Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

Первый уровень характеризуется убежденностью в чисто вычислительной природе математики, механическим учением по учебнику, где учащиеся повторяют стандартные процедуры, демонстрируемые учителем, где важны правильные ответы, полученные «правильными» способами.

Второй уровень характеризуется убежденностью в том, что в математике все делается «по правилам», хотя признается, что за правилами стоят понятия и принципы; в обучении признается важность наглядных пособий и элементов занимательности, необходимость «понимания» учащимися смысла понятий и утверждений, необходимость обучения решению задач (обучения «о решении задач»).

Наконец, третий уровень характеризуется взглядом на математику как на комплексную систему взаимосвязанных понятий, процедур и представлений; преподаванием «для понимания», причем понимание достигается за счет вовлечения учащихся в процесс «создания математики»; большой самостоятельной ролью учащихся, свободным выражением ими своих мнений; решение задач понимается как метод обучения (обучение «через решение задач»).

Пехконен ([176], с. 195) отмечает, что возможны и более высокие уровни, например, четвертый и т. д. Задача состоит в том, чтобы изменить убеждения учителей, если они находятся на низших уровнях.

В последние годы привлекает внимание исследователей сравнительное изучение связанных с математикой и ее преподаванием взглядов учащихся и учителей. Взгляды — это осознаваемые, но спонтанные и несвободные от аффективного компонента убеждения ([178], с. 33). Финский ученый Э. Пехконен совместно со специалистами ряда стран осуществил совместное исследование убеждений учащихся седьмых классов в этих странах ([175], [173], [176], [178], [179]). Обнаружено, что различия в убеждениях учащихся между странами более статистически значимы, чем внутри стран (проверялись гипотезы о равенстве средних с помо-

61

щью непараметрического теста Манна-Уитни). В последние годы проведены сравнительные исследования касающихся обучения математике убеждений учителей России и прибалтийских стран [93].

Таким образом, с ростом влияния конструктивизма внимание исследователей было привлечено к изучению касающихся математики и ее преподавания взглядов и убеждений учителей математики и учащихся. Были изучены наиболее популярные взгляды, в том числе предубеждения и предрассудки, как учащихся, так и учителей (работающих и будущих). Выявлено преобладание убежденности в чисто вычислительном характере математики и в том, что ее изучение должно сводиться к механическому заучиванию готовых знаний и получению правильных ответов по готовым алгоритмам и схемам. Выявленные взгляды и убеждения имеют большое значение для построения стратегий обучения. Кроме того, возникает задача изменения взглядов и убеждений учителей с тем, чтобы они могли работать в соответствии с современными требованиями.

2.4. Новые направления в теории подготовки учителей математики

Интенсивное развитие теории математического образования в последние три десятилетия не могло не повлиять на (по крайней мере, теоретические) подходы к подготовке учителей математики (включая учителей начальной школы, для которых математика является лишь одним из преподаваемых предметов). Как отмечает Куни [128], до 70-х годов практически не проводились исследования в области подготовки учителей математики. Подготовка же таких учителей включала вдобавок к обязательным математическим курсам, лишь курсы методики математики, где главное внимание уделялось частным методикам, изложенным в виде готовых предписаний (с. 615). Заметим, что в некоторых странах, например, в Италии, даже курсы методики вошли в

62

программы подготовки учителей математики лишь недавно и то не сразу стали обязательными [226].

Начиная с 70-х годов, в связи с интенсификацией исследований в области математического образования вообще, в развитых странах возросло внимание и к подготовке учителей математики. На рост этого внимания повлияла и неудача (отчасти объяснявшаяся слабой подготовленностью учителей) реформы по введению элементов «Новой математики» в школьные программы. Именно в 70-е годы в некоторых странах, например, в ФРГ, были проведены некоторые реформы в области подготовки учителей математики: было признано, что педагоги, ведущие подготовку учителей, должны вести и научно-исследовательскую работу, педагогические институты и академии получили права, аналогичные правам университетов (в них стали принимать лишь выпускников гимназий, появились права присуждения ученых степеней, в частности, за исследования в области математического образования, чего раньше не было). Постепенно почти все педагогические учебные заведения ФРГ были преобразованы в университеты или присоединены к университетам, осталось лишь несколько педагогиче-

ских вузов (Paedagogische Hochschule).

С ростом требований к подготовке учителей, в США в 70-е годы возникло движение за “образование учителей, основанное на компетентности” (Competency-based teacher education). Оно основывалось на предположении, что преподавание математики можно разбить на компоненты, которые можно взять за основу для образования учителей [143]. Теоретической основой движения были бихевиористские теории, поэтому практические задачи заключались в том, чтобы вырабатывать в будущих учителях «правильное» обучающее поведение. Движение пользовалось популярностью, и подготовленные в соответствии с его установками учителя демонстрировали различные типы обучающего поведения, которые с них требовали. Тем не менее, не совсем

63

было ясно, в чем же заключается правильное обучающее поведение. Предпринимались попытки выделить параметры учительского поведения, коррелирующие с успехами учащихся. Например, к таким параметрам относили ясность, вариативность, энтузиазм, деловую, ориентированную на задачи манеру [127]. Однако в экспериментах, проводимых в рамках движения, недоставало внимания к контексту, к развивающей функции уроков ([128], с. 621).

К концу 70-х годов, научное сообщество в области математического образования осознало необходимость глубокого теоретического изучения проблем подготовки учителей математики.

Этому способствовало и то, что примерно к этому времени социальные изменения в развитых странах привели к пониманию неоправданно большого разрыва между двумя подходами к подготовке учителей: 1) к подготовке учителей математики старших классов средней школы (гимназий, лицеев, коллежей и т. п.), где главное внимание уделялось изучению математики, и 2) к подготовке учителей начальной школы, где основное внимание уделялось педагогике, психологии и методике, в то время как сам предмет считался не столь уж важным аспектом преподавания ([55], с. 274). Признание того, что профессиональные знания всех учителей должны быть неким синтезом предмета и педагогических знаний, выдвинуло проблему: какова структура знаний, необходимых учителю математики?

Этому способствовало и быстрое развитие влиятельных направлений в исследовании математического образования — французской «дидактики математики» и конструктивизма.

Вопросу о структуре знаний учителя математики посвящены работы Флетчера [252], Авива и Куни [8], Элбаза

[285], Райхеля [191], Виттмана [52].

Предпринимались различные попытки выявления существенныхкомпонентзнанийучителейматематики. Наиболее простое деление предлагают Феннема и Франке [249]:

64

1) общепедагогические эвристики (т. е. общедидактические знания); 2) специфичные для предмета педагогические стратегии (т. е. методика преподавания математики); 3) знание самого предмета.

Эта классификация является обобщением появившихся несколько ранее предложений ряда авторов. Так, Шульман [284] делит знания учителей математики на 7 компонентов: 1) знание предмета; 2) педагогическое знание содержания; 3) знание другого содержания; 4) знание программы; 5) знание учащихся; 6) знание образовательных целей; 7) общепедагогические знания (работа Шульмана относится не только к математическому образованию). Вот как определяет Шульман педагогическое знание содержания: “...для наиболее регулярно преподаваемых тем предмета, наиболее полезные формы представления идей, самые сильные аналогии, иллюстрации, примеры, объяснения и демонстрации — словом, способы представления предмета, которые делают его доступным для других... Сюда включается также понимание того, что делает изучение тех или иных разделов легким или трудным: убеждений или предубеждений, которые учащиеся различных возрастов, с разным опытом привносят с собой в учение” (с. 9). Бромме [39] в применении к математическому образованию выделяет следующие компоненты: 1) знание содержания математики как дисциплины; 2) знание школьной математики; 3) философия школьной математики; 4) педагогические знания; 5) специфические для предмета педагогические знания; 6) когнитивная интеграция знаний из различных дисциплин.

Из этих довольно больших списков научным сообществом синтезированы и часто используются в исследованиях три компонента, близкие к выделенным в работе Феннема и Франке [249]: 1) знание содержания; 2) знание общей педагогики; 3) знание педагогики содержания. Некоторые исследователи, например, Петерсон [172], выделяют из последнего компонента когнициональное знание, понимая

65

под этим знание учителями особенностей мышления учащихся. С таким подходом согласуются и предъявляемые к знаниям учителей стандарты NCTM ([3]; с. 6):

1)знание математики и школьной математики;

2)знание учащихся как изучающих математику;

3)знание математической педагогики.

В совместной статье Г. Лаппан (бывшей в 1991 году президентом NCTM) с С. Тойле-Любенским [132] эти области изображены в виде пересекающихся кругов (см. рис. 5). Эти авторы обращают внимание на то, что эти области не только пересекаются, но и недостаточно четко определены, что затрудняет их использование для определения путей подготовки учителей.

Рис. 5: Области знаний учителей ([132]; с. 253).

Другой естественный вопрос, занимавший исследователей (Например, [135]): «Как устроены знания учителей именно как система, как соотносятся между собой различные компоненты этой системы?» Используя теорию персональных конструктов Дж. Келли (см., например, [255]), Лерер и Франке пришли к выводу, что системы знаний разных учителей различны по сложности структуры, и богатство и гибкость связей между различными компонентами знаний учителя коррелирует с его опытом и успешностью работы.

66

Разумеется, исследования системы и структуры знаний учителей математики были направлены на то, чтобы определить эффективные способы образования учителей.

Исследователей математического образования учителей беспокоил наблюдавшийся в университетах и педагогических вузах разрыв между математической и педагогической подготовкой учителей. Т. Дж. Флетчер ([253], с. 113) писал: «Когда мы преподаем математику будущим учителям средней школы, метод обучения не должен быть в стороне от предмета. Во многих педагогических учебных заведениях эти две компонента рассматриваются раздельно, однако хорошая математика и хорошая методика могут изучаться одновременно, к пользе обеих. Сделаем это нашей главной фундаментальной переменой».

На 6-м Международном Конгрессе по математическому образованию в Будапеште в 1988 году группа математиков и специалистов по подготовке учителей под руководством В. Дерфлера и Ф. Швайгера обсуждала проблемы образования будущих учителей математики средней школы. Участники обсуждения были едины в признании необходимости интеграции педагогических и математических требований к будущим учителям с раннего периода их обуче-

ния ([191], с. 367).

Работы Райхеля [191] и Виттмана [52] основаны на их выступлениях во время этого обсуждения. Виттман, говоря об интеграции элементов педагогики в математические курсы, цитирует Дьюи [82]:

«Знания, составляющие предмет изучения для будущего учителя, по сути своего предназначения, должны представлять собой организованный учебный предмет... Он выбран и упорядочен в соответствии с контролирующими интеллектуальными принципами. Следовательно, в самом учебном предмете заключается метод — метод подлинно наивысшего порядка, который человечество до сих пор придумало — научный метод. Излишне подчеркивать, что научный

67

метод есть метод самого сознания. Необходимо признать важность для квалификации учителя его собственных навыков пользования высшими типами методов мыслительных операций. Причем чем больше будущий учитель предполагает заниматься элементарным обучением, тем более (а вовсе не менее) необходим такой опыт... Только учитель, тщательно натренированный в высших уровнях интеллектуального метода, который, таким образом, постоянно ощущает своим сознанием, что означает адекватная и подлинная интеллектуальная деятельность, сможет не на словах, а на деле уважать умственную целостность и силу детей...

Нынешний разлад между обучением и научным методом вреден с обеих сторон — он разрушающе действует как на лучшие интересы высшего академического образования, так и на подготовку учителей. Но единственный способ ликвидировать этот разлад — так представлять предмет — с высшими ли, практическими ли, профессиональными ли целями — чтобы он воспринимался как объективное воплощение методов разума в его поисках истины вещей».

Из этого Виттман делает вывод, что элементы педагогики, дидактики, методики могут возникать в преподавании математической дисциплины из самого предмета.

Виттман предлагает свою программу интеграции педагогических элементов в математические курсы. Такие курсы не должны быть замкнуты «в узких рамках специальной дисциплины... а должны быть представлены в полном спектре своих связей с наукой, техникой, гуманитарными науками, с человеческой жизнью» ([52]; с. 276). Виттман ссылается на утверждение известного философа и логика Уайтхеда о том, что у образования есть только один предмет, а именно «жизнь во всех ее проявлениях». Виттман требует, чтобы математика для будущих учителей подавалась «как нераздельная часть культуры, чтобы она изучалась как язык и так, как изучают язык, а не как умозрительная и обособленная «игра в бисер»... Следовательно, эти курсы долж-

68

ны концентрироваться на более элементарных областях математики, поскольку именно эти области имеют богатейшие связи и вследствие этого сильнейший образовательный эффект» (с. 277). Виттман предлагает ввести для будущих учителей начальной школы и будущих учителей математики средних (следующих за начальными) классов курсы элементарной математики, разработанные с учетом дидактических, педагогических и психологических целей. Эти курсы должны быть напрямую связаны с содержанием школьной математики, давать адекватную трактовку соответствующих разделов элементарной алгебры (теории чисел и комбинаторики), элементарной геометрии, анализа и элементов теории вероятностей. Однако они должны идти гораздо дальше школьной математики как в глубине, так и в широте содержания. Курсы должны быть богаты связями с историей, культурой и окружающим миром. Онидолжны быть ориентированы на проблемы и процессы их разрешения, в них зримо должны быть включены эвристические приемы. Стиль этих курсов должен быть неформальным (содержательно-инту- итивным) включать многообразие способов представления материала, включая модели, картинки, диаграммы и т. п. В то же время следует избегать небрежности, некорректных представлений. И в элементарной математике не следует «откладывать на потом» логику. Курсы должны допускать многообразие форм обучения, например, исследования, чтение, а также учение в сотрудничестве, включая обсуждения и возрастающее осознание студентами собственных познавательных процессов. Курсы должны неявно иметь дело со школьным преподаванием, однако не нужно делать это явным, оставив обсуждение школьного преподавания методическим курсам. Виттман против объединения математических курсов с методическими и ссылается на Дьюи (1904): «Учащийся не может уделять равное внимание двум вещам одновременно».

Подготовка описываемых курсов — нелегкое дело. «Оно предполагает концептуальную реконструкцию элементар-

69

ных частей математики с образовательной точки зрения. Соответственно, мы имеем здесь подлинно междисциплинарную задачу, для выполнения которой элементы математики, ее истории, приложений, аспекты эпистемологии, психологии, педагогики, математические программы должны быть сведены воедино» ([52]; с. 278). Виттман сам приводит пример такого курса, основанного на применении счётов (наподобие обычных русских счётов).

Заметим, что идея создания интегративных (т. е. совмещающих и математическую, и методическую, и эпистемологическую и т. д. подготовку) курсов для будущих учителей математики начали звучать значительно раньше как статьи Виттмана ([191], так и конгресса в Будапеште. Об этом еще в 1965 году писал Пойа: «Все курсы, которые я читал учителям математики, были построены так, чтобы они могли служить в какой-то мере и курсами методики. ...Вывод важного факта или решение задачи почти всегда заканчивались обсуждением методического аспекта вопроса. «Можете ли вы применить это в ваших классных занятиях? — спрашивал я аудиторию. — Какой пункт программы допускает такое использование? На что следует обратить особое внимание? Как бы вы попытались изложить это классу?» Вопросы такого рода... регулярно включались также в экзаменационные билеты» ([185], с. 304).

О необходимости создания интегративных курсов писал А. Виттенберг ([54], с. 130, 158—159). Он сам разработал и преподавал в университете Лаваль (Канада) такой курс «Введение в философию математики», где математические темы совмещались с элементами истории и философии науки, эпистемологии [53].

Позднее курс примерно с такими же задачами разработали Дэйвис, Херш и Маркизотто [86].

Райхель [191], развивая мысли Виттмана, стремится указать, как, не разрабатывая новых курсов, вплетать элементы методики в «классические» курсы высшей математи-

70