§ 1.1. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Дифференциальным уравнением в частных про-

изводных называется равенство, связывающее между собой независимые переменные x1, x2 , , xn , зависимую от них функцию u, а также частные производные зависимой функции по независимым переменным:

является уравнением в частных производных второго порядка, так как максимальный порядок входящей в него частной производной равен двум. В этом уравнении имеется две независимых переменных t и x и одна зависимая от них функция u = u(t, x) .

ПРИМЕР 1.2. Уравнение Гамильтона – Якоби, описывающее движе-

ние материальной точки массы m =1 в однородном поле тяжести с напря-

7

Это уравнение является уравнением первого порядка. Оно содержит две независимых переменных t и x и одну зависящую от них функцию u = u(t, x) , называемую действием.

ПРИМЕР 1.3. Уравнение Кортевега – де Фриза

∂u + ∂3u +u ∂u = 0 ∂t ∂x3 ∂x

является, очевидно, уравнением третьего порядка. Так же как и в предыдущих примерах, в него входят две независимые переменные t и x и зависимая функция u = u(t, x) . Данное уравнение играет важную роль в теории нелинейных волн.

Наряду с одиночными уравнениями в частных производных можно также рассматривать системы таких уравнений с несколькими зависимыми функциями.

ПРИМЕР 1.4. Уравнения Максвелла в пустоте в векторной нотации записываются в следующем виде:

электрического и магнитного полей соответственно. Вспоминая определения дифференциальных операторов rot (ротор) и div (дивергенция):

мы видим, что (1.3) представляет собой систему из восьми уравнений в частных производных первого порядка. Независимыми переменными

8

в этой системе являются время t и три координаты x, y, z, а зависимыми от них функциями – три компоненты Ex, Ey, Ez электрического поля и три компоненты Bx, By, Bz магнитного поля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Функция ϕ(x1, , xn ) , которая, будучи подставленной в уравнение (1.1) вместо зависимой переменной u, обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения (1.1).

ПРИМЕР 1.5. Нетрудно видеть, что функция

является решением уравнения теплопроводности (1.2) (проверьте это самостоятельно).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Процедура нахождения решений дифференциального уравнения (1.1) называется его интегрированием.

Перейдем теперь к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В настоящем учебном пособии мы ограничимся, в основном, линейными и квазилинейными уравнениями, так как именно эти классы уравнений будут представлять для нас дальнейший интерес.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка называется дифференциальное уравнение вида

ными функциями, не зависящими от зависимой переменной u.

9

Обычно уравнение (1.4) рассматривается в некоторой открытой области D n независимых переменных x1, , xn , а его коэффициенты ai (x1, , xn ) предполагаются имеющими непрерывные частные производные в D. Соответственно, решениями уравнения (1.4) будем считать функции на D, имеющие на D непрерывные частные производные и обращающие уравнение (1.4) в тождество. Очевидные решения u = const бу-

дем называть тривиальными.

С геометрической точки зрения каждое решение уравнения (1.4) определяет некоторую n-мерную поверхность в (n + 1)-мерном пространстве переменных x1, , xn ,u . Такие поверхности называются интеграль-

ными поверхностями уравнения (1.4).

В частном случае уравнения с двумя независимыми переменными принимается следующая нотация: x1 = x , x2 = y , u = z , a1 = a , a2 =b. В соответствии с этим линейное однородное уравнение первого порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

верхность в трехмерном пространстве. Мы часто будем рассматривать уравнение (1.5) в качестве примера, так как именно на нём наша «трехмерная» интуиция будет срабатывать особенно хорошо.

Важный факт, касающийся уравнений вида (1.4), состоит в том, что класс этих уравнений в частных производных оказывается тесным образом связанным с классом систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, каждому линейному однородному уравнению (1.4)

10

мы можем сопоставить систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

называемую характеристической. Здесь t – некоторая новая вспомогательная переменная.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Решения характеристической системы (1.6) называются характеристиками линейного однородного уравнения (1.4).

Если указанные выше условия, накладываемые на коэффициенты уравнения ai (x1, , xn ) , выполняются, характеристическая система (1.6) удовлетворяет теореме существования и единственности. Это значит, что через каждую точку области D проходит единственная характеристика, параметрически задаваемая в виде xi = xi (t), i =1, ,n .

Для уравнения с двумя независимыми переменными (1.5) характеристическая система будет иметь вид

Её решения, являющиеся характеристиками уравнения (1.5), записываются в виде

x = x(t), y = y(t) .

ПРИМЕР 1.6. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

11

Его характеристическая система – это система двух обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

Из общей теории решения подобных систем уравнений следует, что общее решение (1.8) имеет вид

где C1 и C2 – произвольные постоянные. Двухпараметрическое семейство кривых (1.9) представляет собой совокупность характеристик линейного однородного уравнения (1.7).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Первым интегралом линейного однородного уравнения (1.4) называется дифференцируемая на D непостоянная функция I(x1, , xn ), имеющая постоянное значение на всякой характеристике

Важность введения данного понятия объясняется тем, что первые интегралы уравнения (1.4) фактически и являются его решениями. Другими словами, имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.1. Функция ϕ(x1, , xn ) тогда и только тогда является решением линейного однородного уравнения (1.4), когда она является его первым интегралом.

Доказательство теоремы см., например, в учебном пособии [1].

12

Пусть известны n −1 первых интегралов для характеристической си-

стемы (1.6):

I1 (x1, , xn ), I2 (x1, , xn ), , In−1 (x1, , xn ).

Допустим, что они функционально независимы в области D, т. е. ранг матрицы

максимален во всех точках области D, или, что эквивалентно, набор векторов I1, I2 , , In−1 линейно независим в каждой точке x = (x1, , xn ) D . В этом случае общее решение уравнения (1.4) может быть записано в виде

где Φ – произвольная функция n – 1 переменной, имеющая непрерывные частные производные. Таким образом, для нахождения общего решения линейного однородного уравнения в частных производных необходимо составить его характеристическую систему и найти n – 1 функционально независимых первых интегралов этой системы. После этого общее решение записывается с помощью формулы (1.10).

13

В случае уравнения с двумя независимыми переменными (1.5) достаточно найти только один первый интеграл I (x, y) соответствующей характеристической системы, такой, что частные производные Ix и Iy одновременно не обращаются в ноль во всех точках областиD. Общее решение (1.5) в этом случае будет иметь вид

u = Φ(I (x, y)),

где Φ – произвольная функция одного аргумента, имеющая непрерывную производную.

Помимо отыскания общих решений дифференциальных уравнений, важной задачей является также решение для них так называемой задачи Коши.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Без ограничения общности предположим, что в уравнении (1.4) a1 (x1, , xn ) ≠ 0, если (x1, , xn ) D. Задачей Коши для линейного однородного уравнения (1.4) называется задача нахождения его решения u =ϕ(x1, , xn ) , которое удовлетворяет начальному условию:

где x10 – фиксированное число; f (x2 , , xn ) – заданная функция n – 1 переменной с непрерывными частными производными.

Вопределении 1.7 предполагается, что в (n +1) -мерном пространстве

скоординатами x1, , xn , u гиперплоскость x1 = x10 пересекается с обла-

стью D, иначе задача Коши может не иметь решений вовсе. Геометрический смысл задачи Коши состоит в отыскании n-мерной интегральной по-

14

Для линейного однородного уравнения с двумя независимыми переменными (1.5) задача Коши состоит в отыскании такого его решения, которое удовлетворяет условию

где f(y) – заданная функция. С геометрической точки зрения это сводится к отысканию интегральной поверхности z =ϕ(x, y) в трехмерном пространстве, проходящей через заданную кривую

x = x0 , z = f (y) ,

лежащую в плоскости x = x0 .

Изложим алгоритм решения задачи Коши (1.11) для линейного однородного уравнения (1.4). Пусть нам известен набор n −1 функционально независимых первых интегралов для соответствующей характеристиче-

где C1,C2 , ,Cn−1 – некоторые произвольные постоянные.

15

2. Так как первые интегралы являются функционально независимыми, полученная система разрешима относительно переменных x2 , , xn ; решим систему (1.13), выразив переменные x2 , , xn как функции параметров C1,C2 , ,Cn−1 :

условие:

u= f (g2 (C1, ,Cn−1 ), , gn (C1, ,Cn−1 )) .

4.В построенной на предыдущем шаге функции заменяем постоянныеCi на соответствующие первые интегралы Ii (x1, , xn ). Полученная функция

ибудет являться решением данной задачи Коши.

Изложенный алгоритм решения задачи Коши выглядит особенно просто в случае однородного уравнения с двумя независимыми переменными. Так как в этой ситуации имеется всего один первый интеграл I (x, y) , система (1.13) имеет всего одно уравнение

I (x0 , y) = C,

из которого мы можем выразить y:

y = g(C) .

Отсюда для решения задачи Коши (1.12) получаем формулу

16