Глава 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ГРУППУ

В этой главе мы переходим к основной задаче настоящего учебного пособия: дать представление о теоретико-групповых методах интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Чтобы сильно не углубляться в теорию и не перегрузить текст избыточной технической информацией, мы сосредоточимся исключительно на уравнениях первого и второго порядков. Рассмотрение данных классов дифференциальных уравнений будет достаточным для того, чтобы понять базовые идеи симметрийного анализа. Если же читатель захочет убедиться в том, что область применимости теоретикогруппового подхода является гораздо более широкой, чем это может показаться при прочтении настоящего учебного пособия, такому читателю мы порекомендуем классические монографии [4, 5] или более современные учебники [7, 8].

§ 3.1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,

ДОПУСКАЮЩИЕ ГРУППУ

Пусть G – однопараметрическая группа преобразований плоскости, заданная с помощью семейства преобразований

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Говорят, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

82

допускает группу G, если, будучи рассмотренным как уравнение двумерной поверхности в трёхмерном пространстве переменных (x, y, y′) , урав-

нение (3.1) является инвариантным относительно группы G .

1

Касательно поверхностей, инвариантных относительно групп преобразований, и задающих их систем уравнений см. определение 2.5.

Из теоремы 2.4, дающей инфинитезимальный критерий инвариантности, следует, что дифференциальное уравнение (3.1) тогда и только тогда будет инвариантным относительно группы преобразований G, когда

торого изложен нами в параграфе 2.3.

Аналогичным образом можно определить понятие дифференциального уравнения второго порядка, инвариантного относительно группы G.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Говорят, что обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

допускает группу G, если, будучи рассмотренным как уравнение трёхмерной поверхности в четырёхмерном пространстве переменных (x, y, y′, y′′) ,

уравнение (3.2) является инвариантным относительно группы G .

2

Условие инвариантности уравнения (3.2) относительно группы G эквивалентно равенству

продолжением группы G.

83

ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. Хотя в настоящем учебном пособии мы ограничиваемся только рассмотрением дифференциальных уравнений первого и второго порядка, отметим, что оба данных определения естественным образом обобщаются на произвольные обыкновенные дифференциальные уравнения n-го порядка. Для этого нужно рассмотреть n-е продолжение G

X F = 0,

n

рассматриваемое в (n + 2) -мерном пространстве переменныхx, y, y′,…, y(n) . Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 3.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

инвариантно относительно однопараметрической группы G сдвигов вдоль координаты y:

x =ϕ(x, y,a) = x, y =ψ (x, y,a) = y + a .

Для того чтобы это увидеть, найдём инфинитезимальный оператор X

2

второго продолжения G , предварительно вычислив инфинитезимальные

2

84

X =ξ(x, y) ∂∂x +η(x, y) ∂∂y = ∂∂y ,

X = X +θ1 (x, y, y′) ∂∂y′ = X +(Dη − y′Dξ) ∂∂y′ = ∂∂y ,

1

мы приходим к заключению, что дифференциальное уравнение (3.3) действительно инвариантно относительно группы сдвигов вдоль координатыy.

Кстати, в справедливости сделанного вывода можно убедиться и непо-

средственно, если в явном виде построить группу G . Так как инфинитези-

2

откуда легко видеть, что данные преобразования сохраняют вид уравнения (3.3) из-за того, что последнее не зависит явно от переменной y.

85

ПРИМЕР 3.2. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

инвариантно относительно группы растяжений G:

86

ПРИМЕР 3.3. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

является инвариантным относительно группы вращений плоскости G. Чтобы проверить это, вспомним инфинитезимальный оператор соответ-

ствующей группы G , найденный нами ранее в примере 2.9:

1

В силу того что

вне зависимости от выбора функции F.

На практике часто возникает задача построения наиболее общего класса дифференциальных уравнений n-го порядка, допускающих данную

87

однопараметрическую группу преобразований G. Ясно, что решением этой задачи будет класс уравнений вида

F(I1, I2 , ) = 0 ,

где I1, I2 , – максимальный набор функционально независимых дифференциальных инвариантов n-го порядка группы G, F – произвольная функция от данных инвариантов.

ПРИМЕР 3.4. Пусть G – однопараметрическая группа преобразований плоскости, заданная инфинитезимальным оператором

X= y ∂∂x .

Влитературе эта группа известна как группа Галилея. Замечая, что

вданном случае ξ(x, y) = y , η(x, y) = 0, выпишем инфинитезимальные

операторы первого и второго продолжений этой группы:

Найдём дифференциальные инварианты первого и второго порядка, решив линейное дифференциальное уравнение

88

Соответствующая характеристическая система имеет вид

dxy = dy0 = −(dyy′′)2 = −3dyy′′′y′′ .

Всего нам нужно найти три независимых первых интеграла этой системы уравнений.

Так как в уравнении X F = 0 отсутствует коэффициент при производ-

2

ной по y (точнее, он равен нулю), один первый интеграл мы сразу же находим: I1 = y .

Ещё один первый интеграл мы сможем найти, приравняв первую и третью дроби в характеристической системе:

В силу того что y – это первый интеграл, мы можем смотреть на эту переменную как на константу и вынести её за знак интеграла. В результате будем иметь:

x +C1 = yy′.

Отсюда следует, что в качестве второго дифференциального инварианта мы можем выбрать функцию I2 = y / y′− x .

Наконец, чтобы найти третий первый интеграл, рассмотрим равенство между третьей и четвёртой дробями характеристической системы:

89

Таким образом, в качестве третьего функционально независимого первого интеграла характеристической системы мы можем взять функцию

I3 = y′′/(y′)3 .

Итак, мы нашли полный набор функционально независимых первых интегралов характеристической системы:

I1 = y , I2 = yy′ − x , I3 = (yy′′′)3 .

Все три функции являются дифференциальными инвариантами второго порядка группы G, в то время как первые две функции (I1 и I2) являются также и дифференциальными инвариантами первого порядка. В результате наиболее общий вид дифференциальных уравнений первого и второго порядка, инвариантных относительно группы Галилея G, следующий:

F1 y, yy′ − x = 0, F2 y, yy′ − x, (yy′′′)3 = 0,

где F1 и F2 – произвольные дифференцируемые функции своих аргументов. В только что рассмотренном примере нахождение дифференциальных инвариантов не составило особого труда. В то же время в более сложных случаях могут возникнуть существенные затруднения. В подобных сложных ситуациях иногда бывает полезной следующая теорема, которую мы

приводим без доказательства [3].

ТЕОРЕМА 3.1. Допустим, что для некоторой однопараметрической группы преобразований G мы уже знаем инвариант I0(x, y) и дифференциальный инвариант первого порядка I1 (x, y, y′) .

90