а) ϕ(x, y,a) = 1−xax , ψ (x, y,a) = 1−yay ;

б) ϕ(x, y,a) = ea x , ψ(x, y,a) = eka y , k – const;

в) ϕ(x, y,a) = x cosh a + y sinh a , ψ (x, y,a) = xsinh a + y cosh a ;

г) ϕ(x, y,a) = x + ay , ψ (x, y,a) = y .

2. Для однопараметрических групппреобразований из предыдущей задачи найти новые переменные u(x, y) и q(x, y) так, чтобы в координатах (q, u) групповыепреобразования сводились к сдвигам вдоль координатыq.

3. Найти все функционально независимые инварианты однопараметрической группы преобразований G трёхмерного пространства 3 , если инфинитезимальный оператор группы имеет вид

X = −y ∂∂x + x ∂∂y +(1+ z2 ) ∂∂z .

Контрольные вопросы

1.Дайте определение инварианта однопараметрической группы преобразований плоскости.

2.Сформулируйте инфинитезимальный критерий того, что дифференцируемая функция F(x, y) является инвариантом однопараметриче-

ской группы преобразований плоскости.

3.К какой наипростейшей форме может быть приведён инфинитезимальный оператор однопараметрической группы преобразований плоскости с помощью замены переменных?

4.Сформулируйте инфинитезимальный критерий инвариантности системы алгебраических уравнений вида относительно однопараметрической группы G преобразований n-мерного пространства.

5.Опишите алгоритм нахождения всех функционально независимых инвариантов однопараметрической группы G преобразований n-мерного пространства.

65

§ 2.3. ПОНЯТИЕ О ПРОДОЛЖЕНИИ ГРУППЫТОЧЕЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Рассмотрим теперь одно из ключевых понятий теоретико-группового подхода к интегрированию дифференциальных уравнений – понятие о продолжении группы точечных преобразований. Собственно, всё применение группового анализа как раз и основано на этой важной операции, к изучению которой мы сейчас и переходим.

Пусть некоторая однопараметрическая группа G точечных преобразований действует в пространстве двух переменных x и y:

Идея продолжения группы G состоит в том, чтобы дополнить её

до действия некоторой новой группы преобразований G , действующей

1

уже в пространстве трёх переменных x, y и y′:

При этом требуется, чтобы формулы (2.27) и преобразования производной y′ = dy / dx при замене переменных (2.26) были бы согласованы с равенством

для всякой функции y = y(x) . Оказывается, что этим требованием функция χ(x, y, y′,a) в формуле (2.27) определяется однозначно и действительно определяет некоторую новую однопараметрическую группу преобразований трёхмерного пространства.

66

Поясним эту идею на конкретном примере.

ПРИМЕР 2.7. Снова рассмотрим группу вращений плоскости (см. при-

меры 2.1 и 2.5):

x = x cos a + y sin a, y = −xsin a + y cos a.

Продолжим эту группу до однопараметрической группы преобразований трёхмерного пространства с координатами (x, y, y′) так, чтобы преобразование координаты y′ было согласовано с равенством (2.28):

Здесь мы предполагаем, что y является произвольной функцией от x,

поэтому dy = dydx dx = y′dx . Отсюда следует

y′ = −sin a + y′cos a . cos a + y′sin a

Найденное преобразование переменной y′ как раз и определяет недостающую функцию χ(x, y, y′,a) в формуле (2.27); таким образом, однопа-

раметрическая группа преобразований G , являющаяся продолжением

1

группы вращений, задаётся равенствами:

x = x cos a + y sin a, y = −xsin a + y cos a, y′ = −sin a + y′cos a . cos a + y′sin a

Нетрудно проверить, что эти равенства действительно задают некоторую группу преобразований в соответствии с определением 2.1.

67

Рассмотренный пример подсказывает, как получить выражение для функции χ(x, y, y′,a) в общем случае. Для этого в равенство (2.28) вместо переменных x и y необходимо подставить функции ϕ(x, y,a) и ψ (x, y,a) соответственно, после чего вместо независимой переменной y нужно рассматривать некоторую функциюy(x):

Аналогичным образом могут быть построены и продолжения более

высокого порядка. Например, второе продолжение G группы точечных

2

преобразований плоскости G

строится исходя из условий согласования преобразований из G с равен-

2

ствами

68

Первое равенство в (2.30) даст, очевидно, формулу (2.29). Чтобы получить выражение для функции ω(x, y, y′, y′′,a), рассмотрим второе из ра-

венств (2.30):

откуда для функции ω(x, y, y′, y′′,a) получаем

Формулы (2.29) и (2.31) более удобно записывать с помощью операции вычисления «полной производной»:

69

где f – произвольная функция от переменных x, y, y′, y′′, … . Действительно, нетрудно видеть, что с использованием этой операции формулы (2.29) и (2.31) переписываются в виде

χ(x, y, y′,a) = DDψϕ , ω(x, y, y′, y′′,a) = DDϕχ .

Очевидно обобщение этих формул на случай построения продолжений более высоких порядков (мы не будем приводить здесь соответствующих формул, так как в настоящем пособии будут использованы, в основном, продолжения первого и второго порядков).

На практике достаточно редко в явном виде выписывают функции ϕ ,

ψ , χ и ω , определяющие действие продолженной группы G . Гораздо

2

более удобной является работа с соответствующим инфинитезимальным преобразованием. Как мы уже знаем, это преобразование полностью определяется инфинитезимальным оператором группы. Если X – инфинитезимальный оператор однопараметрической группы преобразований G, определяемой соотношениями (2.26), то инфинитезимальные операторы

соответственно. Получим формулы для вычисления этих операторов. Как нам уже известно, инфинитезимальный оператор X, ассоцииро-

ванный с однопараметрической группой преобразований (2.26), – это дифференциальный оператор первого порядка

70

Учитывая формулу χ = Dψ / Dϕ , отсюда получаем

71

Напомним, что действие оператора полной производнойD определяется выражением (2.32). Формула (2.33) позволяет вычислить компоненту θ1 ин-

ПРИМЕР 2.9. Инфинитезимальный оператор группы вращений плоскости нам уже известен (см. пример 2.5):

72

Отсюда в соответствии с формулой (2.33) получаем

зависит от переменных x, y и y′:

Dθ1 = ∂∂θx1 + y′∂∂θy1 + y′′∂∂θy1′ = −2y′y′′.

Отсюда в соответствии с формулой (2.34) находим

θ2 (x, y, y′, y′′) = Dθ1 − y′′Dξ = −2y′y′′− y′′y′ = −3y′y′′

или окончательно

ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Хотя нам это особо и не понадобится, приведём здесь также формулу для вычисления инфинитезимального оператора k-го

продолжения G однопараметрической группы преобразований G. Эта

k

формула имеет следующий рекуррентный вид [4]:

73

где

θk (x, y, y(1) , , y(k ) ) = Dθk−1 − y(k ) Dξ .

На начальном шаге рекурсии полагают X = X . Данная формула легко

0

доказывается по индукции. Она позволяет сводить задачу построения k-го продолжения к задаче вычисления предыдущего (k −1) -го продолжения.

Итак, для каждой заданной однопараметрической группы G точечных преобразований плоскости мы имеем возможность однозначно продолжить

эту группу до группы преобразований G , действующей в пространстве пе-

k

ременных (x, y, y(1) , , y(k ) ). При этом, как и в случае обычной точечной

группы преобразований, мы можем вычислять инварианты группы G , яв-

k

ляющиеся, однако, уже функциями от x, y, y(1) , , y(k ) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Инварианты продолженной группы преобразо-

ваний G называются дифференциальными инвариантами k-го порядка

k

группы преобразований G.

ПРИМЕР 2.10. Для группы вращений плоскости дифференциальный

Найдем оба его функционально независимых первых интеграла. Выписываем соответствующее уравнение характеристик:

74

Рассмотрим первое уравнение:

Интегрируя, получаем

x2 + y2 = C1 ,

где C1 – произвольная постоянная. Отсюда видно, что в качестве одного из первых интегралов мы можем взять функцию

I1 (x, y, y′) = x2 + y2 .

Далее рассмотрим второе дифференциальное уравнение

Учитывая формулу (2.35), мы можем записать y = I1 − x2 , где функция I1 может считаться постоянной, так как она является первым интегралом. В результате мы имеем дифференциальное уравнение с разделёнными переменными

75

Интегрируя это уравнение, будем иметь

или

где C2 – вторая произвольная постоянная. Отсюда заключаем, что в качестве второго первого интеграла мы можем взять функцию

Непосредственно можно убедиться, что найденные нами интегралы являются функционально независимыми во всех точках трёхмерного пространства с координатами (x, y, y′) , за исключением точек прямой x = y = 0 .

Итак, всякий дифференциальный инвариант группы вращений плоскости будет иметь вид

где Φ – произвольная дифференцируемая функция двух переменных.

76