Глава 2. ГРУППЫ ТОЧЕЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Теоретико-групповой подход к проблеме интегрирования дифференциальных уравнений, иногда называемый также симметрийным подходом, основывается на хорошо разработанной теории групп Ли. Сама по себе теория групп Ли – это чрезвычайно увлекательный, но довольно сложный раздел современной математики, имеющий необычайно широкий спектр приложений; в настоящее время методы и приёмы этой теории находят своё применение в геометрии, математической физике, квантовой химии, механике и т. д. В настоящем учебном пособии у нас нет, конечно, возможности подробно осветить эту теорию, однако некоторые факты из неё нам всё же потребуются.

Цель настоящей главы – дать основные определения и утверждения, касающиеся групп Ли преобразований n-мерных вещественных пространств. Вместе с тем, для более обстоятельного погружения в данную область математики требуется обращение к дополнительным источникам литературы. Для этих целей мы можем посоветовать прекрасную монографию [4], написанную Питером Олвером, американским специалистом в области группового анализа дифференциальных уравнений. Порекомендуем здесь также монографию [5] известного советского и российского учёного Л. В. Овсянникова, руководившего, пожалуй, наиболее авторитетной научной школой по применению групповых методов к исследованию дифференциальных уравнений.

§ 2.1. ЭЛЕМЕНТЫТЕОРИИГРУПП ЛИ

Напомним вначале некоторые теоретико-множественные конструкции. Пусть A – конечное или бесконечное множество. Преобразованием множества A называется отображение f : A → A , которое всякому элемен-

39

ляется преобразованием этого же множества.

Преобразование f : A → A называется взаимно однозначным или обратимым, если всякому элементу a A соответствует один и только один

В дальнейшем будем считать, что функции ϕ и ψ имеют все необходимые производные и, кроме того, удовлетворяют условию

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Семейство обратимых преобразований (2.1), зависящее от параметра a и удовлетворяющее условию (2.2), называется од-

нопараметрической группой точечных преобразований плоскости 2 , ес-

ли оно имеет свойство

40

для любых значений a и b.

С помощью соотношений (2.1), (2.3) и (2.4) можно показать, что преобразование, обратное к (2.1), получается изменением знака у параметраa:

ПРИМЕР 2.1. Рассмотрим семейство преобразований плоскости вида

Геометрически данное преобразование определяет вращение точки (x, y) вокруг начала координат на уголa (против часовой стрелки).

При a = 0 получаем: x = x cos0 + y sin 0 = x , y = −xsin 0 + y cos0 = y .

Далее: x = x cosb + y sin b = (xcos a + y sin a)cosb +(−xsin a + y cos a)sin b =

= x(cos a cosb −sin asin b) + y(sin a cosb +cos asin b) = x cos(a +b) + y sin(a +b).

Аналогично доказывается, что

y = −x sin b + y cosb = −xsin(a +b) + y cos(a +b) .

Таким образом, для преобразований (2.6) выполняются соотношения (2.2)–(2.5), следовательно семейство этих преобразований образует однопараметрическую группу преобразований. Данная группа преобразований называетсягруппой вращений плоскости.

Далее нас будут интересовать однопараметрические группы преобразований, заданные лишь в малой окрестности нулевого значения парамет-

41

ра a, т. е. преобразования вида (2.1), определённые для значений группового параметра a из некоторого интервала (−ε,+ε) . В этом случае функции (2.1) мы можем разложить в ряды Тейлора и рассматривать лишь сл а- гаемые до первого порядка по a:

ϕ(x, y,a) = x + ∂∂ϕa (x, y,0) a +o(a) ,

ψ(x, y,a) = y + ∂∂ψa (x, y,0) a +o(a).

Тогда вместо соотношений (2.1) мы можем рассматривать равенства лишь по первому приближению по a:

где

Формулы (2.7) называются инфинитезимальными преобразованиями.

С геометрической точки зрения v = (ξ(x, y),η(x, y)) представляет собой векторное поле на плоскости, которое в каждой точке (x, y) является касательным к кривой x(a) =ϕ(x, y,a), y(a) =ψ (x, y,a). По этой причине векторное поле v = (ξ(x, y),η(x, y)) называют касательным векторным полем однопараметрической группы преобразований.

ПРИМЕР 2.2. Инфинитезимальное преобразование, соответствующее группе вращений (2.6), имеет вид

x = x + y a, y = y − x a.

42

Отсюда следует, что касательное векторное поле группы вращений плоскости записывается в виде

v = ( y,−x).

Имея заданной некоторую группу однопараметрических преобразований, мы можем выписать её касательное векторное поле в соответствии

сформулами (2.8). Возникает обратный вопрос: всякое ли векторное поле

v= (ξ(x, y),η(x, y)) на плоскости определяет некоторую группу однопара-

метрических преобразований? Оказывается, что локально ответ на этот вопрос положительный.

ТЕОРЕМА 2.1. Функции ϕ(x, y,a) и ψ (x, y,a) тогда и только тогда определяют однопараметрическую группу преобразований с касательным векторным полем v = (ξ(x, y),η(x, y)), когда эти функции являются решением следующей задачи Коши:

Доказательство этой теоремы см., например, в учебнике [3]. Теорема Ли даёт удобный практический способ построения однопараметрических групп преобразований по соответствующим касательным векторным полям. Поясним, как это делается, на конкретном примере.

ПРИМЕР 2.3. Построим однопараметрическую группу преобразований плоскости, имеющую касательное векторное поле v = (2x + y,3x + 4y).

Допустим, что искомое преобразование переводит точку (x, y) в точку

43

В силу того что полученная система является системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, её решение не представляет особого труда (см., например, [1]):

ϕ(x, y,a) = 14 (e5a +3ea )x + 14 (e5a −ea )y ,

ψ(x, y,a) = 34 (e5a −ea )x + 14 (3e5a +ea )y.

Найденные функции ϕ(x, y,a) и ψ (x, y,a) и определяют искомую однопараметрическую группу преобразований.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Как мы видим, процедура восстановления группы преобразований по её касательному векторному полю основана на решении задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В рассмотренном примере эта процедура легко дала требуемое решение, так как соответствующая система оказалась довольно простой, а именно – линейной однородной системой с постоянными коэффициентами. В общем случае, однако, решение задачи (2.9) может оказаться довольно сложным и, более того, её решение может существовать лишь только для достаточно малых значений параметра a. Это связано с нелинейным характером автономной системы (2.9).

В заключение этого параграфа скажем ещё несколько слов по поводу обозначений и терминологии.

Для краткости будем обозначать символом Ta преобразование, определяемое функциями ϕ и ψ в соответствии с формулой (2.1): (x, y) =Ta (x, y). Совокупность всех таких преобразований, отвечающих всем возможным значениям параметра a (вещественным или комплексным), будем обозначать символом G, т. е. G ={Ta }. Тождественное преобразование, преобразующее каждую точку (x, y) в себя, обозначается как I,

44

а преобразование Ta−1 , обратное к Ta , удовлетворяет условию

Ta Ta−1 =Ta−1 Ta = I .

Понятие однопараметрической группы преобразований плоскости и её касательного векторного поля легко обобщается на случай произвольного n-мерного пространства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Семейство обратимых преобразований

зависящее от параметра a, называется однопараметрической группой точечных преобразований n-мерного пространства n , если оно удовлетворяет условиям

fi (x1, , xn ,0) = xi ,

fi ( f1 (x1, , xn ,a), , fn (x1, , xn ,a),b) = fi (x1, , xn ,a +b)

для любых значений a, b и i =1, ,n .

Касательное векторное поле v = (ξ1 (x1, , xn ), ,ξn (x1, , xn )) , отвечающее однопараметрической группе преобразований n-мерного простран-

Так же как и в двумерном случае, здесь может быть доказан аналог теоремы Ли, в соответствии с которым имеется возможность восстановления группы преобразований по её касательному векторному полю. Для этого требуется решить следующую задачу Коши:

45