ. Искомая однопараметрическая группа преобразований имеет вид ϕ(x, y,a) = ea x, ψ(x, y,a) = y +b .

47

ЗАДАЧИ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Показать, что семейство преобразований Ta, заданное функциями

ϕ(x, y,a) и ψ (x, y,a) , образует однопараметрическую группу:

а) ϕ(x, y,a) = 1−xax , ψ (x, y,a) = 1−yay ;

б) ϕ(x, y,a) = ea x , ψ(x, y,a) = eka y , k – const;

в) ϕ(x, y,a) = x cosh a + y sinh a , ψ (x, y,a) = xsinh a + y cosh a ;

г) ϕ(x, y,a) = x +la , ψ (x, y,a) = y −ka , k, l – const.

2. Построить однопараметрическую группу преобразований G ={Ta } c касательным векторным полем v = (ξ(x, y),η(x, y)):

а) ξ(x, y) = x2 , η(x, y) =1;

б) ξ(x, y) = x, η(x, y) = 2y ; в) ξ(x, y) = y, η(x, y) = x ;

г) ξ(x, y) = x2 , η(x, y) = xy .

Контрольные вопросы

1.Дайте определение однопараметрической группы точечных преобразований плоскости.

2.Что называют касательным векторным полем однопараметрической группы преобразований?

3.Сформулируйте теорему Ли о восстановлении однопараметрической группы преобразований по её касательному векторному полю.

4.Дайте определение абстрактной однопараметрической группы преобразований.

48

§ 2.2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОРИ ИНВАРИАНТЫ ГРУППЫ

который действует на функции от переменных x и y. Его называют инфи-

нитезимальным оператором или генератором группы G. Этот оператор играет ключевую роль в теории групп Ли; его часто используют для характеристики группы вместо касательного векторного поля v. Отметим, что в силу теоремы 2.1 однопараметрическая группа преобразований G однозначно восстанавливается по своему инфинитезимальному оператору путём решения соответствующих уравнений (2.9).

Пусть функция F(x, y) удовлетворяет условию

Сгеометрической точки зрения данное условие означает, что векторы

v= (ξ(x, y),η(x, y)) и grad F ортогональны друг другу в каждой точке

кривой, задаваемой соотношением F(x, y) = C для любой постоянной C. Но это значит, что вектор v = (ξ(x, y),η(x, y)) является касательным к кривой F(x, y) = C в точке (x, y) 2 .

К условию (2.14) мы вернёмся чуть позже, а пока введём ещё одно важное понятие, связанное с однопараметрическими группами преобразований плоскости.

49

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Функция F(x, y) называется инвариантом однопараметрической группы преобразований (2.1), если для любой точки (x, y) 2 и любого значения параметра a выполняется соотношение

F(ϕ(x, y,a),ψ (x, y,a)) = F(x, y) .

Другими словами, инварианты однопараметрической группы G – это функции, постоянные вдоль траекторий x(a) =ϕ(x, y,a), y(a) =ψ (x, y,a), определяемых групповыми преобразованиями.

ТЕОРЕМА 2.2. Функция F(x, y) тогда и только тогда является инвариантом однопараметрической группы преобразований (2.1), когда она удовлетворяет соотношению (2.14).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть F(x, y) – инвариант группы преобразований (2.1). Это означает, что F(x, y) = F(x, y) , где точки (x, y) и (x, y) связаны преобразованием (2.1). Разложим функцию F(x, y) в ряд Тейлора по переменной a в окрестности значения a = 0 . В силу формул (2.2) и (2.8) будем иметь

Но так как F(x, y) = F(x, y) , коэффициент при a в полученном разложении должен быть равен нулю, откуда следует равенство (2.14).

Достаточность. Допустим, что функция F(x, y) удовлетворяет условию (2.14) в любой точке (x, y) 2 .

50

Тогда

η(x, y) =η(ϕ(x, y,a),ψ(x, y,a)) = dψ(x, y,a) . da

Отсюда с учётом равенства (2.15) получаем

Таким образом, мы получили, что производная по a от функции F(x, y) равна нулю, т. е. функция F(x, y) не зависит от a. Замечая теперь, что должно быть F(x, y) |a=0 = F(x, y), окончательно получаем

риантности, является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка с двумя независимыми переменными. Как из-

51

вестно из параграфа 1.1, общее решение этого уравнения имеет вид Φ(I (x, y)) , где Φ – произвольная дифференцируемая функция одной переменной; I (x, y) – первый интеграл уравнения (2.14), градиент grad I которого не равен нулю ни в одной точке рассматриваемой области D 2 . Следовательно, всякая однопараметрическая группа преобразований плоскости допускает один независимый инвариантI (x, y) , который получается интегрированием уравнений характеристик

Φ(I (x, y)) , где Φ – произвольная дифференцируемая функция. Приведём некоторые примеры однопараметрических групп плоскости

и их инвариантов.

ПРИМЕР 2.4. Рассмотрим преобразование, осуществляющее параллельный перенос точек плоскости вдоль заданной прямой kx +ly = 0 , где k, l – некоторые постоянные. Данное преобразование может быть записано в виде

x =ϕ(x, y,a) = x +la, y =ψ (x, y,a) = y −ka .

Очевидно, что совокупность всех таких преобразований образует однопараметрическую группу. Инфинитезимальный оператор этой группы имеет вид

X = l ∂∂x −k ∂∂y .

52

Для нахождения инварианта данной группы в соответствии с теоремой 2.2 нам нужно найти первый интеграл линейного однородного уравнения

XF = l ∂∂Fx −k ∂∂Fy = 0.

Соответствующее уравнение характеристик, записанное в симметричной форме

dxl = −dyk ,

немедленно даёт нам искомый первый интеграл, являющийся инвариантом рассматриваемой однопараметрической группы преобразований:

I (x, y) = kx +ly .

ПРИМЕР 2.5. Рассмотрим однопараметрическую группу вращений плоскости (см. пример 2.1):

x = x cos a + y sin a, y = −xsin a + y cos a.

Её инфинитезимальный оператор имеет вид

X = y ∂∂x − x ∂∂y .

Для нахождения соответствующего инварианта запишем уравнение

XF = 0:

XF = y ∂∂Fx − x ∂∂Fy = 0 .

53

Решая соответствующую характеристическую систему

находим первый интеграл, представляющий собой инвариант однопараметрической группы вращений:

I (x, y) = x2 + y2 .

Число подобных примеров можно, конечно, продолжить, рассматривая различные однопараметрические группы точечных преобразований плоскости и вычисляя их инварианты. Интерес, однако, представляет проблема нахождения некоторой канонической формы записи инфинитезимального оператора и инварианта однопараметрической группы, к которой можно сводить генераторы и инварианты остальных групп.

ТЕОРЕМА 2.3. Всякая однопараметрическая группа G точечных преобразований (2.1) с помощью невырожденной замены переменных u = u(x, y) , q = q(x, y) может быть приведена к группе параллельных переносов вдоль оси q:

u =ϕ(u,q,a) = u, q =ψ (u,q,a) = q + a .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть инфинитезимальный оператор однопараметрической группы G в координатах (x, y) имеет вид

X =ξ(x, y) ∂∂x +η(x, y) ∂∂y .

54

Для всякой дифференцируемой функции Φ(u,q) = Φ(u(x, y),q(x, y)) получаем

(Это можно сделать с помощью методов, описанных выше в параграфах 1.1 и 1.2). Тогда выражение (2.16) примет вид

X Φ = ∂Φ∂q .

Это означает, что в координатах (u, q) оператор X имеет вид X = ∂∂q

55

ПРИМЕР 2.6. Рассмотрим снова группу вращений (см. примеры 2.1 и 2.5). Подберём новые координаты u = u(x, y) и q = q(x, y) так, чтобы преобразования этой группы в этих координатах сводились к переносам вдоль оси q. Как было показано при доказательстве теоремы 2.3, эти координаты должны удовлетворять системе линейных уравнений

Напомним, что инфинитезимальный оператор группы вращений име-

ет вид X = y ∂∂x − x ∂∂y .

Очевидно, что первое из уравнений (2.18) означает, что функция u = u(x, y) является инвариантом группы вращений плоскости. Один из инвариантов этой группы был найден в примере 2.5: I (x, y) = x2 + y2 . Однако нам будет удобнее в качестве координаты u взять не сам этот инвариант, а квадратный корень из него:

u(x, y) = x2 + y2 .

Второе из уравнений (2.18) является неоднородным. Согласно схеме решения таких уравнений, изложенной в параграфе 1.2, мы должны ра с- смотреть соответствующее приведённое уравнение

y ∂∂wx − x ∂∂wy +1 ∂∂wq = 0,

в котором неизвестной функцией является w = w(x, y,q) . С помощью уравнения характеристик

56

dxy = −dyx = dq1

находим два первых интеграла этого уравнения: I1 (x, y,q) = x2 + y2

где Φ – произвольная дифференцируемая функция. Если мы в качестве этой функции выберем функцию Φ(v, z) = z , мы получим частное решение

q = arctg xy .

Таким образом, в качестве новой системы координат мы можем выбрать координаты u и q, которые определяются равенствами

Нетрудно проверить, что якобиан такой замены будет равен

откуда можно сделать вывод, что областью определения новых координат будет вся плоскость 2 , за исключением начала координат O(0,0).

57

Прямой проверкой убеждаемся, что инфинитезимальный оператор

X = y ∂∂x − x ∂∂y после замены координат (2.19) примет вид

X = ∂∂q .

Доказанные выше результаты легко обобщаются на случай, когда рассматривается группа G точечных преобразований n-мерного пространства n .

Рассмотрим (n − s)-мерную поверхностьM в n-мерном пространстве n , задаваемую системой уравнений

где

rank ∂Fi = s .

∂xj

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Система уравнений (2.20) называется инвариантной относительно группы G точечных преобразований n-мерного пространства, если соответствующие групповые преобразования (2.10) переводят всякую точку x = (x1, , xn ) из M снова в некоторую точку x = (x1, , xn ) из M.

Доказательство следующей теоремы можно найти в монографии [4]. ТЕОРЕМА 2.4. Система уравнений (2.20) является инвариантной относительно однопараметрической группы G преобразований n-мерного

пространства тогда и только тогда, когда

58

Как известно из материала первой главы, решение линейного однородного уравнения XF = 0 может быть найдено путём интегрирования соответствующей характеристической системы уравнений

Функционально независимые n −1 первых интегралов этой системы

I1 (x1, , xn ), I2 (x1, , xn ), , In (x1, , xn )

являются независимыми инвариантами группы преобразований G.

Если группа G задана, например, с помощью своего инфинитезималь-

поверхности (2.20) определяются функциями Fi, зависящими от n −1 указанного инварианта. Таким способом мы можем перечислить все возможные системы уравнений (2.20), инвариантные относительно группы преобразований G. При решении этой задачи удобно пользоваться следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 2.5. Допустим, что система уравнений (2.20) является инвариантной относительно группы G и инфинитезимальный оператор X данной группы не равен нулю ни в какой точке поверхности M, определяемой этой системой. Тогда систему (2.20) можно равносильным способом переписать так, что левые части уравнений будут инвариантами группы G:

где I1 (x1, , xn ), , In−1 (x1, , xn ) – набор функционально независимых инвариантов группы G.

59