Глава 1. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Прежде чем перейти к изучению теоретико-групповых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, целесообразно посвятить некоторое время классу дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. На то есть, как нам кажется, две причины.

Первая состоит в том, что вычисление групп симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений, необходимое для применения того или иного метода интегрирования, сводится к решению систем уравнений в частных производных. Конечно, может вызвать недоумение тот факт, что для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных, решение которых в общем случае является несоизмеримо более сложной задачей. Здесь, однако, необходимо принять во внимание то обстоятельство, что системы уравнений в частных производных, с которыми сталкиваются в рамках теоретико-группового подхода, являются системами уравнений первого порядка и их простыми дифференциальными следствиями. В силу переполненности таких систем их решение обычно не представляет особого труда на практике.

Вторая причина, по которой необходимо потратить некоторое время на изучение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, является исключительно педагогической. По нашему личному мнению, в существующей системе математического образования классу подобных систем уравнений посвящено удручающе мало внимания. Вместе с тем, эти уравнения очень часто встречаются во множестве прикладных задач, в особенности в физике и инженерных приложениях. В качестве примера приведем систему уравнений Максвелла, лежащую в основе классической электродинамики, а также уравнение Гамильтона – Якоби, представляющее большой интерес в механике и оптике.

6