Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

Рис. 1: Модель Мэйсона — Стэйси — Бертон процесса решения задачи

31

До начала 80-х годов, исследователи верили, что обучение эвристическим стратегиям, показ таких стратегий, определенных «правил мышления» учащимся может помочь последним научиться лучше решать задачи. Однако убедительных данных, которые показывали бы эффективность обучения таким стратегиям, не было [278].

Более того, как писал А. Шенфельд [277], в США, например, движение «за решение задач» во многих отношениях закончилось провалом. Причины этого, по мнению Шенфельда — преимущественно поверхностный подход к обучениюрешениюзадач, заключающийсялибовнатаскивании искусственным приемам решения «хитрых» задач, либо же в обучении механическим приемам решения элементарных текстовых задач. По мнению Шенфельда, нет большого смысла в решении задач, которые другие люди дают тебе для решения. Решение задач — не самоцель. Цель заключается в обучении мыслить математически (заметим, что именно так — «Мыслить математически», называется книга Мэйсона, Стэйси и Бертон, [160]). Математические курсы должны стать микрокосмами математической культуры,

где учащиеся являются членами математического сообщества, делающими математику. Задачи, которые Шенфельд отбирает для своих экспериментальных курсов, описанных

вкниге [275], обладают четырьмя свойствами:

1)Доступность, понимаемая как несложность в формулировке, отсутствие необходимости привлечения громоздкого научного аппарата для поиска решения. Это не означает легкости, тривиальности: например, студенты могут даже обсуждать, пытаться решать проблему четырех красок или великую теорему Ферма, не используя сложного математического аппарата.

2)Предпочтительны задачи, допускающие различные пути для решения. Пример: теорема Пифагора, для доказательства которой известны уже сотни способов.

3)Задачи и их решения должны служить для знакомства с важными математическими идеями.

32

4) Задачи должны служить «семенами» для математических «исследований». «Открытый» подход (о котором будет речь несколько ниже), а также выбор хороших задач, допускающих расширения и обобщения, вовлекают учащихся в делание математики.

Беккер [30] также обращает внимание на низкие результаты американских учащихся в решении задач, особенно в сравнении с японскими сверстниками. В качестве одной из важнейших причин такого преимущества японского математическогообразованияонназывает«открытыйподход» кпреподаванию математики, решение задач «с открытыми концами». Поэтому рассмотрим несколько подробнее эти подходы, используемые в японской системе обучения математике.

При открытом подходе деятельность учащихся должна включать в себя следующее ([280]; цитируется по [30]):

«математизация» ситуацийумелое использование знаний и умений учащихся

поиск математических правил или отношенийрешение задачвидение «открытий» и результатов других учащихся

рассмотрение и сравнение различных идей различных учащихся (т. е. проверка «математического качества» этих идей)

изменение и дальнейшее развитие идей учащихся.

Вслед за Шенфельдом, Беккер считает, что решение задач с «открытыми концами» ставит учащихся в «сердцевину» процесса решения задачи, заставляет их делать математику и думать математически. Он отмечает, что, хотя «открытый подход» близок к подходам, признанным приоритетными в стандартах американской системы обучения математике [3], «открытый подход» недостаточно широко распространен в обучении математике в США и особенно контрастирует с «замкнутыми задачами», свойственными американским учебникам. Поэтому он призывает коллег внимательнее изучить японский опыт.

33

Как пишет японский ученый Нохда [161], идея «открытого подхода» заключается в том, что взаимодействия между математическими идеями и поведением учащихся при решении задач являются открытыми. Таким образом, «открытый подход» предполагает, что решаемые задачи должны заключать в себе математические идеи. Используются нерутинные задачи типов: проблемные ситуации; задачипроцессы (т. е. задачи, где даны не все условия, и которые учащиеся, добавляя условия, сами должны окончательно сформулировать и решить); задачи с открытыми концами, т. е. задачи, которые учащиеся могут переформулировывать, получая новые; порождающие задачи — те, из которых, углубляя, можно получать новые, более сложные, иллюстрирующие интересные математические идеи; за-

дачи с многими решениями, открытые поисковые задачи.

Задача, по определению Нохды — не просто упражнение, а «проблема, которую обычно ставит перед учениками учитель и для решения которой нет предписанных способов». «Открытый подход» резко отличается от обычного, и даже в экспериментальных классах его используют лишь раз в месяц. Нохда предлагает различные схемы построения урока по методу «открытого подхода». Рассмотрим наиболее общую схему:

Рис. 2. Типичная схема урока по методу «открытого подхода»

34

Возможна и другая схема, когда центральную роль играют задачи «с открытыми концами»:

Рис. 3. Схема урока на задачи с «открытыми концами»

Другие схемы предусматривают обобщение, в конце урока, задач или способов их решения, вплоть до общих математических проблем и методов.

Большое внимание решению задач в обучении математике уделяется в Великобритании. Мэйсон [159] отмечает, что изменение экзаменационной системы в средней школе Великобритании в 1981 году подняло вес оценки исследовательской деятельности учащихся, которые должны писать курсовые работы — исследовательские, творческие проекты по математике. Однако многие учителя оказались не готовы к новым требованиям. Зачастую исследовательская деятельность просто имитируется: ученики обучаются тому, как писать исследования, в сущности не исследуя ничего. Мэйсон настаивает на том, что не только выполнение курсовых работ, но весь процесс обучения математике должен быть творческим, развивать математическое мышление учащихся.

Из других влиятельных направлений в европейском математическом образовании отметим движение за

35

«Реалистическое образование» (Нидерланды). Направление «Реалистическое образование» было заложено еще Фройденталем в 60-е годы в основанном им научно-ис- следовательском институте, ныне носящем его имя, и получило развитие в начатом в 1968 году проекте Wiskobas. Основными характеристиками «Реалистического математического образования» являются ([49], [244]):

•использование контекстов (т. е. задач из реальной жизни);

•использование моделей;

•использование собственных конструкций и выводов учащихся;

•интерактивный характер учебного процесса;

•переплетение различных путей учения.

Эти характеристики сближают «Реалистическое математическое образование» и с французской дидактикой, и с конструктивистским направлением. Движение за «Реалистическоематематическоеобразование» повлиялои на практику математического образования в Нидерландах. В соответствии с принципами «Реалистического математического образования» в 1993 году министерством образования Голландии были разработаны «Ключевые цели для начального математического образования» (заметим, что

вГолландии, как и в других европейских странах, начальными считаются классы с 1-го по 6-й, и цели показывают, чего должны достичь учащиеся к 12—летнему возрасту). 23 цели распределены по 6 группам. В группе «Общие умения» среди других (например, устный счет, знание таблиц сложения и умножения, пользование микрокалькулятором) обращает внимание такое: «Учащиеся могут обратить

вматематическую задачу простые проблемы, представленные нематематическим способом». В группе «Отношения и проценты» есть такое требование: «Учащиеся разбираются в понятии процента и могут производить практические

36

вычисления с процентами, представленными в простых контекстных ситуациях». В группе «Дроби»: «Учащиеся умеют сравнивать, складывать, вычитать, делить и умножать несложные дроби в простых контекстных ситуациях с помощью моделей». Особенно много требований в духе «Реалистического математического обучения» в группе «Измерения»: требования связаны и со счетом денег, и с мерами измерения физических величин; более того, «учащиеся должны уметь читать простые таблицы и диаграммы и сами создавать их на основе собственных исследований в простых контекстных ситуациях». Требования в группах «Письменные алгоритмы» и «Геометрия» также направлены главным образом на применение умений в жизненных ситуациях ([49] с. 20—21).

Обращает на себя внимание простота этих целей. Более того, сюда не входят многие программные требования, предъявляемые в других странах: решение задач, комбинаторика и т. д. Простота этих требований отражает свободу преподавания математики в Нидерландах. Например, до появления этих целей в Нидерландах вообще не было никаких централизованных решений и предписаний, касающихся учебников, оценки знаний и даже программ для начальной школы. Существовал лишь закон, предусматривавший список предметов (включая математику), подлежащих изучению. Все, что должно было преподаваться в рамках этих предметов, было отдано на ответственность учителей и школьных администраций (с. 19). Тем не менее учащиеся четвертых классов Нидерландов в Третьем международном обследовании по математике и естественным дисциплинам (Third International Mathematics and Science Study — TIMSS) показали лучшие результаты в Европе, уступив в мировом масштабе лишь учащимся восточно-азиат- ских стран — Сингапура, Южной Кореи, Японии и Гонконга (правда, в обследовании не участвовали учащиеся таких стран с сильным математическим образованием, как КНР и Румыния). Однако, ван ден Хеувель-Панхейзен ([49], с. 27)

37

усматривает здесь влияние движения за «Реалистическое математическое образование» лишь в том, что голландские школьники успешно использовали свой здравый смысл при решении относительно простых задач. Методы же, разработанные движением, предстоит дальше и сильнее внедрять в школьную практику, чтобы как можно больше учителей пользовались ими (с. 30—31).

Движение за «Критическое математическое образование» развивалось датским исследователем О. Сковсмосе

([221], [222]) и его сотрудниками. Сковсмосе ([222], с. 414)

определяет «критическое математическое образование» как такое, которое «можно организовать таким образом, что оно может бросить вызов недемократическим тенденциям в обществе». Сковсмосе пишет: «Критическое математическое образование не создает методы для обучения и исследования. Критическое математическое образование имеет дело с образовательными заботами» (с. 414, курсив в оригинале). Эти заботы — следующие: «(1) подготовка учащихся к гражданственности; (2) становление математики как орудия для анализа критических черт в общественной жизни; (3) внимание к интересам учащихся; (4) учет культурных конфликтов, сопровождающих школьное обучение;

(5) размышления о проблемах, которые может вызвать использование математики; общение в аудитории, поскольку личные взаимоотношения обеспечивают основу для демократической жизни» (с. 415).

Сковсмосе считает, что математика как основа технологии стоит в центре проблем, порождаемых использованием технологии. С другой стороны, математическое мышление — самое критичное мышление, и математическое образование может воспитывать в учащихся критичность мышления. Однако, как пишет Сковсмосе (с. 416), « мы не можем развивать математическое образование в слепом предположении, что математические знания сами по себе

38

обеспечивают критическое мышление». Вывод: необходимо

критическое математическое образование.

Философской основой движения служат труды лидера «Франкфуртской философской школы», основателя «Критической теории» в философии Т. Адорно, особенно глава «Образование после Освенцима» его книги «Образование для зрелости» [10].

Сковсмосе в своей книге «К философии критического математического образования» ввел понятие «рефлексивного знания». Он сравнивает математику (как основу технологии) с обоюдоострым мечом, который при неверном обращении может навредить, а не принести пользу. Поэтому в людях нужно воспитывать «компетенцию обоюдоострого меча». Математическое образование само по себе не обеспечивает такой компетентности. Учащиеся должны размышлять (рефлексировать) о смысле своего знания, о связанных с этим знанием глобальных вещах, о том, чему же они в конечном счете научились, изучая ту или иную тему.

И все же, несмотря на относительное разнообразие подходов, ведущими направлениями в зарубежных теориях математического образования в последние десятилетия оставались «Французская дидактика», исследование решения задач, а также конструктивизм.

К середине 90-х годов, однако, как отметил в своем докладе на 8-м Международном Конгрессе по математическому образованию в Севилье секретарь Международной комиссии по математическому образованию М. Нисс [162], интерес научного сообщества к исследованию решения задач как теоретическому направлению математического образования упал, как, впрочем, и к конструктивистскому направлению, в течение десятилетия господствовавшему в теории математического образования ряда стран, особенно США.

Рассмотрим особенности этого направления.

39

2.2. Конструктивизм в теории математического образования

Впервые термин «конструктивизм» в исследовании по математическому образованию появился в 1983 году [103], хотя введен он был несколько раньше Жаном Пиаже в более общем (чем исследование математического образования) контексте разрабатываемой им генетической эпистемологии (см., например, [1981]. Лидером конструктивистского движения в математическом образовании считается американский исследователь Э. фон Глазерсфельд, сформулировавший два основополагающих принципа конструктивизма

[63]:

1)Знание не воспринимается пассивно, а активно строится познающим субъектом.

2)Функция познания адаптивная и служит для организации данного в опыте мира, а не для открытия онтологической реальности.

Эти принципы были сформулированы Глазерсфельдом уже в 1975 году в его докладе обществу Ж. Пиаже в Филадельфии [230]. Однако, Стеффе и Киерен [230] относят начало влияния конструктивистских идей к еще более раннему времени — началу 70-х годов. Они считают эти идеи результатом влияния генетической эпистемологии Ж. Пиаже, а также реакцией на неудачу движения за введение «Новой математики» в школьные программы. Психологическим обоснованием этого движения (за «Новую математику»), по крайней мере в США, послужили теоретические положения Дж. Брунера [41], который, используя некоторые идеи Ж. Пиаже о генетических структурах, все же опирался в своей теории готовности к об-

учению [41] на фундаментальные структуры предмета

(в частности, математики). Приверженцы конструктивизма считают опору на фундаментальные структуры предмета уступкой картезианской эпистемологии — дуализму меж-

ду эндогенным, где первична мысль, и экзогенным, где

40