Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

Вшестой главе изучаются сравнения с неизвестными.

Вопределении сравнений, их решений, равносильности можно опираться на знания студентов об уравнениях и их решениях, использовать соответствующие аналогии. В обучении приемам решения сравнений используется уже пройденный материал: полная система вычетов, подходящие дроби к цепным дробям.

Многие понятия и объекты, введенные в начале курса, далее многократно повторяются в различных ситуациях. Так, на протяжении всего курса важную роль играют поня-

тия отображения, отношения эквивалентности, бинарной алгебраической операции. Неоднократно повторяются и используются понятия перестановки, группы, кольца, поля, области целостности, класса вычетов, групп и колец классов вычетов, групп перестановок, гомоморфизма, его образа и ядра, подсистемы алгебраической системы, порядка (числа или класса вычетов по данному модулю, элемента группы, самой группы или ее подгруп-

пы), правила суммирования (в сокращенной записи), сло-

жения и умножения, методы математической индукции, доказательства от противного. Можно сказать, что эти понятия и приемы служат фундаментальными идеями нашего курса.

Еще одна чрезвычайно полезная разновидность повторения — это краткие резюме в конце многих разделов, глав, параграфов курса, где подводятся некоторые итоги, делаются выводы, в сжатом, концентрированном виде формулируются основные понятия, утверждения, алгоритмы.

В курсе также используется прием совмещения функций, что способствует экономии в отборе материала. Хотя этот прием и не отмечался специально в методической литературе, многие авторы учебников и научно-популярных книг (не только математических) использовали его в своей практике. Часто этот прием используют авторы различных руководств по грамматике, редактированию, верстке книг:

101

все действия иллюстрируются на работе с текстом самого руководства; более того, типичные ошибки или действия помещаются как раз в те слова, которыми обозначаются (называются) эти ошибки или действия (скажем, «слово, которое нужно набрать курсивом, подчеркивают волнистой линией»). Совмещение функций успешно используется в искусстве, когда, например, одни и те же объекты несут сразу несколько нагрузок: и содержательную, и композиционную, и еще вдобавок, например, символическую. Примеров этому много и в литературе, и в театральном искусстве, и в музыке, и в живописи, архитектуре.

На наш взгляд, проявлением приема совмещения функций является само помещение раздела «Теория чисел» в начало курса, поскольку, с одной стороны, курс служит солидной основой для дальнейшего изучения идей абстрактной алгебры и, с другой стороны, своей доступностью и обилием интересных задач способен привить первокурсникам положительное отношению к предмету «Алгебра и теория чисел».

Мы стараемся использовать одни и те же содержательные и плодотворные примеры в различных ситуациях, при изучении различных понятий и идей. В нашем курсе сквозными являются следующие примеры (в скобках указаны разделы, в которых они используются): треугольные числа (метод математической индукции, числовые функции и совершенные числа, треугольник Паскаля); числа Фибоначчи (треугольник Паскаля, цепные дроби и золотое сечение); классы вычетов (разбиения, классы эквивалентности, правые и левые смежные классы по подгруппе, смежные классы по нормальной подгруппе, по идеалу в кольце); группы, кольца и поля классов вычетов (конечные примеры этих алгебраических систем, идеалы, фактор-группы и факторкольца), перестановки (отображения конечных множеств, элементы комбинаторики, определители, симметрические многочлены), симметрические группы, особенно S3 (конеч-

102

ные группы, неабелевы группы, подгруппы, теорема Кэли, нормальные подгрупп и подгруппы, не являющиеся нормальными, смежные классы по нормальным подгруппам и подгруппам, не являющимся нормальными); отношение делимости (как отношение порядка); корни из единицы (комплексные числа, циклические групп и подгруппы, решение уравнений 3-й степени); матрицы (неабелевы группы, подгруппы, нормальные подгруппы, некоммутативные кольца, подкольца, идеалы, вся линейная алгебра) и т. п.

Как видим, они достаточно простые (скажем, рассматриваются группы классов вычетов и симметрические группы лишь небольших порядков, знакомы числовые системы), доступные для изучения и довольно интересные для студентов благодаря своим богатым свойствам, вследствие чего они и применяются в разнообразных, часто неожиданных контекстах.

Используемый нами следующий прием — зацепление — связан с предвосхищением и способствует также множественному воздействию. Укажем здесь некоторые случаи применения приема “зацепление”, когда материал одного раздела вплетается в материал другого.

Так, при изучении цепных дробей рассматривается

дящих дробей к которой являются числами Фибоначчи, а

выражающего отношение сторон такого прямоугольника, который подобен прямоугольнику, получающемуся, если от исходного отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне данного прямоугольника. При изучении числовых функций рассматриваются треугольные и совершенные

103

числа. Этим предвосхищаются некоторые свойства треугольника Паскаля, обсуждаемые при прохождении элементов комбинаторики. При изучении классов вычетов сразу вводятся группы и кольца, хотя соответствующие темы рассматриваются позднее. Этим достигается и предвосхищение дальнейшего материала, и построение связей между различными разделами, что способствует лучшему осознанию материала, владения им.

Рассматривая показатель, с которым простое число входит в разложение факториала, можно, наряду с рас-

предвосхищая комбинаторный материал.

Обсуждая примеры колец (§ 7 главы 9), мы упоминаем и в упрощенном виде рассматриваем и кольцо квадратных матриц 2-го порядка, и кольцо линейных преобразований плоскости, и кольцо многочленов с действительными коэффициентами.

ем ее со знакопеременной группой А3 и группой вычетов по модулю 3, строим соответствующие изоморфизмы.

Изучая векторные пространства со скалярным произведением и ортогональные системы векторов в них, мы берем в качестве примера пространство непрерывных на отрезке функций с системой ортогональных многочленов (тригонометрических) в качестве базиса, разложения функций в ряды Фурье, доводя это до практических приложений, например, для изучения волн и музыкальных звуков.

Таким образом, все вышеназванные элементы принципа концентрированного обучения систематически используются в предлагаемой нами программе и отдельных элементах курса «Алгебра и теория чисел».

104

Вкратце рассмотрим, как в отборе и приемах преподавания элементов курса «Алгебра и теория чисел» используются требования принципа концентрированного обучения, ка-

сающиеся множественного воздействия: конкретизация;

увеличение; повторение; подача (преподнесение, отказ); варьирование; разбиение; контраст; композиция (курса, раздела); сверхзадача; три способа получения субъектом информации об окружающем мире (действенный, нагляд- но-образный и словесно-символический); множественные представления; индивидуальный стиль; неожиданность и юмор (подробнее применение каждого приема будет упоминаться при последовательном рассмотрении элементов программы).

Конкретизация имеет место, например, тогда, когда мы излагаем теорию многочленов как приложение теорий областей целостности и евклидовых колец, теории делимости в этих алгебраических системах. Случаи конкретизации могут выстраиваться в последовательности, цепочки. Так, мы последовательно рассматриваем группоиды, полугруп-

пы, моноиды, группы, абелевы группы; кольца, области целостности, частными случаями которых являются, с од-

ной стороны, евклидовы кольца и кольца главных идеалов

и, с другой стороны, поля. Понятие соответствия между двумя множествами в случае равенства этих множеств конкретизируется в понятии бинарного отношения. Другой конкретизацией понятия соответствия между двумя множествами является понятие отображения, одной из конкретизаций которого является, в свою очередь, понятие алгебраической операции (например, бинарной).

Локальные проявления конкретизации заключаются в приведении конкретных примеров тех или иных понятий, объектов, действий, в рассмотрении различных частных случаев тех или иных утверждений и т. п.

Увеличение (усиление) имеет место тогда, когда, при изучении того или иного материала, для усиления воздей-

105

ствия материал раскрывается глубже и шире в максимально возможной или целесообразной для данной ситуации степени. Так, рассматриваярешетоЭратосфена, мыдлябольшего эффекта приводим пример на поиск всех простых чисел от 1 до 100, когда обнаруживается, что вычеркиваются числа, расположенные по вертикальным и диагональным линиям. Рассматривая числовые функции и среди них функциюn , значением которой является количество натуральных делителей аргумента, мы рассматриваем интересные при-

ложения этой функции — совершенные и дружественные

числа. Рассматривая цепные дроби, мы для усиления воздействия обсуждаем также бесконечные цепные дроби и их применение для рациональных приближений, разложение в цепную дробь квадратного корня из 2, золотого сечения, а также различные практические приложения цепных дробей. Начиная изучение групп, рассматриваем интересные примеры групп симметрий геометрических фигур. Изучая комплексные числа, рассматриваем эффектную формулу Эйлера, связывающую числа e и . При изучении решения систем линейных уравнений с помощью приведения к ступенчатому виду, мы усиливаем результат, преобразовы-

вая матрицу к приведенному ступенчатому виду (с нулями не только под, но и над первыми ненулевыми элементами строк), позволяющему более наглядно и эффективно исследовать и решать такие системы.

Чтобы показать эффективность использования ортогональных базисов, мы рассматриваем разложения функций в ряды Фурье.

Изучая (уже после линейной алгебры) группы, мы приводим трудный и содержательный пример общей линейной группы (невырожденных квадратных матриц), иллюстриру-

ющей понятия мультипликативной, бесконечной и неабелевой групп.

Мы подробно разбираем решение уравнений 3-й и 4-й степени, всевозможные случаи в зависимости от того, дей-

106

ствительные или нет коэффициенты, каков знак дискриминанта и т. п. В качестве усиления этих рассмотрений выступает обсуждение результатов Руффини, Абеля и Галуа о разрешимости уравнений с действительными коэффициентами.

Мы уже приводили выше примеры повторения.

Среди трех разновидностей подачи (предвосхищение, преподнесение, отказ) предвосхищение тоже уже рассматривалось выше.

Преподнесение имеет место в тех случаях, когда ощущается отсутствие того или иного понятия или объекта. В частности, можно сначала привести ряд примеров, иллюстрирующих понятие до введения его, а потом уже ввести это понятие. Скажем, так в нашем курсе вводится понятие деления с остатком. В других случаях можно перед изложением темы актуализировать материал предыдущих тем или даже смежных дисциплин. Так, прежде чем ввести понятие порядка числа (класса вычетов) по данному модулю, мы напоминаем теорему Эйлера и говорим, что для числа, взаимно простого с модулем, всегда можно найти такую натуральную степень, при возведении в которую получается новое число, сравнимое по данному модулю с единицей. Этот результат позволяет легко решать многие задачи на делимость и на нахождение остатков, однако еще более удобно было бы, если бы удавалось найти наименьшую такую степень.

Таким образом, преподнесение в какой-то степени связано с проблемным методом обучения. Еще более связан с этим методом прием отказа, когда сперва строится ситуация, противоположная желаемой, а лишь потом появляется, строится требуемое понятие, объект, процедура. Типичный пример — доказательство от противного. Сюда же относятся различные контрпримеры, когда невыполнение какого-либо условия утверждения или определения ведет к результатам, совершенно противоположным ожидае-

107

мым. Такие контрпримеры помогают лучше понять понятие или утверждение.

Варьирование проявляется в рассмотрении того или иного объекта с разных сторон, в разъяснении теоретического положения на серии различных примеров, в изложении различных доказательств одного и того же утверждения. Скажем, разъясняя определение группы, мы приводим все необходимые типичные примеры, на которых видны различия между разными типами групп: конечными и бесконечными, абелевыми и неабелевыми, аддитивными, мультипликативными и с другими операциями. Точно так же, приводятся типичные примеры конечного и бесконечного, коммутативного и некоммутативного колец (а также кольца без единицы); конечных и бесконечных полей; множества, не замкнутого относительно бинарной операции (т. е. такого, что операция задана лишь на собственном подмножестве); группоида, не являющегося полугруппой; полугруппы, не являющейся моноидом; моноида, не являющегося группой и т. п. Мы даем, например, два доказательства теоремы Эйлера: если число a взаимно просто с модулем m , то a m 1 modm : теоретико-числовое и теоретико-

групповое, опирающееся на теорему Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы.

При рассмотрении громоздких теоретических положений мы используем разбиение материала на более мелкие части. Вообще, весь материал структурирован, разбит на небольшие параграфы, а некоторые параграфы, в свою очередь, на пункты. Так, например, при изучении темы «Системы линейных уравнений» в отдельных параграфах рассматриваются: 1) ступенчатые и приведенные ступенчатые матрицы; 2) элементарные преобразования строк; 3) преобразование матрицы к приведенному ступенчатому виду; 4) решение системы методом Жордана — Гаусса. В конце каждого параграфа подводятся некоторые итоги, делается краткое резюме, выводы. Это облегчает усвоение материала, делает его доступнее. Другой пример: теореме

108

Кэли (о том, что всякая конечная группа изоморфна подгруппе некоторой симметрической группы) предшествует тщательное изучение свойств эпиморфизмов, мономорфизмов и изоморфизмов групп.

Контраст используется в нашем курсе для разъяснения определений, когда даются примеры, на которых ясно видны различия между вводимым понятием и смежными понятиями. Кроме того, некоторые понятия в определенном смысле противоположны друг другу. Можно отметить такие контрастные пары: простые и составные числа; обрати-

мые и необратимые элементы области целостности; абе-

левы и неабелевы группы; вырожденные и невырожденные

матрицы и т. д.

Мы уделяем внимание композиции как всего курса, так и отдельных его разделов. Курс начинается с экспозиции — введения, где намечаются все главные темы, и даются первоначальные понятия. Затем, на теоретико-числовом материала, идет постепенное накопление довольно доступного, но весьма содержательного материала, обладающего большим и глубоким идейным потенциалом для дальнейшего введения сложнейших понятий теорий алгебраических и других числовых систем. Сложность идет по нарастающей, однако время от времени трудный материал перемежается с элементами занимательного характера. Это особенно важно в наиболее затруднительных местах. Поэтому, например, мы вводим занимательный материал на начальном этапе изучения теории групп (группы симметрий геометрических фигур, интересные задачи на перестановки, игра в «15» и т. п.), в теориях бесконечных цепных дробей, симметрических многочленов.

Композиция отдельной главы (тематического раздела курса) обычно следующая: сначала идут мотивирующие или иллюстрирующие примеры, основные определения, простейшие свойства вводимых понятий или объектов (примеры, разумеется, могут следовать и после определений); да-

109

лее следуют основные относящиеся к теме результаты; ближе к концу главы располагаются главные теоремы; глава обычно завершается следствиями и приложениями главных теорем, иногда (это желательно) достаточно эффектными (например, глава о цепных дробях оканчивается занимательными приложениями этого понятия, глава о комплексных числах — неожиданной графической интерпретацией формулы Эйлера).

Точно так же, уделяется внимание и композиции отдельного параграфа. Некоторые параграфы начинаются с мотивирующих примеров, некоторые — с лемм, а есть такие, которые состоят из одних лишь утверждений с доказательствами, например, свойств тех или иных математических объектов. В концовке параграфов чаще всего — простые примеры, иллюстрирующие изучаемые понятия, краткие выводы, задачи для самостоятельного решения.

Главы и параграфы используются нами как в учебных и методических пособиях, так и в устном (лекционном) преподавании. Мы считаем, что лекции должны быть хорошо структурированы, чтобы студенты могли иметь удобные для самостоятельных занятий конспекты, хотя некоторые известные математики-педагоги, например, Гильберт (см. Рид, 1977), и относились к этому скептически. В самом деле, не имея конспекта или имея лишь хаотические, неупорядоченные или обрывочные записи, студент не в состоянии воспользоваться ими для самостоятельного повторения и углубления знаний и вынужден обращаться к учебникам, порой устаревшим или недостаточно умело или доступно написанным. Разумеется, встречаются сильные студенты, которые легко схватывают суть математических понятий, улавливают главное в лекции и успевают записывать основное — некий каркас, на основе которого затем, при домашней работе или подготовке к экзаменам, легко восстанавливают в уме содержание лекции. Можно специально приучать студентов к этому, предъявляя соответствующие

110