Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

ки (математического анализа, линейной алгебры и т. п.). Он предлагает «внутреннюю концепцию» каждого курса, пути, какими она развивалась, делать частью самого курса; обсуждать альтернативы и генетические аспекты, освещать мотивы, которые привели к определенной структуре курса. Осознание генетических аспектов, присущих как предмету, так и преподавательской концепции курса, должно, по мнению Райхеля, повысить квалификацию будущих учителей (с. 368). Райхель предлагает проводить регулярные неформальные встречи лектора или его ассистента со студентами, где студенты могли бы рефлексировать о содержании или значении лекций.

Куни и Крайнер [129] отмечают, что упор на рефлексию и самоанализ в подготовке учителей возрос с конца 80-х годов, с ростом влияния конструктивизма на математическое образование вообще и на образование учителей математики в частности. Необходимость рефлексии объясняется и тем обстоятельством, что учителям (будущим и работающим) в процессе их образования важно не только и не столько содержание знаний, сколько то, как эти знания воспринимаются. Отсюда — требование осознания ими самого процесса приобретения знаний. Обучение учителей математики должно быть таким, каким ожидается их собственное преподавание в будущем (с. 1162). Большое влияние на теорию образования учителей имели работы Шёна ([272], [273]),

который ввел понятие рефлектирующего практика и вы-

сказал предположение о том, что (будущий) учитель — рациональное, мыслящее существо, а не просто “объект подготовки”.

Наконец, в последние годы все чаще раздаются призывы привлекать учителей к участию в исследованиях в области математического образования. Это может быть как сотрудничество учителей с профессиональными исследователями [57], так и самостоятельная исследовательская работа учителей. Крайнер и Пош [119] описывают, как организовать рефлексию (будущих и работающих) учителей, предлагая

71

им записывать и анализировать свой опыт в письменном виде. Они отмечают, что систематические рефлексии учителей о собственной практике могут не только улучшить их преподавание, но и порождать материал для обсуждения, связанный с вопросами как подготовки учителей, так и математического образования в целом, то есть материал для исследований.

В современных условиях появилось требование изменения учителей — для того, чтобы они могли работать нетрадиционно, не так, как их самих учили в школе десятки лет назад, а в соответствии с нуждами образовательных реформ. Для этого необходимо изучать их убеждения (beliefs), о чем мы уже писали выше.

Таким образом, в зарубежной теории образования учителей математики выработалась следующая схема, характеризующая главные направления как подготовки будущих учителей, так и переподготовки работающих:

Рис. 6. Направления подготовки будущих (и переподготовки работающих) учителей.

Именно такая схема обсуждалась на секции подготовки учителей на 1-й Европейской конференции исследователей математического образования (CERME1) в Оснабрюке в 1998 году и была принята как возможная основа для дальнейших исследований образования учителей математики.

72

Один из руководителей этой секции, австрийский исследователь К. Крайнер [118] разработал идейно близкую к описанной схеме модель деятельности учителя, способствующей его развитию. Это — 4-мерная модель на координатной плоскости («отрицательные» части координатных осей характеризуют свои «размерности»):

Рис. 7. Модель деятельности учителя К. Крайнера ([118]; с. 310).

Крайнер пишет: «Опыт показывает, что место большинства учителей математики (и место большинства школ) в этой диаграмме в первой координатной четверти, т. е. обычно бывает много действий и автономии, но меньше рефлексии и взаимодействия, в смысле критического диалога об опыте преподавания с коллегами, специалистами по математическому образованию, с руководством школ, с общественностью и т. д.» (с. 310). Крайнер отмечает, что такое положение обусловлено традиционной ролью учителя как «одинокого воина», который должен быстро воспринимать окружающую обстановку и сразу принимать решения, с редкими контактами с коллегами. Австрийский исследователь предлагает исправить положение с помощью учреждений, занимающихся повышением квалификации учителей. Если обычно процесс переподготовки организовывается сверху и учителя выступают там лишь в роли слушателей, обучаемых, то Крайнер предлагает организовывать курсы повышения квалификации таким образом, чтобы учителя мате-

73

матики могли в живом общении обсуждать опыт друг друга, рефлексировать и даже заниматься, по мере возможностей, исследованиями.

Таким образом, главными достижениями зарубежной теории подготовки и переподготовки учителей математики были результаты, связанные с выявлением наиболее существенных направлений подготовки (знания—убеждения и действия—рефлексия), с описанием состава и структуры наиболее сложного компонента подготовки учителей — системы их знаний, признание необходимости собственных письменных исследований учителей, а также их активного взаимодействия и обмена опытом как друг с другом, так и с исследователями.

74

ГЛАВА 2. СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ

КПРЕДМЕТНОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

§1. Концентрированное обучение математике

Построению методики обучения математической дисциплине с учетом богатства и многообразия процесса обуче-

ния помогает принцип концентрированного обучения.

Принцип концентрированного обучения имеет аналогию в искусствоведении. Музыковедом Л. А. Мазелем [142] был сформулирован принцип множественного, концентрированного воздействия. Автор отмечал, что множественное и концентрированное воздействие не является монополией искусства и, в частности, представляет собой принцип целесообразной деятельности человека вообще.

Как и все основополагающие принципы искусства (обучения, человеческой деятельности вообще), принцип этот (возможно, в неполном и незаконченном виде) неоднократно «переоткрывался» многими исследователями, прежде всего в области художественного творчества, где он, разумеется, проявляется более явно. Близки к его открытию были создатель системы театрального творчества К. С. Станиславский и выдающийся кинорежиссер, теоретик кино С. М. Эйзенштейн. Проявлениями этого принципа являются почти все элементы системы принципов выразительности литературоведов А. Жолковского и Ю. Щеглова [91]:

Под принципом концентрированного обучения будем понимать положение о том, что для достижения существен-

75

ного образовательного эффекта необходимо применять целый комплекс приемов, направленных на осуществление максимально концентрированного воздействия на обучаемых. Комплекс включает в себя несколько групп приемов. Первая группа состоит из приемов, связанных с отбором и расположением учебного материала.

Давнюю историю имеют споры сторонников линейного и концентрического расположения материала.

Термин «концентризм» (в обучении) не является новым — он встречался еще в трудах немецких дидактов XIX века, влиянием которых на российскую школу возмущался Л. Толстой ([239], с. 323), и ему в разное время и разными авторами придавались различные значения. Наиболее распространенное понимание — следующее: предмет обучения разбивается на части — концентры, причем более поздние (по времени изучения) концентры в определенной степени повторяют и углубляют предыдущие. Так, в частности, понимал концентризм Л. С. Выготский: “Правило заключается в том, чтобы... сделать преподавание концентрическим, т. е. расположить предмет таким образом, чтобы он в возможно кратком и упрощенном виде был пройден сразу в полном объеме. Затем учитель возвращается к тому же предмету, но не для простого повторения уже бывшего, а для прохождения еще раз в углубленном и расширенном виде, с множеством новых фактов, обобщений и выводов, так что все заученное учениками повторяется вновь, но раскрывается с новой стороны, а новое так связывается с уже знакомым, что интерес легко возникает сам собой. В этом отношении как в науке, так и в жизни только новое о старом может заинтересовать нас” ([59], с. 87).

Интересные приемы концентрического обучения предлагал в свое время еще Дистервег [74].

Как принцип теории познания концентризм восходит к Гегелю, причем, как отмечал В. И. Ленин, процесс познания понимается Гегелем не как ряд концентрических кругов, а

76

скорее как спираль, на последующих витках которой происходит возврат к пройденному, но уже на более глубоком уровне ([134], с. 221).

Близок к гегелевскому пониманию подход А. Н. Колмогорова [106], с. 60): “После неумеренного увлечения “концентризмом” преподавания это слово стало, с точки зрения методистов, запретным и даже был выдвинут лишенный всякого содержания принцип “линейного” построения многолетнего курса, в частности математики. Однакоестественныйпорядокнаращиваниязнанийиумений всегда имеет характер “развития по спирали”. Например, изучив в восьмилетней школе ряд элементарных функций, мы возвращаемся к ним в IX и X классах, вооруженные понятием производной и т. п. Логика науки не знает никакого одного преимущественного «линейного» расположения материала (даже в пределах одной научной дисциплины). Она не требует, с другой стороны, и того, чтобы процесс наращивания знаний с неизбежным возвращением с новой точки зрения к ранее изученному распадался на «концентры». Говоря образно, «спираль» не обязательно разбивать на отдельные витки»».

Самый известный вариант концентризма в современной теории образования — “спиралевидная программа” Дж. Брунера ([41] и [42]).

Вкниге«Теоретическиеосновыпреподаванияматематики» видный западногерманский методист Э. Х. Виттман [56] много пишет об идеях, близких к концентризму. Уже во введении к книге он возводит принцип спирали (Spiralprinzip) в один из важнейших дидактических принципов, формулируя его следующим образом:

«Не следует откладывать изучение предмета до тех пор, пока его можно будет сразу объяснить в окончательном виде. Лучше рассмотреть основные элементы на более ранних ступенях в соответствующим образом упрощенной форме» (с. 9).

77

Виттман предлагает применять этот принцип в методической подготовке будущих учителей математики следующим образом:

«Будущий учитель не должен откладывать свои опыты в преподавании до тех пор, пока он основательно изучит математические, методические, психологические и педагогические вопросы и приемы. Лучше как можно скорее самому начать преподавать и непрерывно расширять свое понимание преподавания с помощью критического наблюдения «самостоятельно» пройденного пути и встретившихся на нем затруднений, с помощью взаимодействия с коллегами и опытными учителями, с помощью теоретических занятий...» (там же).

Дубинский, Даутерманн и др. [79] пишут о необходимости поиска альтернатив линейной последовательности в изучения математики, однако сомневаются в эффективности «спиралевидного» построения программы по Брунеру:

«Мы очень сильно верим, что альтернатива линейному расположению должна быть найдена. Многие студенты в самом деле подходят к изучению абстрактной алгебры, плохо понимая, что такое функция, а некоторые даже не умеют работать с множествами. Вероятно, предполагается, что они должны усилить свое понимание этих тем в курсе абстрактной алгебры. Точно так же, как генералы, кажется, всегда планируют предыдущий бой, студенты всегда оказываются изучающими предыдущий курс. ..

Мы чувствуем, однако, что данные опыта изучения математики студентами из этого и других исследований подсказывают, что «спиралевидная программа» Брунера может и не быть последним словом науки. Например... студент Ким... оказывается на нескольких различных уровнях одновременно. Ни линейная, ни спиралевидная последовательность не подходят для такого студента.

...Мы видели, как студенты одновременно строят свое понимание групп и подгрупп. Логически это лишено смыс-

78

ла. Вы не можете понять, что такое подгруппа, не зная, что такое группа. Но может быть и по-другому. Может быть, возможно начать с неполного понимания групп, с определенной подготовленностью по математике, некоторыми заблуждениями и множеством пробелов. Потом, пытаясь извлечь смысл из примеров и свойств подгрупп (появляющихся в среде, построенной учителем), студент улучшает свое понятие о группах. Это же продолжается с изоморфизмом, нормальностью, фактор-группами и т. д.

Предлагаемая альтернатива — обучение с помощью по-

следовательных улучшений — метод, обычный в разработ-

ке компьютерных программ. В этом подходе, студент постоянно имеет дело с целым — он лишь проходит через последовательность упрощенных вариантов, каждый из которых все сложнее и ближе к окончательному. Последовательные улучшения могут иметь место в различных направлениях, таких как степень формализованности, общности и т. д.» (с. 299—300).

Таким образом, авторы пытаются предложить новую идею — уже упоминавшуюся нами концепцию «последовательного усовершенствования» (впервые выдвинутую Лероном, [136]), противопоставляя его как линейному, так

испиралевидному расположению материала в программе. Лерон [137] писал: “Стандартная модель работы со сложными вещами заключается в расчленении темы в линейную последовательность крошечных “атомов”, затем в прохождении этой последовательности по этим “атомам” — один за другим. Модель последовательного усовершенствования предлагает имеющую право на существование альтернативу к работе со сложностями. В этой модели начинают с упрощенной версии рассматриваемого явления, потом последовательно отделывают ее, добавляя все больше и больше деталей, тонкостей и уточнений. Через весь процесс, учащийся постоянно имеет дело со всей картиной, хотя она

иможет быть расплывчатой и неточной на промежуточных этапах.

79

Однако, на наш взгляд, в идее последовательных улучшений нет ничего нового в добавление к пониманию концентризма, развитому еще предшественниками Брунера. Ведь еще Л. С. Выготский ([59], с. 87) призывал к тому, чтобы учащиеся как можно скорее овладели предметом в полном объеме (в упрощенном виде). То, что, владея понятиями лишь в предварительном виде, можно идти дальше и уже по ходу дела улучшать свое понимание, также высказывалось многими авторами, например, А. Г. Мордковичем [156].

О концентризме неоднократно писали известные советские методисты. Н. М. Бескин ([33], с. 61) выдвинул следу-

ющий принцип концентризма: “при первом ознакомлении с предметом или разделом учащийся должен получить о нем всестороннее, хотя бы и неполное представле-

ние”. В своей более ранней книге «Методика геометрии» [31] Н. М. Бескин писал о важности «второго чтения» курса: « Когда ученик проходит геометрию от урока к уроку, не зная, что будет впереди и как какая теорема будет использоваться, его поле зрения весьма узко. Когда он, пройдя значительную часть курса, начинает штудировать его сначала, то он с иной точки зрения смотрит на каждую теорему, зная наперед ее связи с другими вопросами. Поэтому повторение курса не есть механическое повторение. При повторении мы воспринимаем иначе, чем при первом прохождении» (с. 61).

В. М. Брадис в учебнике для педагогических институтов “Методика преподавания математики в средней школе” [38] подробно писал о линейном и концентрическом изложении материала. Отмечая, что традиционно некоторые разделы школьной математики (дроби, тригонометрия) проходятся концентрически, В. М. Брадис указывает на положительные и отрицательные стороны такого изложения:

“При концентрическом изложении 1) получается возможность больше считаться с возрастными особенностями учащихся, выбирая для каждого класса только посильный

80