Умножая уравнение (3.9) на этот интегрирующий множитель, получаем уравнение в полных дифференциалах:

Решая это уравнение стандартным методом (см., например, [1, 3]), получаем его общий интеграл:

x3 xyxy−+12 = C .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 3.2. Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

где F – произвольная функция, допускает однопараметрическую группу преобразований с инфинитезимальным оператором

103

X = x2 ∂∂x + xy ∂∂y .

Отыскать замену переменных u = u(x, y) и q = q(x, y), после которой уравнение не будет явно зависеть от переменной q. Проинтегрировать уравнение в найденных переменных (u, q), сведя его к одной квадратуре.

РЕШЕНИЕ. Отыщем новые переменные u = u(x, y) и q = q(x, y), в которых инфинитезимальный оператор X примет наиболее простой вид

X = ∂∂q . Как мы знаем, для этого необходимо найти решения уравнений

Первое уравнение решается просто: из его характеристической системы

dxx2 = dyxy

мы легко находим первый интеграл u = y / x . Второе уравнение является неоднородным; для его решения нам нужно составить характеристическую систему присоединённого однородного уравнения (см.параграф 1.2):

dxx2 = dyxy = dq1 .

Функционально независимыми (в области x ≠ 0 ) первыми интегралами этой системы являются функции I1 = y / x и I2 = q +1/ x, откуда для общего решения уравнения Xq =1 мы получаем неявное выражение

104

Здесь Φ – произвольная дифференцируемая функция своих аргументов. Так как нам нужно лишь частное решение, мы можем конкретизировать функцию Φ, выбрав её, например, в виде Φ(v, z) = z . Отсюда для функции q = q(x, y) мы получаем выражение q = −1/ x .

Таким образом, в качестве новых переменных мы можем выбрать переменные

Обратная замена, очевидно, имеет вид

Перепишем исходное дифференциальное уравнение (3.12) в новых переменных u и q. Учитывая, что

105

или (после сокращений)

Следовательно, мы показали, что переписанное в новых переменных u и q дифференциальное уравнение (3.12) действительно явно не зависит от переменной q.

Очевидно, что уравнение (3.13) интегрируемо в квадратурах; его первый интеграл имеет вид

∫Fdu(u) = q +C .

ОТВЕТ. Искомая замена переменных имеет вид: u = y / x , q = −1/ x ; в этих переменных первый интеграл уравнения находится одной квадра-

турой: ∫F −1 (u)du = q +C .

ЗАДАЧА 3.3. Для дифференциального уравнения из задачи 3.2 вычислить интегрирующий множитель.

РЕШЕНИЕ. Перепишем уравнение (3.12) в форме дифференциалов:

Таким образом, Q(x, y) = y + F( y / x), P(x, y) = x (ср. с уравнением (3.5)). Так как инфинитезимальный оператор группы, допускаемой этим уравнени-

ем, имеет вид X = x2 ∂∂x + xy ∂∂y , для его компонент имеем: ξ(x, y) = x2 ,

106

η(x, y) = xy . Отсюда согласно формуле (3.8) получаем интегрирующий множитель:

Проверим, что найденная функция µ(x, y) действительно является

(3.14) становится уравнением в полных дифференциалах, что и означает, что µ(x, y) является интегрирующим множителем для исходного урав-нения.

ОТВЕТ. Интегрирующий множитель равен µ(x, y) = x−2 F −1 (y / x) .

107