Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики
.pdf6. Курсы по выбору: 1 курс трудоемкость - 3 зачетные единицы, 2 курса по выбору трудоемкость - 3 зачетные единицы, (итого 7 зачетных единиц).
Проиллюстрируем основную задачу изучения указанных дисциплин на примере курса «Избранные вопросы геометрии в профильной школе». Рабочая программа курса разбита на три модуля.
Модуль 1. Геометрии над алгебрами.
Алгебры комплексных, двойных и дуальных чисел. Геометрия плоскостей двойных комплексных и дуальных чисел как геометрии евклидовой псевдоевклидовой и галилеевой плоскостей. Свойства прямых и окружностей на этих плоскостях, вычисление расстояний и углов.
Как известно, все формулы аналитической геометрии можно интерпретировать на плоскости комплексных чисел. Некоторые задачи, например, исследование свойств круговых преобразований плоскости, удобнее исследовать именно на комплексной плоскости. Как правило, в курсах алгебры не рассматриваются свойства двойных и дуальных чисел. Но на плоскостях этих чисел можно ввести метрики, порождающие неевклидовы геометрии — псевдоевклидову и галилееву. Материал этого модуля излагается в научнопопулярной литературе, он вполне доступен школьникам 10—11 классов.
Модуль 2. Аксиома параллельности и элементы геометрии Лобачевского.
Аксиома параллельности Плейфера и пятый постулат Евклида, их эквивалентность. Утверждения абсолютной геометрии, первая и вторая теоремы Лежандра. Утверждения, эквивалентные аксиоме параллельности Плейфера: сумма углов какого-либо треугольника на плоскости равна развернутому углу, Фаркаша Бояи, Валлиса, Посидония, Лежандра. Аксиома параллельности Лобачевского. Элементы геометрии Лобачевского, вытекающие из утверждений, эквивалентных аксиоме па-
161
раллельности Плейфера. Интерпретация планиметрии Лобачевского на круге евклидовой плоскости.
Материал этого модуля достаточно интересен для изучения, так как в нем раскрывается значение аксиомы параллельности (пятого постулата Евклида) для логического обоснования школьного курса геометрии. Крайне интересны утверждения, равносильные аксиоме параллельности. Их логические отрицания приводят к теоремам и свойствам фигур, справедливым на плоскости Лобачевского.
Модуль 3. Геометрические построения на плоскости.
Геометрические построения на плоскости циркулем и линейкой. Методы решения задач на построения: конструктивных множеств, движений, подобий и гомотетии, алгебраический. Разрешимость задач на построение циркулем и линейкой. Построения инструментами, отличными от циркуля и линейки.
При изучении геометрических дисциплин программы бакалавриата студенты изучают основные приемы решения задач конструктивной геометрии. Поэтому основное значение при изучении этого модуля имеют разделы построения инструментами, отличными от циркуля и линейки: одной линейкой (построения Штейнера), одним циркулем (построения Мора-Маскерони), двусторонней линейкой и прямым углом.
Как отмечалось выше, магистранты, обучающиеся рассмотренному курсу геометрии, окончили программу бакалавриата педагогического образования, поэтому были знакомы с материалом базового курса геометрии.
Интересно рассмотреть программу этого курса для магистрантов, не имеющих базового образования. Цели ее освоения состоят в следующем. Предоставить студенту современное обоснование разделов курса геометрии, приводящих к неевклидовым пространствам, изучению их проективных интерпретаций. Изучить взаимосвязь алгебраических структур и геометрии евклидова и неевклидовых
162
пространств. Сформировать навыки активного применения теоретических знаний к практическим приложениям, в особенности, к обобщению понятий и утверждений элементарной геометрии. Изучить теоретические положения дополнительных разделов геометрии, необходимых для построения элективных и факультативных курсов, организации дополнительных занятий с учениками профильной школы. Сформировать уровень математической культуры, достаточный для осознанной ориентации в многообразии учебной литературы по математике и, в частности, по геометрии для школьников. Ознакомить с основными концепциями и направлениями развития геометрии с целью последующей успешной адаптации к возможным изменениям формы и содержания действующих стандартов образования.
Дисциплина состоит из следующих основных разделов: основания геометрии; проективные модели неевклидовых геометрий; геометрии над алгебрами комплексных, двойных и дуальных чисел.
В результате освоения дисциплины магистрант должен знать:
•роль и место аксиомы параллельности в построении школьного курса геометрии, утверждения, равносильные аксиоме параллельности, аксиоматику плоскости Лобачевского, основные свойства фигур на плоскости Лобачевского;
•проективные интерпретации аффинной и евклидовой геометрий, изоморфность стационарной подгруппы прямой группе аффинных преобразований плоскости, а стационарной подгруппы прямой с двумя комплексно-сопряженными точками — группе подобий евклидовой плоскости; проективную интерпретацию геометрических свойств прямых, треугольников и четырехугольников аффинной и евклидовой плоскостей, проективную интерпретацию свойств кривых второго порядка этих плоскостей;
•модель Келли-Клейна плоскости Лобачевского на проективной плоскости. Перпендикулярность прямых в мо-
163
дели Кэли—Клейна плоскости Лобачевского, вычисление расстояний между точками;
•свойства фигур на псевдоевклидовой плоскости; вычисление расстояний и углов на псевдоевклидовой плоскости, проективная интерпретация псевдоевклидовой плоскости, перпендикулярность прямых вычисление углов и расстояний в проективной интерпретации псевдоевклидовой плоскости;
•проективную интерпретацию эллиптической геометрии Римана, вычисление расстояний и углов на эллиптической плоскости, вычисление расстояний и углов в проективной интерпретации;
•свойства плоскостей комплексных, двойных и дуальных чисел, вычисление расстояний и углов между прямыми, простые и двойные отношения точек на комплексной плоскости, уравнения прямых и окружностей, евклидова геометрия как геометрия плоскости комплексных чисел, га-
лилеева как плоскость дуальных чисел и псевдоевклидова как плоскость двойных чисел.
Анализируя представленную информацию о рабочей программе курса «Избранные вопросы геометрии в профильной школе» можно утверждать, что ее реализация будет способствовать приобретению магистрантами компетенций, необходимых для эффективного преподавания геометрии в образовательных организациях любого профиля.
Как отмечалось выше, особую роль при подготовке магистров имеет модуль, включающем в себя методические дисциплины и направленный на освоение магистрантами методических знаний и компетенций, на основе которых можно подготовить и преподавать в профильной школе элективные курсы по геометрии. В нашей программе модуль включает в себя следующие дисциплины:
1.Теория и методика обучения геометрии в основной и профильной школах.
2.Научно-исследовательская работа учащихся по геометрии в основной и старшей школах.
164
3.Организация проектной деятельности по геометрии в основной и старшей школах.
4.Разработка и проектирование элективных курсов по геометрии для профильной школы.
5.Использование математических пакетов при обучении геометрии в основной и старшей школах.
6.Методика решения задач повышенной трудности.
7.Курсы по выбору: 3 курса по выбору по 3 зачетных единицы.
Общая трудоемкость модуля — 24 зачетные единицы.
Основными целями базовых курсов методического модуля является овладение магистрантами:
•фундаментальными знаниями по элементарной математике,
•целостным представлением о математике как науке
иее месте в современном мире и в системе наук, умением донести это представление до обучающихся,
•способностью использовать математический аппарат при изучении процессов и явлений реального мира и обучить этому учащихся,
•способностью решать все виды школьных математических задач и обучить этому умению все категории учащихся,
•способностью проектировать и осуществлять процесс обучения с ориентацией на цели обучения, воспитания
иразвития личности обучающегося в основной и профильной школе средствами математики на уроке и во внеурочной деятельности (исследовательской и проектной),
•способностью планировать, осуществлять научно-ис- следовательскую и методическую деятельность в составе различных проектных групп коллективов,
•способностью анализировать собственную профессиональную деятельность с целью ее совершенствования и оптимизации.
165
Для достижения поставленных целей изучение дисциплин методического модуля решает следующие ключевые задачи:
1.изучение основ теории и методики обучения геометрии с позиций дидактики, теории учебной деятельности и методов математики;
2.формирование представлений о педагогической технологии обучения геометрии;
3.развитие и совершенствование умений решать математические, учебные, методические задачи, связанные со школьным курсом геометрии в основной и профильной школах;
4.формирование интеллектуальных умений, умений и
навыков самостоятельной математической деятельности и методической проектировочной деятельности на уровне требований Концепции развития математического образования;
5. формирование умений учитывать индивидуальные особенности и способности обучающихся разных профилей подготовки в процессе обучения геометрии и осуществлять на этой основе личностно ориентированное обучение и педагогическую коррекцию.
Следует отметить, что выбор и сочетание целевых установок и содержания зависит и от частных целей подготовки каждого магистранта в отдельности, однако, во всех дисциплинах модуля обучающиеся:
1.работают над реальными профессиональными задачами, а не над искусственными ситуациями;
2.учатся в процессе анализа реальных проблем, участвуя в их обсуждении и поиске решения;
3.работают с различными базами информации для обоснованного выбора и аргументированного принятия решений, в контексте реальных профессиональных ситуаций;
166
4. учатся мыслить критически и нести ответственность за выбор своего решения.
Особая роль при реализации рассматриваемого модуля отводится исследовательской деятельности, которая предполагает активное познание педагогической действительности, выработку оригинальных стратегий профессионального поведения, успешное преобразование исходной ситуации. Подчеркнем, что формируемая исследовательская компетентность обладает универсальностью и может проявляться в любой области деятельности магистра образования.
Современныеисследователиполагают, чтометодическая подготовка магистров образования опирается на методологические знания в том числе, связанные с самостоятельным их переструктурированием для решения конкретных задач, а также со способами и методами обновления знаний, направленных на решение конкретных задачи в известных и новых ситуациях профессиональной деятельности.
Приведем пример рабочей программы дисциплины «Теория и методика обучения геометрии в основной и профильной школах». Она включает в себя следующие темы:
1.общие вопросы теории и методики обучения геометрии в основной школе;
2.пропедевтический курс геометрии и методика его изучения;
3.геометрические фигуры и их свойства и методика изучения;
4.геометрические построения на плоскости и методика их изучения;
5.геометрические величины в курсе планиметрии и методика их изучения;
6.геометрические преобразования фигур на плоскости
иметодика их изучения;
7.координаты и векторы на плоскости и методика их изучения;
167
8.методические особенности изучения курса стереоме-
трии;
9.взаимное расположение прямых, точек и плоскостей
впространстве и методика их изучения;
10.геометрические построения в пространстве и методика их изучения;
11.методика изучения геометрических фигур и их свойств в курсе стереометрии;
12.многогранники и методика их изучения;
13.тела вращения и методика их изучения;
14.геометрические величины в курсе стереометрии и методика их изучения.
В результате освоения дисциплины магистрант должен
знать и понимать:
•определения, свойства и взаимное расположение плоских геометрических фигур, их классификации, формулы вычисления геометрических величин плоских фигур, методы доказательства; методы координатный, векторный
игеометрических преобразований для доказательства теорем и решения геометрических задач на плоскости; методические приемы их изучения;
•методы доказательства теорем и логическое строение курса планиметрии;
•приемы изображения и построения фигур на плоскости, приемы дополнительных построений и чтения чертежей; методические приемы обучения учащихся;
•место геометрического материала в школьной программе основной школы, цели и преобладающие методы его изучения на разных ступенях и уровнях, в классах различного профиля, и идею фузионизма в изучении геометрии в средней школе;
•основные типы геометрических задач на плоскости, основные методы и приемы их решения;
168
•общие и специальные приемы поиска решения планиметрических задач на вычисление, доказательство, построение и методику обучения обучающихся поиску их решения;
•особенности методики обучения учащихся планиметрии и обучения решению основных типов геометрических задач;
•возможности и методику развития, воспитания всех групп учащихся средствами планиметрии.
•определения, свойства и взаимное расположение геометрических фигур в пространстве, их классификации; методические приемы их изучения;
•приемы изображения и построения фигур в стереометрии, приемы дополнительных построений и чтения чертежей; методические приемы обучения учащихся;
•методы доказательства теорем и логическое строение курса стереометрии;
•методы вывода формулы вычисления геометрических величин (длин, площадей поверхностей, объемов);
•общие и специальные приемы поиска решения стереометрических задач на вычисление, доказательство, построение и методику обучения обучающихся поиску их решения; методические приемы их изучения с учащимися разного уровня подготовки и выбранного профиля;
•место стереометрического материала в школьной программе профильной школы, цели и преобладающие методы его изучения на разных ступенях и уровнях, в классах различного профиля подготовки;
•общие и специальные приемы поиска решения стереометрических задач, методику обучения учащихся поиску их решения;
•особенности методики обучения учащихся стереометрии в профильной школе и обучения решению основных типов задач;
169
• возможности и методику развития, воспитания всех групп учащихся средствами стереометрии.
Уметь:
•определять, классифицировать, сравнивать и обобщать плоские геометрические фигуры; формулировать, символически записывать и доказывать их свойства различными методами, изучаемыми в школьном курсе геометрии основной школы;
•изображать и строить геометрические фигуры на плоскости, выбирать необходимые дополнительные построения и осуществлять их, грамотно читать чертеж;
•использовать общие и специальные приемы поиска и решения геометрических задач на вычисление, доказательство и построение плоских фигур; правильно записывать и оформлять решение геометрических задач;
•проверять, исследовать и обобщать решение;
•использовать геометрические представления при решении задач алгебры, тригонометрии, прикладных задач;
•проектировать процесс обучения планиметрии в основной школе;
•выделять, описывать, анализировать ошибки учащихся при изучении планиметрии, осуществлять на этой основе коррекционную работу;
•методически грамотно пользоваться различными школьными и вузовскими учебниками и пособиями по геометрии, научно-популярной литературой для учащихся.
•определять, классифицировать, сравнивать и обобщать геометрические фигуры в пространстве; формулировать, символически записывать и доказывать их свойства различными методами, изучаемыми в школьном курсе геометрии профильной школы;
•изображать и строить геометрические пространственные фигуры на чертеже, выбирать необходимые до-
170