Тогда функция

будет являться дифференциальным инвариантом второго порядка. При этом любой дифференциальный инвариант не выше второго порядка будет являться некоторой функцией отI0, I1 и I2.

Например, в разобранном только что примере мы имели I0 = y и I1 = y / y′− x. С помощью данной теоремы мы сразу же получаем

Так как y – это дифференциальный инвариант (нулевого порядка), то отсюда следует, что функция y′′/(y′)3 также является дифференциальным инвариантом (второго порядка).

Дифференциальные инварианты более высокого порядка также могут быть получены дифференцированием дифференциальных инвариантов более низкого порядка. Соответствующую теорему и её обсуждение можно найти в монографии [4].

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 3.1. Показать, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

F(xe−y , xy′) = 0

91

инвариантно относительно однопараметрической группы G с инфинитезимальным оператором:

X = x ∂∂x + ∂∂y .

РЕШЕНИЕ. Найдём инфинитезимальный оператор первого продолжения группы G. Как было показано в параграфе 2.3, он имеет вид

то

92

Таким образом, функция F(xe−y , xy′) является дифференциальным инвариантом (первого порядка) группы G, что, в свою очередь, доказывает, что дифференциальное уравнение F(xe−y , xy′) будет инвариантным относительно данной группы.

ЗАДАЧИ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Показать, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

F(xy, x2 y′) = 0

инвариантно относительно однопараметрической группы G с инфинитезимальным оператором

X= x ∂∂x − y ∂∂y .

2.Показать, что обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

инвариантно относительно однопараметрической группы G с инфинитезимальным оператором

X = x2 ∂∂y .

93

3.Построить наиболее общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, инвариантного относительно группы G сдвигов вдоль прямой y = kx :

x=ϕ(x, y,a) = x + a, y =ψ (x, y,a) = y + ka .

4.Построить наиболее общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, инвариантного относительно группы G гиперболических вращений плоскости:

x=ϕ(x, y,a) = x cosh a + y sinh a , y =ψ (x, y,a) = xsinh a + y cosh a.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, допускающего однопараметрическую группу преобразований G.

2.Сформулируйте инфинитезимальный критерий того, что обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка F(x, y, y′, y′′) = 0

допускает однопараметрическую группу преобразований G.

3. Опишите алгоритм, в соответствии с которым можно найти наиболее общую форму обыкновенного дифференциального уравнения не выше второго порядка, допускающего заданную группу преобразований G.

94

§ 3.2. ГРУППОВЫЕ МЕТОДЫИНТЕГРИРОВАНИЯУРАВНЕНИЙ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Рассмотренная нами теория однопараметрических групп преобразований позволяет сформулировать некоторые общие методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Замена переменных

Из общего курса дифференциальных уравнений хорошо известно, насколько эффективной при интегрировании бывает замена переменной; удачно подобранная (обычно, конечно, угадываемая) замена зависимой и/или независимой переменной способна существенно упростить вид уравнения, сведя его, например, к уравнению в разделённых переменных. В качестве иллюстрации приведём здесь нелинейное уравнение Бернулли

y '+ p(x)y = q(x)yn , n ≠ 0,1,

которое с помощью замены зависимой переменной u = y1−n сводится к линейному. Следует, однако, констатировать тот факт, что в стандартных курсах математики для нахождения подобных замен переменных не даётся никакого универсального рецепта. Как следствие, для типичного студента, только начинающего знакомиться с методами и приёмами интегрирования дифференциальных уравнений, весь этот «зоопарк» уравнений и применяемых к ним замен переменных выглядит абсолютно бессистемно.

Одним из первых дивидендов, которые мы можем получить от группового подхода к анализу дифференциальных уравнений, является универсальный приём, дающий правило вычисления соответствующей замены переменной.

95

Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка

F(x, y, y′) = 0.

Допустим, что мы вычислили однопараметрическую группу преобразований G, допускаемую этим уравнением. Как мы уже знаем (см. параграф 2.2), инфинитезимальный оператор X группы G с помощью соответствующей замены переменных u = u(x, y) , q = q(x, y) может быть приведён к каноническому виду

X = ∂∂q .

Нетрудно видеть, что первое продолжение такого оператора будет

совпадать с ним же самим, т. е. X = X , что означает, что исходное диффе-

1

ренциальное уравнение, выраженное в новых переменных u и q, не будет зависеть от координаты q (рассматриваемой как независимая переменная):

F(u,u′) = 0.

Но последнее уравнение является интегрируемым в квадратурах. Действительно, выражая из него u′, получаем

dudq = f (u),

откуда

∫ fdu(u) = q +C ,

где C – постоянная интегрирования.

96

ПРИМЕР 3.5. Рассмотрим уравнение Риккати:

Легко проверяется, что это уравнение допускает группу растяжений вида

x =ϕ(x, y,a) = xea , y =ψ(x, y,a) = ye−a .

Чтобы в этом убедиться, предварительно отметим, что производная y′ = dy / dx преобразуется как

Очевидно, что уравнение (3.4) эквивалентно дифференциальному уравнению

x2 y′+ x2 y2 −2 = 0 .

Последнее уравнение, однако, остаётся инвариантным при преобразо-

Инфинитезимальный оператор рассматриваемой группы преобразований записывается как

X = x ∂∂x − y ∂∂y .

97

Подберём новые переменные u = u(x, y) , q = q(x, y) так, чтобы оператор X имел в них простейший вид X = ∂/ ∂q. Как мы уже знаем (см. параграф 2.2), для этого необходимо решить систему линейных уравнений X u = 0 и X q = 1. Решая эту систему, находим:

u = xy, q = ln | x |.

Выполним полученную замену переменных в уравнении Риккати (3.4). Выписывая обратную замену x = eq и y = ue−q , замечаем, что производная y′ в новых переменных будет иметь вид

где u′ = du / dq . Таким образом, в переменных u и q уравнение (3.4) переписывается как

или, после деления на e−2q ,

dudq −u +u2 = 2 .

Последнее уравнение явно не зависит от переменной q и поэтому легко интегрируется с помощью одной квадратуры:

где C – произвольная постоянная. Выражая отсюда переменную u, получаем:

98

u = 2e33q +e−C . e q −e−C

Возвращаясь теперь к исходным переменным x и y, окончательно получим:

где C1 = e−C .

ЗАМЕЧАНИЕ 3.2. Следует, однако, сделать одно важное замечание, касающееся данного метода поиска подходящей замены переменных. Достаточно трудоёмкой частью описанной процедуры является отыскание группы, допускаемой уравнением. Несмотря на то что существуют довольно эффективные общие алгоритмы решения этой задачи, на практике чаще всего поиск допускаемой группы осуществляется с привлечением некоторых облегчающих эвристических соображений о возможных симметриях исследуемого уравнения. Однако даже если группа, допускаемая уравнением, известна, ещё более сложной задачей может явиться отыскание новых переменных u = u(x, y) и q = q(x, y), являющихся решениями некоторой системы линейных уравнений в частных производных первого порядка. Дело в том, что решение этой системы в большинстве случаев сопоставимо по сложности с интегрированием исходного дифференциального уравнения. В таких ситуациях данный метод оказывается бесполезным. Рассчитывать на успех мы можем лишь тогда, когда группа, допускаемая уравнением, имеет сравнительно простой вид, когда уравнения Xu = 0 и Xq = 1 могут быть решены явно.

99

Построение интегрирующего множителя

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в виде

Это уравнение эквивалентно линейному однородному уравнению в частных производных первого порядка

так как всякий первый интеграл F(x, y) уравнения (3.5) является решением уравнения (3.6) и, наоборот, любое решение F(x, y) уравнения (3.6) доставляет некоторый первый интеграл уравнения (3.5).

Предположим, что нам известна однопараметрическая группа преобразований G, допускаемая уравнением (3.5):

x =ϕ(x, y,a), y =ψ (x, y,a) .

По своему определению группа G преобразует решения уравнения (3.5) снова в его некоторые решения, т. е. если F(x, y) есть его некоторый интеграл, то функция F(x, y) = F(x, y) снова будет являться некоторым его первым интегралом. Пусть X – инфинитезимальный оператор данной группы преобразований:

X =ξ(x, y) ∂∂x +η(x, y) ∂∂y .

100

Но тогда решением уравнения (3.6) должна являться и функция XF, так как имеет место разложение

F(x, y) = F(x, y) +(XF)a +o(a) ,

откуда следует, что XF – тоже первый интеграл уравнения (3.5). С другой стороны, уравнение (3.6) имеет только одно функционально независимое решение (интеграл), поэтому должна существовать функциональная зависимость

XF = Φ(F) .

Итак, функция F(x, y) одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям:

P(x, y) ∂∂Fx +Q(x, y) ∂∂Fy = 0, ξ(x, y) ∂∂Fx +η(x, y) ∂∂Fy = Φ(F(x, y)). (3.7)

Допустим, что ξQ ≠ηP . Тогда из системы уравнений (3.7) мы можем выразить производные ∂F / ∂x и ∂F / ∂y :

Отсюда в качестве следствия получаем

101

Ясно, что правая часть последнего равенства является полным дифференциалом функции Ψ(x, y) = ∫dF / Φ(F). Отсюда мы получаем

1[Qdx − Pdy]= dΨ,

ξQ −ηP

т. е. функция

являетсяинтегрирующим множителемдифференциального уравнения (3.5). Можно показать и обратное: если уравнение (3.5) имеет интегрирующий множитель, то оно допускает и однопараметрическую группу преобразований. Таким образом, мы можем сформулировать окончательный ре-

зультат в виде следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 3.2. Обыкновенное дифференциальное уравнение (3.5) допускает однопараметрическую группу преобразований с инфинитези-

мальным оператором X =ξ(x, y) ∂∂x +η(x, y) ∂∂y тогда и только тогда, когда

функция µ(x, y) =[ξ(x, y)Q(x, y) −η(x, y)P(x, y)]−1 является интегрирующим множителем уравнения (3.5).

ПРИМЕР 3.6. Давайте снова рассмотрим уравнение Риккати (3.4). Пе-

102