Отметим, что равносильность систем уравнений (2.20) и (2.22) означает, что обе эти системы задают одну и ту же поверхность M. Например, гиперболоид вращения в 3 можно задать двумя эквивалентными способами:

x2 + y2 + z =1 или x2 +z y2 −1 = 0.

Помимо поиска уравнений, инвариантных относительно заданной группы G, можно решать и обратную задачу: имея некоторую систему вида (2.20), можно попробовать найти группу преобразований G, относительно которой система является инвариантной. Для этого по известным функциям Fi (x1, , xn ) из уравнений (2.21) находятся функции ξj (x1, , xn ), являющиеся компонентами инфинитезимального оператора группы. После этого в соответствии с теоремой Ли можно восстановить группу, решив задачу Коши (2.11). Подробнее об этих вопросах см. известную монографию[4].

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 2.3. Найти инвариант группы растяжений:

РЕШЕНИЕ. Вычисляем сначала инфинитезимальный оператор группы. В соответствии с формулами (2.8) и (2.13) этот оператор имеет вид

60

Согласно теореме 2.2 всякий инвариант F(x, y) данной группы преобразований является решением уравнения

XF = x ∂∂Fx + y ∂∂Fy = 0.

Соответствующая характеристическая система уравнений

где C – произвольная постоянная. Отсюда видно, что в качестве инварианта группы растяжений мы можем взять функцию

I (x, y) = xy .

Любой другой инвариант будет функционально зависеть от полученного инварианта I(x, y).

ОТВЕТ. Инвариант группы растяжений равен I (x, y) = y / x . ЗАДАЧА 2.4. Для группы растяжений из предыдущей задачи найти

замену переменных u = u(x, y) , q = q(x, y) такую, чтобы в новых координатах (q, u) групповые преобразования сводились к сдвигам вдоль координаты q:

61

Выяснить область определения новых координат.

РЕШЕНИЕ. Как мы уже знаем, инфинитезимальный оператор группы растяжений имеет вид

X = x ∂∂x + y ∂∂y .

Согласно уравнениям (2.17) новые переменные u = u(x, y) , q = q(x, y), рассматриваемые как функции старых координат x и y, должны удовлетворять уравнениям

Решением первого из уравнений является любой из инвариантов группы растяжений. Возьмём в качестве такого инварианта функцию

I (x, y) = xy ,

найденную в предыдущем примере.

Второе уравнение является линейным неоднородным уравнением первого порядка. Для его решения составляем соответствующее присоединённое уравнение (см. параграф 1.2)

x ∂∂wx + y ∂∂wy + ∂∂wq = 0

и выписываем его характеристическую систему

dxx = dyy = dq1 .

62

Решая её, находим два возможных первых интеграла:

I1 (x, y,q) = xy , I2 (x, y,q) = q −ln x .

Отсюда общее решение второго из уравнений (2.25) в неявном виде записывается как

где Φ – произвольная дифференцируемая функция. Так как нам требуется найти лишь какое-либо частное решение, положим Φ(v, z) = z ; тогда

q = ln x .

Таким образом, мы имеет замену переменных

Якобиан этой замены переменных

отличен от нуля всюду, кроме точек прямой x = 0. В силу того что логарифм ln x определён лишь для положительных значений аргумента x, получаем, что областью D определения новых координат u и q является правая полуплоскость:

D ={(x, y) 2 | x > 0}.

63

Проверим, что в новых координатах u и q преобразования (2.23) будут иметь вид (2.24). Для этого сначала найдем обратную замену переменных, т. е. функции x = x(u,q) и y = y(u,q):

x(u,q) = eq , y(u,q) = ueq .

Тогда равенства (2.23) в координатах (u, q) примут вид:

или

u =u, q = q +a .

Таким образом, в новых координатах (u, q) групповые преобразования (2.23) действительно принимают вид (2.24) и сводятся к сдвигам вдоль координаты q. Из формул (2.24) также следует, что инфинитезимальный оператор X группы растяжений в координатах (u, q) записывается как X = ∂/ ∂q.

ОТВЕТ. Переменные (u, q), в которых преобразования группы растяжений сводятся к сдвигам вдоль координаты q, имеют вид: u(x, y) = y / x , q(x, y) = ln x . Их областью определения является полуплоскость

D ={(x, y) 2 | x > 0}.

ЗАДАЧИ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти инвариант I (x, y) однопараметрической группы преобразований плоскости G, задаваемой преобразованиями ϕ(x, y,a) и ψ (x, y,a) :

64