§ 1.2. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8. Квазилинейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение вида
∑ai (x1, , xn ,u) ∂u |
= b(x1, , xn ,u) . |
(1.21) |
|
n |
|
|
|
i=1 |
∂xi |
|
|
В данном определении предполагают, что в рассматриваемой общей области Ω n+1 независимых и зависимых переменных x1, , xn ,u функции ai (x1, , xn ,u) и b(x1, , xn , u) имеют непрерывные частные производные. Кроме того, не ограничивая общности, будем полагать, что
a1 (x1, , xn ,u) ≠ 0
для всех (x1, , xn ,u) Ω.
Несмотря на то что класс квазилинейных дифференциальных уравнений является гораздо более широким, чем класс линейных однородных уравнений, рассмотренных в предыдущем параграфе, интегрирование всякого уравнения (1.21), по сути, сводится к интегрированию некоторого вспомогательного уравнения вида (1.4). Поясним, как это делается.
Пусть |
D n – |
область определения независимых переменных |
x1, , xn , |
задаваемая |
областью Ω. Попробуем отыскать решение |
u =ϕ(x1, , xn ) квазилинейного уравнения (1.21), |
заданное в области D |
и определяемое неявно в следующем виде: |
|
F(x1, , xn ,u) = 0. |
(1.22) |
24
Здесь F – некоторая функция, имеющая в области Ω непрерывные частные производные и, кроме того,
∂F |
|
|
≠ 0 . |
(1.23) |
|
||||
∂u |
|
|
||
|
u=ϕ( x1, ,xn ) |
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 1.2. Если функция u =ϕ(x1, , xn ) , неявно определяемая равенством (1.22), имеет в области D непрерывные частные производные и является решением квазилинейного уравнения (1.21), тогда функция
w = F(x1, , xn ,u) ,
рассматриваемая в области Ω, удовлетворяет линейному однородному уравнению
∑ai (x1, , xn ,u) ∂w +b(x1, , xn ,u) ∂w = 0, |
(1.24) |
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
i=1 |
|
∂xi |
|
|
|
|
в котором предполагается, что переменные x1, , xn |
и u связаны равен- |
|||||
ством u =ϕ(x1, , xn ) . |
|
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. |
Допустим, что функция u =ϕ(x1, , xn ) |
выра- |
||||
жена из уравнения (1.22), имеет непрерывные в области D производные |
||||||
и удовлетворяет квазилинейному уравнению |
(1.21). |
Согласно теореме |
||||
о неявной функции (см. [2, с. 454]) в силу условия (1.23) корректно определены частные производные функции u по xi:
∂u |
|
∂F |
∂F |
|
|
, i =1, ,n. |
= − |
|
|
||||
∂xi |
∂xi |
∂u |
|
|||
|
|
u=ϕ( x1 |
, ,xn ) |
|||
|
|
|
|
|
25
Подставим эти производные в уравнение (1.21). Умножая его после этого на ∂F / ∂u и перенося все слагаемые в одну часть, получаем:
n |
|
, , xn ,u) |
∂F |
+b(x1, , xn ,u) |
∂F |
|
= 0 . |
∑ ai (x1 |
|
||||||
i=1 |
|
|
∂xi |
|
∂u |
u=ϕ( x1, ,xn ) |
|
Полученное равенство показывает, что функция w = F(x1, , xn ,u) удо-
влетворяет линейному однородному уравнению (1.24) при условии, |
что |
u =ϕ(x1, , xn ) является решением квазилинейного уравнения (1.21). |
□ |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9. Линейное однородное уравнение (1.24) называ- |
|
ется присоединённым (к квазилинейному уравнению (1.21)).
На практике теорему 1.2 используют так. Находят функцию w = F(x1, , xn ,u) , являющуюся общим решением присоединённого уравнения (1.24), в котором переменные x1, , xn и u рассматриваются как независимые. Как мы уже знаем, общее решение в этом случае представляется в виде
w = Φ(I1 (x1, , xn ,u), , In (x1, , xn ,u)),
где Φ – произвольная функция от своих аргументов, имеющая непрерывные частные производные; Ii (x1, , xn ,u) – функционально независимые первые интегралы соответствующей характеристической системы, i =1, ,n . Решения u =ϕ(x1, , xn ) исходного квазилинейного уравнения (1.21) тогда будут
задаваться в неявном виде равенством |
|
Φ(I1 (x1, , xn ,u), , In (x1, , xn ,u))= 0. |
(1.25) |
26
ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Вообще говоря, с помощью описанного алгоритма мы найдём не все решения квазилинейного уравнения (1.21). Решения (1.21), которые не получаются формулой (1.25), называются специальными или особыми. Такие решения, являясь в некотором смысле исключительными, далее нами рассматриваться не будут. Именно поэтому равенство (1.25) мы будем называтьформулой общего решениядля уравнения (1.21).
Для квазилинейного уравнения с двумя независимыми переменными
a(x, y, z) |
∂z |
+b(x, y, z) |
∂z |
= c(x, y, z) |
(1.26) |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
описанный выше алгоритм построения решений сводится к нахождению общего решения присоединённого уравнения
a(x, y, z) ∂∂wx +b(x, y, z) ∂∂wy +c(x, y, z) ∂∂wz = 0.
Характеристическая система этого линейного однородного уравнения имеет следующий симметричный вид:
dx |
= |
dy |
= |
dz |
. |
|
a(x, y, z) |
b(x, y, z) |
c(x, y, z) |
||||
|
|
|
Этой характеристической системе отвечают два функционально независимых первых интеграла:
I1 (x, y, z), I2 (x, y, z) .
Поэтому формула для общего решения в этой ситуации принимает вид
Φ(I1 (x, y, z), I2 (x, y, z))= 0,
где Φ – произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Данная формула задаёт общее решение квазилинейного уравнения (1.26) в неявном виде.
27