удовлетворяющее равенству
ψ(y0 ; y0 , z0 ) = z0 .
Формулу (1.31) тогда мы можем переписать как
z =ϕ(x, y; x0 ,ψ(y; y0 , z0 )) . |
(1.33) |
По своему построению это решение удовлетворяет начальному условию z = z0 при x = x0 и y = y0 . Таким образом, если в области Ω выполняется условие (1.30), решение системы дифференциальных уравнений (1.29) сводится к решению двух обыкновенных дифференциальных уравнений.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Отметим, что общее решение системы уравнений (1.29) зависит от одной произвольной константы. Действительно, если в решении (1.33) мы положим z0 =C , а значения x0 и y0 будем продолжать рассматривать фиксированными, мы получим решение в виде
z = Φ(x, y;C),
где C – произвольная постоянная, Φ(x, y;C) =ϕ(x, y; x0 ,ψ(y; y0 ,C)) .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЗАДАЧА 1.5. Найти общее решение системы уравнений:
∂z |
= y2 , |
∂z |
= |
1 |
+ |
2z |
− y2 . |
(1.34) |
|
∂x |
∂y |
2y2 |
y |
||||||
|
|
|
|
|
36
РЕШЕНИЕ. Условия совместности (1.30) ются тождественно для любых значений x, y и
случае f (x, y, z) = y2 , g(x, y, z) =1/(2y2 ) + 2z / y
для этой системы выполня- z. Действительно, в данном − y2 , так что
∂f |
+ |
∂f |
g = 2y, |
∂g |
+ |
∂g |
f = |
2 |
y2 |
= 2y . |
|
∂y |
∂z |
∂x |
∂z |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Решаем первое из уравнений системы (1.34). Считая в нём переменную y параметром, получаем
z = xy2 +ζ (y),
где ζ (y) – произвольная пока функция от y.
Теперь подставим это решение во второе из уравнений (1.34); в результате имеем линейное обыкновенное дифференциальное уравнение на функцию ζ (y) :
ζ ′(y) − 2y ζ (y) = 21y2 − y2 .
Решая это уравнение известными методами (см., например, [1, 3]), получаем
ζ (y) = Cy2 − 61y − y3 ,
где C – произвольная постоянная.
ОТВЕТ. Общее решение системы уравнений (1.34) имеет вид z = xy2 +Cy2 −1/(6y) − y3 .
37
ЗАДАЧИ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Найти общее решение системы уравнений:
а) y ∂z |
= x |
∂z |
, |
x ∂z + y |
∂z |
= z ; |
||||
|
∂x |
|
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
|
||
б) |
∂z |
= z + yz, |
∂z |
= z2 |
+ 2xz ; |
|||||
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
в) |
∂z |
= |
2z |
, |
∂z |
= |
3z . |
|
|
|
|
∂x |
|
x |
|
∂y |
|
y |
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Выведите необходимое условие существования решений для произвольной системы дифференциальных уравнений (1.29).
2.Сформулируйте алгоритм решения систем двух уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными.
3.Приведите пример системы двух уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными, не имеющей решений.
38