ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 1.4. Найти общее решение квазилинейного уравнения

РЕШЕНИЕ. В соответствии с нашим требованием коэффициент перед производной z по x должен быть не равен нулю. Поэтому будем рассматривать решения данного уравнения на всей плоскости Oxy, за исключением прямых x = 0 и y = 0. Тривиальное решение z = 0 далее не рассматриваем.

Присоединённое уравнение в данном примере имеет вид

xy ∂∂wx +(x −2z) ∂∂wy − yz ∂∂wz = 0 .

Запишем его характеристическую систему в симметричной форме:

в (1.28):

dxxy = dzyz .

Сокращая на y (напомним, что мы не рассматриваем точки прямой y = 0), получаем уравнение с разделёнными переменными, интегрируя которое будем иметь

28

Перепишем это равенство, сократив его на x и умножив на выражение y(1−2I1 ):

(1−2I1 )dx = ydy .

Вычисляя интегралы от левой и правой частей, приходим к равенству

(1−2I1 )x +C2 = y2 , 2

которое мы можем переписать как

2C2 = y2 −2x + 4I1x .

29

Вспоминая теперь, что I1 = z / x , получаем

2C2 = y2 −2x + 4z ,

т. е. в качестве ещё одного первого интеграла присоединённого уравнения мы можем взять функцию I2 (x, y, z) = y2 −2x + 4z .

Убедимся, что найденные первые интегралы I1 (x, y, z) и I2 (x, y, z) яв-

Легко видеть, что ранг этой матрицы равен двум во всех точках области Ω. Действительно, рассмотрим, например, минор второго порядка этой матрицы, составленный из элементов первых двух столбцов:

Так как y ≠ 0 и z ≠ 0 в области Ω, этот минор не равен нулю в этой области.

Таким образом, теперь мы можем выписать общее решение квазилинейного уравнения (1.27). В неявном виде это решение имеет вид

Φz , y2 −2x +4z = 0,x

30

где Φ – произвольная функция своих аргументов, имеющая непрерывные частные производные.

ОТВЕТ. Общее решение имеет вид Φ(z / x, y2 −2x + 4z)= 0 , где

Φ – произвольная функция двух переменных с непрерывными частными производными.

ЗАДАЧИ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти общее решение квазилинейного уравнения:

а) x ∂∂xz +(x + y) ∂∂yz = z ;

Контрольные вопросы

1.Какова общая форма квазилинейного уравнения первого порядка?

2.Сформулируйте теорему о связи решений квазилинейного уравнения

срешениями соответствующего линейного присоединенного уравнения.

3.Опишите алгоритм построения общего решения квазилинейного уравнения первого порядка.

31

§ 1.3. СИСТЕМЫДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В различных приложениях теории дифференциальных уравнений представляют интерес системы вида

где f (x, y, z) и g(x, y, z) – непрерывно дифференцируемые функции в некоторой открытой области Ω 3 . В этой системе две независимых переменных x и y и одна зависящая от них неизвестная функция z = z(x, y) .

Важной особенностью систем вида (1.29) является тот факт, что они в общем случае не имеют решений. Это, конечно, существенно отличает их от одиночных дифференциальных уравнений, рассмотренных в предыдущих параграфах.

Проанализируем эту ситуацию более подробно. Допустим, что система (1.29) разрешима, и пусть z =ϕ(x, y) – её некоторое решение, имеющее непрерывные производные в области определения переменных x и y. Тогда имеют место тождества

Дифференцируя первое из этих равенств по y, а второе – по x, в соответствии с правилом дифференцирования сложной функции получаем

32

где мы также заменили производные ∂ϕ / ∂x и ∂ϕ / ∂y на функции f (x, y,ϕ(x, y)) и g(x, y,ϕ(x, y)) соответственно. Так как эти смешанные производные совпадают, следующее равенство должно выполняться тождественно по переменным x и y, если в нём положить z =ϕ(x, y) :

Таким образом, необходимым условием того, чтобы функция z =ϕ(x, y) была решением системы (1.29), является равенство (1.30), которое должно выполняться для любыхx, y и z =ϕ(x, y) .

Рассмотрим равенство (1.30) как алгебраическое уравнение относительно переменной z. Пусть z =ϕ(x, y) – его какое-либо решение. Подставляя его в (1.29), мы можем убедиться, является оно решением исходной системы дифференциальных уравнений или нет. На первый взгляд, кажется, что мы получили удобный способ нахождения решений системы (1.29) путём её сведения к некоторому алгебраическому уравнению. В действительности же общее решение уравнения (1.30) может содержать слишком много «произвола» либо вообще не дать никакой добавочной информации об исходном уравнении. Более эффективный способ интегрирования уравнения (1.29) мы изложим ниже.

Итак, равенство (1.30) представляет собой необходимое условие для существования конкретного частного решения z =ϕ(x, y) для уравнения (1.29). Но что делать, если нас интересуетобщее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям? Ясно, что если в области Ω 3

33

система (1.29) имеет бесконечное множество решений таким образом, что через всякую точку (x0 , y0 , z0 ) проходит соответствующая интегральная поверхность, то равенство (1.30) должно выполняться в каждой точке (x0 , y0 , z0 ), а поэтому и во всей области Ω. Фактически мы доказали следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть для каждой точки (x0 , y0 , z0 )Ω 3 существует решение z =ϕ(x, y) системы дифференциальных уравнений (1.29), удовлетворяющее условию z0 =ϕ(x0 , y0 ), имеющее непрерывные первые частные производные и непрерывную смешанную производную ϕxy . Тогда равенство (1.30) должно выполняться тождественно по всем переменным, т. е. x, y и z.

Рассмотрим теперь вопрос о практическом построении решения системы уравнений (1.29). Предположим, что выполнены условия теоремы 1.3. Будем искать решение z =ϕ(x, y) , удовлетворяющее условию z0 =ϕ(x0 , y0 ).

Рассмотрим первое уравнение системы (1.29), полагая в нём переменную y параметром. Другими словами, мы рассматриваем первое уравнение из (1.29) как обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром.

34

мы приходим к уравнению

∂∂ϕy + ∂∂ζϕ ζ ′(y) = g(x, y,ϕ(x, y; x0 ,ζ (y))).

Выражая отсюда производную ζ ′( y) , получаем равенство

которое необходимо рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение на неизвестную функцию ζ (y) . Так как левая часть этого уравнения является функцией только от y, его правая часть также должна зависеть только от переменной y. Последнее утверждение, однако, не очевидно, и его нужно доказывать (доказательство можно найти, например, в книге [3]). Отметим лишь, что независимость правой части равенства (1.32) отx эквивалентна условию (1.30).

В силу того что правая часть уравнения (1.32) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения, интегрируя (1.32) при начальном условии ζ (y0 ) = z0 , получаем решение

ζ =ψ(y; y0 , z0 ) ,

35