ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 1.1. Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ. Характеристическая система для уравнения (1.16) имеет вид

Удобно переписать её в симметричной форме, выразив из каждого уравнения dt и приравняв полученные выражения:

dxx = dyy .

Интегрируя последнее равенство слева по переменной x, а справа – по переменной y, получаем

∫dxx +C = ∫dyy

или

ln | x | +C = ln | y |,

где C – произвольная постоянная. Вводя новую постоянную C = eC , будем иметь

xy = C .

17

Таким образом, в качестве первого интеграла характеристической системы (1.17) мы можем взять функцию

I (x, y) = xy .

То, что это действительно первый интеграл, можно легко проверить. Учитывая уравнения (1.17), для производной функции I (x, y) по параметру t получаем

dIdt = ∂∂xI dxdt + ∂∂yI dydt = − xy2 x + 1x y = 0 .

Обратим также внимание на то, что функция I (x, y) = y / x непрерывно дифференцируема всюду на плоскости Oxy, за исключением точек, лежащих на оси Oy. Таким образом, естественной областью определения данного первого интеграла является открытая область D = D+ D− 2 , являющаяся объединением двух связных «кусков»:

D± ={(x, y) 2 | ± x > 0}.

Используя найденный первый интеграл, выпишем общее решение уравнения (1.16)

z= Φ y ,

x

где Φ – произвольная функция, имеющая непрерывную производную. ОТВЕТ. Общее решение имеет вид z = Φ( y / x) , где Φ – произвольная

непрерывно дифференцируемая функция.

18

ЗАДАЧА 1.2. Найти общее решение уравнения

∂∂ux −2x ∂∂uy + z ∂∂uz = 0.

РЕШЕНИЕ. Выпишем характеристическую систему в симметричной форме:

Рассмотрим первое из этих уравнений:

Так как в последнем равенстве переменные разделились, интегрируя его, получаем:

∫(−2x)dx +C1 = ∫dy − x2 +C1 = y ,

где C1 – постоянная интегрирования. Отсюда имеем один из первых интегралов: I1 (x, y, z) = x2 + y .

Для нахождения ещё одного первого интеграла приравняем теперь левую и правую части выражения (1.18):

dx1 = dzz .

19

Интегрируя, получаем:

или

ze−x = eC2 .

Таким образом, в качестве ещё одного первого интеграла характеристической системы (1.18) мы можем взять функцию I2 (x, y, z) = ze−x .

Проанализируем теперь область в 3 , в которой набор найденных первых интегралов

является функционально независимым. Для этого составим матрицу, состоящую из частных производных этих интегралов:

Очевидно, что ранг этой матрицы максимален (т.е. равен двум) во всех точках трехмерного пространства, так как, например, минор этой матрицы, составленный из второго и третьего столбцов, нигде не обращается в нуль:

20

Следовательно, набор первых интегралов (1.19) является функционально независимым во всех точках трехмерного пространства 3 .

ОТВЕТ. Общее решение имеет вид u = Φ(x2 + y, ze−x ), где Φ – произвольная функция двух переменных с непрерывными частными производными.

ЗАДАЧА 1.3. Решить задачу Коши:

РЕШЕНИЕ. Характеристическая система уравнения (1.20) имеет вид

Интегрируя данное уравнение, получаем

где C – постоянная интегрирования. Отсюда видно, что в качестве первого интеграла можно взять функцию

I (x, y) = x2 + y2 .

Естественной областью определения этого первого интеграла выступает вся плоскость 2 , за исключением начала координат, так как именно в точке (0,0) все частные производные функции I (x, y) обращаются одновременно в ноль.

21

Зная первый интеграл, мы можем найти решение задачи Коши (1.20), применяя описанный выше алгоритм. Предварительно отметим, что в на-

шем примере x0 =1 и f (y) = 1+ y2 . Выражая из уравнения

I (x0 , y) =1+ y2 = C

переменную y, находим

y = g(C) = ±C −1.

Отсюда для решения задачи Коши в соответствии с формулой (1.15) получаем:

z = f (g(I (x, y))) = 1+ g(I (x, y))2 = I (x, y) = x2 + y2 .

ОТВЕТ. Решение задачи Коши имеет вид z = x2 + y2 .

ЗАДАЧИ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Для следующих линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка построить их общие решения и выяснить область, в которой эти решения имеют смысл:

а) ∂∂ux −(y + 2z) ∂∂uy +(3y + 4z) ∂∂uz = 0 ;

б) (x3 +3xy2 ) ∂∂ux + 2y3 ∂∂uy + 2y2 z ∂∂uz = 0; в) x ∂∂ux + y ∂∂uy +(z −x2 + y2 + z2 ) ∂∂uz = 0;

г) x(y2 − z2 ) ∂∂ux − y(x2 + z2 ) ∂∂uy + z(x2 + y2 ) ∂∂uz = 0.

22