Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

материал; 2) передвигается на более ранний срок использование изученной части теоретического материала для практических его применений в простейших задачах; 3) обеспечивается более прочное усвоение программного материала, так как к одним и тем же вопросам приходится возвращаться два и более раз.

Это — положительные стороны.

Отрицательные стороны: 1) больше затрат времени; 2) опасность потери целостного представления о данной дисциплине, изучаемой по частям с более или менее значительными интервалами; 3) возможность путаницы в головах учащихся, если изучение отдельных концентров недостаточно продумано и согласовано.

При правильном планировании работы отрицательные стороны сводятся к минимуму...

Категорическое требование к первому концентру: как бы упрощенно он ни излагался, нарушение принципа научности недопустимо. Большая доступность изложения должна обеспечиваться надлежащим отбором материала, часто заменой логических доказательств проверкой на опыте, но отнюдь не искажением существа дела” (с. 56).

В работах по методике преподавания вузовской математики требование концентризма почти не встречалось (исключение составляет замечание А. И. Кострикина в предисловии к его “Введению в алгебру” ([117], с. 7). Однако стоит упомянуть работы А. Г. Мордковича [156] и В. А. Тестова [233]. Близки к концентризму предложения А. Г. Мордковича по пропедевтике в математических курсах для студентов педвузов. А. Г. Мордкович рассматривает пропедевтику в двух направлениях: 1) вводные лекции перед изучением того или иного раздела, где ограничиваются наглядными соображениями, правдоподобными рассуждениями, очерком основных понятий; 2) использование понятия до его формального определения на незавершенном конкретно-интуитивном уровне (с. 105).

81

Из зарубежных методистов предлагал спиралеобразное построение программы по высшей алгебре М. Нойбранд

[165].

Не отвергая целесообразность требования многоступенчатости для удобства рассмотрения последовательного формирования математических когнитивных структур, мы тем не менее придерживаемся взглядов Гегеля и А. Н. Колмогорова, считавших, как упомянуто выше, что «спираль» познания не обязательно распадается на витки- «концентры».

Учитывая все вышесказанное, мы считаем целесообразным спиралевидное расположение учебного материала, причем, на наш взгляд, требование спиралевидного расположения материала может быть конкретизировано в виде двух важных содержательных элементов: подготовки

(предвосхищения) и повторения на более глубоком уровне

(с усилением). Теперь мы можем сформулировать первые два элемента концентрированного обучения.

1) Подготовка и, в частности, предвосхищение.

Исключительно важный прием как в обучении, так и в различных видах искусства. Этот прием хорошо знают профессиональные писатели и режиссеры. Например, А. П. Чехов писал: «Если в первом действии на стене висит ружье, в последнем оно должно выстрелить». Дистервег ([74], с. 422) требует распределять материал «таким образом, что ученик на каждой ступени в состоянии угадать или со всей определенностью предвидеть следующую, из нее развивающуюся». Одно из его «Правил обучения» гласит:

«Указывай на каждой ступени отдельные части последующего материала и, не допуская существенных перерывов, приводить из него отдельные данные, чтобы возбудить любознательность учащегося, не удовлетворяя ее, однако, в полной мере!» (с. 423). Дистервег комментирует это правило:

82

«Такой способ обосновывает мимоходом последующее и приковывает к нему внимание. Когда впоследствии и происходит дальнейшее изложение и полное освещение, оно доставляет ученику истинное духовное наслаждение самого высшего свойства. «В таких предварительных упражнениях, намеках, указаниях» (говорит Лессинг в своем, пользующемся заслуженной славой сочинении «Воспитание человечества») «заключается положительное совершенство элементарного учебника, подобно тому как свойство не затруднять и не преграждать путь к скрытым истинам являлось его отрицательным свойством»» (там же).

На полезность предвосхищения указывали и некоторые современные авторы, например, М. И. Шабунин ([264], с. 10): «При обучении полезно «забегание вперед», т. е. использование сведений из еще не изученных разделов курса математики, позволяющих глубже понять и легче усвоить изучаемый материал».

2) Повторение на разных, более глубоких, уровнях и усиление. Заметим, что речь можно вести не только о повторении тех или иных элементов учебного материала, но и о повторах отношений между объектами на различных уровнях математического дискурса. Например, отношения между объектами в теории конечномерных векторных пространств во многом повторяются в общей теории линейных пространств, отношения между объектами в аналитической геометрии на плоскости во многом повторяются в аналитической геометрии в пространстве; отношения между объектами в элементарной теории чисел во многом повторяются в теории многочленов. Еще интереснее повторы отношений между объектами на более высоких ступенях абстракции, например, в абстрактной алгебре. Например, категории и функторы находятся в отношении, подобном отношению «алгебраические системы — гомоморфизмы», композиция морфизмов в категории подобна частичной алгебраической операции.

83

3) Фундаментальность, или основательность (требо-

вание глубокого и основательного изучения тщательно отобранного фундамента учебной дисциплины). Об этом также убедительно писал еще Дистервег [74]:

«Задерживайся главным образом на изучении основ!»

Это правило относится к основательности и обусловливает истинный успех. Кто не заложит надлежащей основы, осужден вечно чинить прорехи или должен опасаться разрушения всего здания. Всякая поверхностность и легкомысленное отношение к действительным основам (элементам) предмета неминуемо мстят за себя. К ним постоянно приходится возвращаться; иначе невозможен настоящий успех. Ученики неуверенно бродят вокруг, теряют из-за этого доверие к предмету и к учителю, а вместе с тем всякую охоту и любовь к учению. Поэтому наиболее добросовестные и опытные учителя заставляют своих учеников так прочно усваивать основы, что это походит на педантизм. Сангвиникиновички торопятся, наоборот, переходить от одного к другому, порхают по всему, но затем горько раскаиваются в своей поспешности.

...Впрочем, пусть никто не боится, что из-за длительной задержки на элементах у него пропадет много времени. Следует только понаблюдать за постройкой большого дома. Значительная часть времени уходит на закладку фундамента; после этого верхние этажи устремляются ввысь со сказочной высотой.

То же происходит и в обучении. Кажущееся излишним время, которое уходит на неизбежные основы, впоследствии наверстывается вдвойне и втройне» (с. 421—422).

Сторонником тщательного изучения основ был и известный педагог-механик А. П. Минаков. А. А. Космодемьянский ([115], с. 192) приводит его выписки из книги Феппля [250]:

«При чтении основ механики лучше всего идти слишком медленно, чем слишком поспешно. Стоит только обдумать,

насколько важно дать исчерпывающее, глубокое и тща-

84

тельное изложение основ, на которых покоится механика, чтобы создать тем самым широкое и прочное основание для дальнейших построений... Также читающему эту книгу, желающему хорошо освоить механику, я очень советовал бы весьма внимательно прочитать те рассуждения, которые, быть может, кажутся ему на первый взгляд излишними только потому, что он уже раньше слышал об этом. В самом деле, ему следует обратить внимание на некоторые моменты, которые ускользали от него до сих пор. Позднее эти старания окупятся с лихвой, потому что громадное большинство затруднений, встречающихся при прохождении высших отделов механики, коренятся в том, что читатель приступает к этим разделам прежде, чем он освоит элементы механики. Поэтому не стоит сожалеть, если пришлось проследить какое-нибудь рассуждение, касающееся общих основ, хотя бы, казалось, ничего нового при этом не пришлось узнать. Чем глубже он усвоит основы, тем лучше он подготовлен к изучению труднейших проблем...»

4) Совмещение функций (одни и те же приемы, задачи, идеи применяются в разных местах курса или рассматриваются с разных сторон, несут различные функции обучения и воздействия на студентов) и экономия.

Это требование обусловливает тщательный отбор примеров, иллюстрирующих различные понятия курса. Так, среди групп одним из лучших примеров является симметрическая группа S3 , состоящая из 6 различных перестановок трех элементов (с композицией перестановок в качестве групповой операции). Эта группа служит примером конечной группы, примером некоммутативной группы, примером группы, элементы которой — не числа. Эта группа обладает несколькими подгруппами, в том числе не являющимися нормальными (т. е. правые смежные классы по таким подгруппам не совпадают с левыми). Наконец, составленная из небольшого числа элементов, эта группа, способная иллю-

85

стрировать сложнейшие понятия, не очень трудна в изучении. Ее свойства можно рассматривать с помощью таблицы Кэли (таблицы «умножения» в группе). Пример этот можно и даже нужно вводить в курсе алгебры достаточно рано, поскольку перестановки оказываются необходимы, например, в линейной алгебре для изучения определителей. Целый ряд таких универсальных примеров будет приведен в 3-й главе.

Ярким воплощением требования совмещения функций является метод сквозных задач, когда одни и те же тщательно подобранные задачи позволяют на их примерах обсуждать различные теоретические положения на разных этапах прохождения курса. Хорошие примеры применения этого приема можно найти в учебниках А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [107], Дж. Кемени, Дж. Снелла и Дж. Томпсона

[95].

К этому близка также идея сквозных тем, или фунда-

ментальных идей (понятий), восходящая к Дж. Брунеру

[41] и развитая в трудах немецкоязычных методистов ([251], [234], [235], [265], [56], с. 28).

Сходные мысли находим в работе В. А. Тестова [233], который предлагает одну из фундаментальных идей — идею математических структур в качестве основы для построения математических курсов в целях преемственности обучения в школе и в вузе.

Совмещение функций способствует экономии, минимизации ([156], с. 135) в отборе содержания математических курсов.

5) Зацепление. Этот прием, разработанный в немецкой дидактике 19 века (Verzahnung), упоминается в книге [281] и представляет собой вплетение материала одного отдела в материал другого. Так, например, рассматривая цепные дроби, можно на примере дроби, все элементы которой равны 1, познакомить студентов и с числами Фибоначчи, и с золотым сечением. Рассматривая арифметические действия

86

над классами вычетов, можно упомянуть группы и кольца. Заметим, что этот прием связан и с предвосхищением, и с подготовкой элементов.

Современным вариантом приема “зацепление” является

интеграционный принцип ([56], с. 77—78). Суть этого прин-

ципа в том, что при обучении (и при повторении) должны строиться и укрепляться связи между различными элементами изучаемого материала. В качестве примера Виттман приводит интеграцию алгебраических и геометрических идей в обучении математике (с. 78).

Таким образом, требования концентрированного обучения относятся как к построению курса в целом (подготовка, предвосхищение, повторение и углубление, метод сквозных задач), так и к разработке отдельной темы (совмещение функций, зацепление, метод обзорных лекций, метод последовательных улучшений).

Отметим еще несколько важных средств, связанных с расположением материала:

6) варьирование (проведение через разное) — скажем, разъяснение теоретического положения на серии различных примеров, или, что еще важнее, рассмотрение предмета со всех основных сторон, как это делал в своих лекциях А. Я. Хинчин (см. [189], с. 115—116); такого всестороннего рассмотрения требовал также Дистервег ([74], с. 429);

А. Г. Мордкович ([155], с. 43) писал: “Необходимым условием эффективности обучения математике на любом уровне является всестороннее изложение, показ разных точек зрения, различных способов доказательства одной и той же теоремы. Это особенно важно для пединститута, ибо способствует выработке у студентов определенных методических взглядов”.

7) разбиение (материала на меньшие куски) - к этому близок принцип «расчленения трудностей», который выдающийся математик-педагог Н. Н. Лузин приписывал революционеру и ученому Н. Морозову (см. [32], 1983); требо-

87

вание разбивать материал на небольшие законченные части высказывал также Дистервег ([74], с. 422);

8) контраст — например, малоизученный прием, заключающийся в использовании весьма плодотворных вопросов вида «чем отличается понятие (фигура и т. п.) А от понятия (фигуры…) В.

Обучение математической дисциплине — сложная, многокомпонентная система. Существенный образовательный эффект (результат) достигается в учебном курсе (или же в учебнике, и даже на микроуровне — в отдельно взятом занятии или лекции) с помощью не какого-либо одного средства, а нескольких или многих, направленных к одной и той же цели.

Вышеупомянутые требования концентрированного обучения относятся главным образом к построению математических курсов. По аналогии с построением художественных произведений (романов, пьес, картин, опер и т. д.), мы можем говорить здесь о композиции (в данном случае о композиции математического курса или учебника, а на более локальном уровне — раздела курса или же отдельной лекции (занятия, главы или параграфа учебника).

А. П. Минаков и вслед за ним его ученик А. А. Космодемьянский ([115], с. 160 и 203) требовали для построения композиции курса прежде всего выбрать руководящую идею курса, определяющую его трактовку — такую идею они называли “сверхзадачей” (термин из театральной системы Станиславского) курса. Кроме того, А. П. Минаков придавал большое значение композиции каждой лекции. Он говорил, что лекцию нужно строить как художественное произведение. В ней должна быть завязка, развитие сюжета, развязка. Композиция лекции должна базироваться на эмоциональной кривой аудитории [140]. Подробнее значение эмоциональной стороны в преподавании математики мы рассмотрим ниже.

88

Еще Пойа обращал внимание на то, что многие средства воздействия, используемые в преподавании, имеют много общего с искусством: “Преподавание... имеет также нечто общее с музыкой. Вы, конечно, знаете, что учителю зачастую приходится говорить об одной и той же вещи не раз и не два, а три раза, четыре раза, пять раз... Однако многократное, без перерыва и без изменений интонации, повторение одной и той же сентенции может отвратить слушателя от рассказываемого и тем самым повредить той цели, ради которой вы повторяетесь. Поучитесь у композиторов, как это делать лучше! Одной из важнейших музыкальных форм является “тема с вариациями”. Перенося эту музыкальную форму в педагогику, вы начнете с изложения вашей сентенции в простейшем виде; во второй раз вы повторите ее с небольшим изменением; в третий раз — добавите новые, более яркие краски и т. д. Заканчивая, вы можете вернуться к первоначальной простой формулировке. Другой важной музыкальной формой является “рондо”. Перенося и эту форму в педагогику, вы повторяете вашу основную мысль несколько раз с небольшими изменениями или вовсе без изменений; однако при этом между повторениями включаете соответственным образом подобранный иллюстративный материал. Я надеюсь, что, слушая в следующий раз тему с вариациями Бетховена или рондо Моцарта, вы немного подумаете и над проблемами методики преподавания...

Повторение и контраст играют важную роль во всех искусствах, не исключая искусство преподавания, однако в музыке их роль наиболее выразительна. Поэтому такие атрибуты музыкального произведения, как предвестник темы, ее развитие, повторение и вариация, чередование тем, могут навести на хорошую мысль об использовании аналогичных атрибутов в темах классных занятий...” (с. 289

и 328).

То, что Пойа перечисляет ряд упомянутых нами средств воздействия — предвосхищение (предвестник темы), по-

89

вторение, вариация, контраст, которые, с другой стороны, рассматривались литературоведами А. Жолковским и Ю. Щегловым [191], говорит об универсальности этих средств и несомненной необходимости использования их в преподавании.

Говоря о множественном воздействии, нельзя обой-

ти вниманием педагогические приемы, направленные на различные каналы восприятия материала студентами. Дистервег ([74], с. 440) подчеркивал требование к учащимся проговаривать изучаемый материал. Р. Фейнман применял разнообразные приемы воздействия, чтобы даже самые слабые студент «ухватили суть» материала ([248], с. 12). А. Минаков показывал студентам способы решения типовых задач, во время лекций диктовал, чтобы у них оставались хорошие конспекты. Он обращал внимание на различные методы воздействия на аудиторию: зрительные, слуховые, воздействие на воображение и эмоции ([115], с. 161). В современной зарубежной дидактике также получили распространение подобные требования. Брунер [42] различает три способа получения субъектом информации об окружающем мире: действенный, наглядно-образный и словесно-символический. Например (Виттман, с. 89), сло-

жение натуральных чисел можно представить следующими способами: действенно — рассматривая две группы предметов и пересчитывая количество предметов в каждой группе в отдельности, а потом в обеих группах вместе; нагляднообразно — изображая два конечных множества в виде непересекающихся кругов с точками внутри и затем заключая эти два круга в больший круг; символически — выражением, скажем, 2 + 3.

Сюда же относится принцип взаимодействия пред-

ставлений Бауэрсфельда и Винтера ([56], с. 91): “Следует использовать возможность представления содержания в другой ... форме”.

Множественные представления (multiple representations) широко используются в практике обучения

90