Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

первичны внешние объекты (не обязательно материальные), взглядами на мир. В частности, Брунер и инициаторы введения “Новой математики” в школьные программы отдавали предпочтение экзогенному подходу, опираясь на объективно существующие математические структуры. Это соответствует платонистскому взгляду на математику [84]. В то же время обрел влияние и эндогенный подход, развитый известным лингвистом, автором теории порождающих грамматик Н. Хомским в 60-е годы: “Вся структура идет изнутри” (т. е. человек изначально предрасположен к пониманию структур математики, как он предрасположен к пониманию грамматики посредством расположенных в центральной нервной системе специальных механизмов усвоения языка — порождающих грамматик). В 1976 года даже произошла дискуссия между Хомским и Пиаже [182], где выявились различия между подходом Хомского и теорией Пиаже, где в центре внимания — развитие гене-

тических структур посредством адаптации познающего субъекта к окружающим условиям. Тем не менее, Хомский

иПиаже сошлись в том, что оба отвергли позитивистские

иэмпирицистские подходы к исследованиям в области образования [148].

В70-е годы начали меняться взгляды на методологию исследований в области математического образования. Здесь, прежде всего, опять-таки велико было влияние Ж. Пиаже, который вводил генетические структуры не как ги- потетико-дедуктивную систему, а как модели, созданные, чтобы объяснить наблюдаемые способы действий детей. Таким образом, одной из задач дидактических исследований в конструктивистской перспективе стало строить собственные модели для объяснения механизмов, используемых людьми для построения математического знания (индивидуально или коллективно) в том или ином пространстве обучения [230]. В качестве методологического инструмента стали служить модификации клинических интервью (бесед

инаблюдений, напоминающих наблюдения картины болез-

41

ни в медицине), которыми в своих исследованиях пользовался Пиаже. По теории конструктивистов, собранные наблюдения подвергаются концептуальному анализу (термин Глазерсфельда), заключающемуся в построении вторичных моделей (т. е. моделей знаний познающего субъекта, которые наблюдатель строит для объяснения результатов наблюдений).

Сами представители конструктивистского направления признают, что на избавление методологии исследований от эмпирико-позитивистской ориентации серьезно повлияло знакомство американских специалистов, благодаря обзорам А. Вирзупа [198], с трудами советских ученых, в частности, с работами Л. С. Выготского и с разработанным советскими психологами каузально-генетическим мето-

дом исследования, что подразумевало новые методы науч-

ной работы — обучающие эксперименты [230]. Постепенно было признано, что исследователь-конструктивист должен не только строить модели, проводить клинические интервью, но и сам временами выступать в роли учителя, быть учителем-исследователем в своих обучающих экспериментах. В конструктивистском варианте методологии обучающего эксперимента ключевое место занимает «выдвижение гипотез о том, чему может обучиться учащийся и поиск путей для помощи в этом обучении» [228].

Главная идея Пиаже, на которую опирается конструктивистское направление — это идея об адаптивной природе интеллекта. Адаптация - то, что обеспечивает воздействие организма на среду и обратное воздействие среды на организм. Адаптация понимается как равновесие между ассимиляцией (или усвоением данного материала существующими схемами поведения) и аккомодацией (или приспособлением этих схем к определенной ситуации). В отличие от биологических процессов (как, например, происхождение видов по Дарвину), адаптация в интеллектуальной сфере имеет специфически функциональный характер (т. е. не сводится

42

к материальному, физико-химическому взаимному изменению организма и среды, а влияет только на деятельность).

Начиная с 1983 года, публикуется большое количество работ в конструктивистском направлении, главным образом в журнале американского Национального совета учителей математики — NCTM “Journal for research in mathematics education”. Важными моментами конструктивистского подхода являются следующие положения:

•использование математических умений и навыков как переменных не дает способа видеть, как учащиеся строят математические идеи;

•учащиеся с различной степенью развития могут получать одинаковые ответы в математических упражнениях, но способы, которыми они эти ответы получают, могут отличаться значительно.

Представители конструктивистского подхода исследовали процессы формирования различных математических понятий (например, Конфри [112], Леймон, [133]).

Разумеется, конструктивизм в математическом образовании имеет общие черты и с проблемным методом обучения (конструктивисты отрицают традиционные формы передачи знаний от учителя к ученикам путем изложения, отказываются от лекционной формы даже при обучении студентов — будущих учителей), и с деятельностным подходом, разработанным советскими психологами во главе с В. В. Давыдовым. Это и неудивительно — все эти направления развивались одновременно, используя современные достижения и психологии, и философии, и методологии самой математики.

Однако между конструктивистским подходом и направлениями, развитыми советскими психологами и специалистами по дидактике, имеются существенные различия. Во-первых, хотя и конструктивисты, и представители деятельностного подхода изучают способы формирования

43

понятий самими учащимися в процессе учебной деятельности, важную роль отводят рефлексии, они делают это с противоположных, с точки зрения теории познания, позиций. Если советская психологическая школа признает существование объективной реальности вне нашего сознания, то для конструктивистов имеют значение лишь когнитивные структуры, которые организм строит для разрешения задач, с которыми он сталкивается, а открытие онтологической реальности вообще не имеет значения [63]. Во-вторых, если при деятельностном подходе используются модели, в которых учащиеся воспроизводят “генетически исходное, существенное, всеобщее отношение, определяющее содержание и структуру объекта данных знаний”, чтобы изучать свойства этого отношения в чистом виде [72], то при конструктивистском подходе главным образом строятся и изучаются модели “второго порядка”, т. е. модели знаний индивида, которые исследователь строит для объяснения результатов своих наблюдений, опыта ([103].

Что же касается проблемного подхода, то конструктивисты, стремящиеся к тому, чтобы учащиеся строили свои математические знания в процессе разрешения тех или иных проблем, не считают, что следует заранее планировать весь процесс разрешения той или иной проблемы и построения знаний. Внимание акцентируется не на общих закономерностях формирования понятий (как в деятельностном подходе или в французской дидактике), а на особенностях построения знаний данным конкретным учащимся, данным конкретным классом. Большое значение при этом приобретают обратная связь и рефлексия в процессе обучения: для обучения тем или иным темам разрабатываются не планы, а стратегии, которые могут по ходу дела, в соответствии с реакциями и достижениями учащихся, корректироваться. Более того, наряду со знаниями и установками учащихся, в той же степени релевантными для построения стратегий обучения оказываются знания и установки (взгляды на математику и ее преподавание) учителей, которые, в свою

44

очередь, в процессе обучения могут меняться, развиваться. Таким образом, процесс обучения носит в какой-то степени симметричный характер: по ходу обучения учитель (исследователь) тоже учится — тому, как добиться, чтобы данный ученик, данный класс построил знания по данной теме.

Лидер конструктивизма фон Глазерсфельд и некоторые его последователи — Конфри [103], Стеффе, Киерен [230] и другие — представляют радикальное течение в рамках конструктивизма, которое сводит все исследования по математическому образованию к исследованию познавательных процессов отдельного индивида, причем познание трактуется как организация опыта субъекта, а не как познание объективной реальности. С позиций радикального конструктивизма, «познающий субъект — создание, которое порождает когнитивные схемы, чтобы руководить своими действиями и представлять свой опыт. Эти схемы проверяются на предмет «соответствия» миру опыта. Те, которые лучше «соответствуют», принимаются как руководство для дальнейших действий. Те, которые «не соответствуют», подвергаются изменениям или отбрасываются. Следовательно, познающий субъект в радикальном конструктивизме может быть описан как изолированный когнитивный одиночка, сражающийся за выживание во враждебном окружении. Подразумеваемая модель мира — мир, существующий в сознании (т. е. мир с позиций субъективного идеализма). Это — мир опыта познающего субъекта, напоминающий среду, окружающую животное — он доступен опыту, но познать его толком невозможно... Хотя мы можем строить предположения о знаниях других, интерпретируя их речь и действия с помощью наших собственных концептуальных построений, другие имеют свои реальности, независимые от наших. Именно реальности остальных, вместе с нашими собственными реальностями мы, люди, стремимся понять, но мы никогда не можем принять эти реальности как фиксированные» [289].

45

Заявив о себе к середине 80-х годов, конструктивизм в математическом образовании сразу начал подвергаться серьезной критике, во-первых, за отрицание объективной реальности, что в конечном счете вело к солипсизму ([97]; [50]; [245]), во-вторых, за отсутствие данных о приложимости результатов исследований конструктивистов на практи-

ке [40].

Уязвимость конструктивизма для критики обуславливалась еще и тем, что конструктивисты старались быть в своих исследованиях “рекурсивно последовательными” [113]. Это значит, что конструктивистская теория, как всякое знание, должна оцениваться по конструктивистским меркам, и считаться верной лишь «в той мере, в какой она оказывается полезной для построения смысла нашего опыта» [113], т. е., проще говоря, насколько она проявит себя полезной на практике.

Перед конструктивистами встала задача приложимости моделей, которые они строили, к реальности учебного процесса в аудитории. «С одной стороны, модель должна быть достаточно общей, чтобы объяснять математическое развитие ребенка. С другой стороны, она должна быть достаточно специфичной, чтобы объяснять развитие конкретного ребенка в конкретной обстановке обучения» [103].

Поскольку реальный учебный процесс происходит в аудитории (классе) и подразумевает общение учащихся с учителем и между собой, конструктивистам необходимо было учесть фактор общения в своей теории. Однако, как пишет Саймон [196], “лишь недавно были разработаны эмпирически обоснованные модели для исследования обучения математике в аудитории... Более ранняя эмпирическая работа, выводимая из, и являющаяся частью, эпистемологической теории, концентрировалась лишь на когнитивном развитии индивидуальных обучающихся” (с. 118). В 90-е годы стали развиваться новые разновидности конструкти-

визма — различные формы социального конструктивизма

46

[289]. Эрнест [289] различает индивидуалистически ориентированную и социально ориентированную формы соци-

ального конструктивизма.

Первая форма [58] следует идеям Пиаже и довольно близка к позициям радикального конструктивизма: «Для Пиаже, как и для современных радикальных конструктивистов, «другие», с которыми имеет место социальное взаимодействие, являются лишь частью среды, не больше и не меньше, чем любые из относительно «постоянных» объектов, которые ребенок строит на основе своего жизненного опыта» [64].

Однако представители этого течения больше внимания, нежели «чистые» радикальные конструктивисты, обращают на социальное взаимодействие в аудитории [230], хотя и остаются на позициях радикального конструктивизма: в отношении к процессам познания: они по-прежнему считают, что мир — это лишь тот мир, что есть в сознании индивида. В центре их подхода — вопрос о том, как согласуются социальное взаимодействие в аудитории и индивидуальное «построение» математики в сознании:

«...Объяснение познания математики учащимся должно брать в расчет развитие как «принятых-как- совместные» (“taken-as-shared”), коллективных значений

ипрактических действий, так и персональных значений

ипрактических действий индивидуального учащегося» [104]. Представитель этого течения Саймон [196] отмечает, что для понимания процесса обучения необходимо пси-

хологический анализ координировать с социологическим: “Психологический анализ математического урока концентрируется на знаниях математики и о математике индивидов, на их понимании математики других, на их взглядах на протекание математического урока. Социологический же анализ концентрируется на “принятом-как-совместное” знании и на социальных нормах урока. “Принятое-как- совместное” [105])... указывает, что члены классного

47

коллектива, не имея прямого доступа к пониманиям друг друга, достигают ощущения, что некоторые аспекты знания стали совместными, хотя у них и нет способов узнать, стали ли идеи на самом деле совместными... Социальные нормы включают ожидания членов коллектива от учителя

иучащихся, их взгляды на то, что значит заниматься математикой в этом коллективе, способы признания того, что является математически “валидным” ... Под “социальным конструктивизмом” мы и подразумеваем такую координацию психологического и социологического анализов” ([96]; с. 116). Саймон также отмечает (с. 116), что основой этого течения, наряду с радикальным конструктивизмом, является символический интеракционизм [35]. В частности, к данному течению относят и Бауэрсфельда [28], широко использующего символический интеракционизм в своих исследованиях. С другой стороны, внимание к «социальным нормам», т. е. представлениям учащихся и учителя о том, каким должен быть процесс обучения математике, сближает позицию социальных конструктивистов первой волны

сидеями Бруссо о «дидактическом контракте». Однако, если для Бруссо дидактический контракт имплицитен и не подлежит обсуждению, конструктивисты «описали...

тип беседы, концентрирующийся на том, что составляет уместную и эффективную математическую деятельность в аудитории. Такая дискуссия помогает установлению и изменению социальных норм для математической деятельности...» ([196]; с. 119).Кроме того, Саймон утверждает, что концепция «знания, принятого-как-совместное классным коллективом», согласуются с также принадлежащей Бруссо концепцией «институционализации» знаний, хотя

издесь мы можем отметить довольно глубокие различия. По теории Бруссо, решающая роль в институционализации принадлежит учителю, и «легализованные» (то есть «официально» оформленные с соблюдением определенных условностей и соглашений относительно формулировок)

48

учителем знания становятся не просто «принятыми-как- совместные» (данной аудиторией), но признанными этой аудиторией как часть накопленного человечеством «культурного знания» ([45]; с. 31).

Представители первой формы социального конструктивизма считают, что следует отказаться от лекций как средства для помощи обучающимся в формировании понятий ([196]; с. 141). Саймон считает, что «главные средства в распоряжении учителя математики... постановка проблем и заданий и поощрение рефлексии» (там же). Несколько шире подходят к задачам учителя Стеффе и д’Амброзио [229]: «постановка ситуаций, поощрение рефлексии, и интерактивное математическое общение» (с. 156). На взгляд этих авторов, учитель не может и не должен в точности следовать заранее спланированным целям: «Педагогиматематики не должны принимать свои цели в математическом образовании как фиксированные идеалы, которые не испытывают влияния их преподавательского опыта. Целевые структуры, установленные до практического опыта, суть лишь начальные точки и должны подвергаться опытному преобразованию в действительных эпизодах об-

учения» (Стеффе, 1991; с. 192).

Однако, Саймон [196] считает, что Стеффе недооценивает «циклическую природу учебного процесса» (с. 141). Сам Саймон предлагает использовать «Циклы обучения математике» как схематические модели циклических взаимоотношений знаний, мышления учителя, а также принятия им решений и, наконец, его действий ([196]; с. 135). По этой концепции, цели учителя могут быть выражены как направ-

ление для «гипотетической траектории учения», пред-

ставляющей собой ожидаемую тенденцию, предположение о том, по какому пути пойдет учение (какова будет траектория учения в действительности, заранее неизвестно).

49

Рис. 4. Цикл обучения математике (Саймон, 1995, с. 136).

Гипотетическая траектория учения состоит из трех компонент: учебной цели, определяющей направление, учебных действий, и гипотетического процесса учения — т. е. предположения о том, как мышление и понимание учащихся будут развертываться в контексте учебных действий.

50