ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 3.4. Понизить порядок обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

допускающего однопараметрическую группу преобразований с инфинитезимальным оператором

X = x ∂∂y ,

подобрав соответствующую замену переменных. Здесь F – произвольная функция своих аргументов.

РЕШЕНИЕ. Осуществим редукцию исходного уравнения (3.20) к уравнению первого порядка, подобрав нужную замену переменных. Для этого подберём новые переменные u = u(x, y) и q = q(x, y) так, чтобы инфините-

зимальный оператор X в этих переменных принял простейший вид X = ∂∂q .

Для этого нам требуется решить систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:

Очевидно, что частное решение первого из этих уравнений – сама переменная x. Второе из уравнений легко решается одной квадратурой:

115

где C(x) – произвольная функция. Так как нам необходимо лишь частное решение, мы можем положить C(x) = 0. Следовательно, мы получаем:

Обратная замена будет иметь вид

x = u, y = uq .

Далее для производных y′ и y′′ в новых переменных получаем выражения:

Вводя новую переменную w = q′, окончательно получаем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на неизвестную функцию w = w(u) :

uw′+ 2w = F(u2 w).

116

ЗАДАЧИ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Подобрав соответствующую замену переменных, понизить порядок обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, допускающего однопараметрическую группу преобразований с инфинитезимальным оператором X. Во всех вариантах F – произвольная функция своих аргументов:

а) y′′ = xk−2 F xyk , xky−1 , X = x ∂∂x +ky ∂∂y , k – произвольная постоянная;

рого порядка, допускающего группу с инфинитезимальным оператором

X = y ∂∂y .

Контрольные вопросы

1.Дать характеристику двух способов понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих однопараметрическую группу преобразований.

2.Попробуйте описать алгоритм нахождения наиболее общей формы дифференциального уравнения второго порядка, допускающего заданную группу.

117