Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

Таким образом, с учетом оценки знаний учащихся (точнее, неформальной оценки хода овладения понятиями) учитель меняет «гипотетическую траекторию обучения», причем эти изменения могут происходить как между уроками, так и во время урока, «на лету». Следовательно, временами от учителя могут ожидаться и экспромты. Сам Саймон признает, что его модель предъявляет довольно высокие требования к учителю: «Учителя должны иметь возможность использовать результаты соответствующих исследований о математическом мышлении, инновативные программные материалы, должны встречать дальнейшую профессиональную поддержку, чтобы отвечать требованиям к их роли» (с. 142). Идея о том, что учителя должны быть ознакомлены с достижениями науки о математическом мышлении детей, не является новой. Осуществлявшийся в 80-е годы в США исследовательский проект «Когнитивно управляемое обу-

чение» (Cognitively Guided Instruction) [94] как раз и заклю-

чался в том, что учителей знакомили с результатами исследований о мышлении детей, что позволяло учителям делать предположения о путях познания учащихся.

Итак, то существенно новое, что внесли радикальные конструктивисты и близкие к ним представители индивидуалистически ориентированного социального конструктивизма в практику обучения математике, заключается в двух главных моментах: во-первых, внимание к познавательным процессам каждого индивидуального учащегося; во-вторых, внимание к «обратной связи» в процессе обучения, выражающееся в оперативном изменении стратегии обучения с учетом развития знаний учителя о состоянии познавательных процессов учащихся.

Несмотря на то, что представители индивидуалистически ориентированного социального конструктивизма больше внимания, нежели «чистые» радикальные конструктивисты, обращают на социальное взаимодействие в аудитории, их позиция была подвергнута критике [289]: во-первых, они

51

недостаточно внимания уделяют глобальным общественнополитическим проблемам (например, проблеме воспитания математически грамотных граждан, способных продуктивно, ответственно и критически применять свои знания), связанным с образованием (Эрнест отмечает на стр. 336, что межличностные отношения в концепциях, близких к радикальному конструктивизму, рассматриваются как чисто соревновательные, по «закону джунглей»); во-вторых, в науке растет понимание того, что форма, генезис и обоснование знания социально обусловлены, что также не учитывается в индивидуалистически ориентированном социальном конструктивизме.

Эрнест в своем обзоре [289] подробно рассматривает вторую, социально ориентированную форму социального конструктивизма. Он видит корни этого течения в социологии, философии, символическом интеракционизме, а также в советской психологии, прежде всего в трудах Л. С. Выготского. Более того, опора на Выготского, а не на Пиаже, является главной отличительной чертой второй формы социального конструктивизма от первой (с. 331). Эрнест выделяет две главные задачи этого течения. Во-первых, это попытка ответить на вопрос: как объяснить природу общественного математического знания как социально сформированного? Во-вторых, как объяснить (в рамках социального конструктивизма) учение индивида, построение им математики? Для ответа на эти вопросы необходимо соединить персональное построение знания с персональным же вкладом в «объективное» (т. е. общественно признанное) математическое знание. В частности, для ответа на второй вопрос Эрнест важнейшим условием считает внимание к центральной роли языка для познания и мышления.

Эрнест считает, что индивидуальные субъекты и социальный мир неразрывно связаны, и отдельные люди развиваются через взаимодействия друг с другом (наряду с индивидуальными процессами). Здесь важны совместные общественные формы жизни и, в частности, совместные языко-

52

вые игры [52]. Мышление, в духе Выготского, понимается как интериоризированная речь [59]. Модель мира в социальном конструктивизме (по Эрнесту) — “общественная действительность, т. е. общественно построенный мир, который тесно связан с совместным опытом отдельных физических и социальных “миров”. Эта общественно построенная действительность постоянно меняется, чтобы соответствовать онтологической реальности (таким образом, представители этого течения все же признают существование, в конечном счете, онтологической реальности), а также предопределять ее восприятие в соответствии с общественно принятыми предположениями. Следовательно, человеческое знание никогда не дает “точной картины” реальности (в этом социальные конструктивисты соглашаются с радикальными). Ключевое отличие этой модели от опытного мира радикальных конструктивистов в том, что общественная действительность предшествует всякому индивиду, который социализируется, принимая ее модифицированную локальную версию как свой взгляд на мир, в то же время участвуя в дальнейшем развитии этой общественной действительности, которая, таким образом, никогда не остается статичной” ([289]; с. 332). Социальные конструктивисты придерживаются фаллибилистской философии математики, опираясь не только на труды Лакатоша, но и на концепцию “языковых игр” Л. Витгенштейна, и “теорию коммуникативного действия” Ю. Хабермаса [257]. Эрнест считает социальный конструктивизм не только теорией познания и обучения, но и философией образования [288]. Поэтому концепция Эрнеста включает в себя и учет общечеловеческих ценностей, на которых могут быть основаны взгляды на общество, на цели образования. К этим ценностям относятся, например: социальная справедливость, свобода, равенство, гуманитаризация, активная жизненная позиция, гражданственная критичность мышления. Сюда же относится осознание необходимости реформирования общества, представляющего собой основанную на неравенстве иерархию ([289]; с. 334). Концепция Эрнеста близка к «критической теории» Маркузе [144] и других пред-

53

ставителей «Франкфуртской школы» и этим сходна с уже упомянутой нами концепцией «критического математического образования» датских исследователей Меллин-Ольсена) и Сковсмосе [221]. В практических рекомендациях Эрнеста [289] к обычной практике конструктивистского преподавания (разработанной, например, Саймоном [196]) добавляются следующие элементы:

•лингвистическая основа математического знания, в частности, роль математической символики;

•осознание важности социальных контекстов, например, учет различий между «уличной» и школьной математикой;

•историко-культурный контекст математики.

Пока нет данных об успешном внедрении достижений конструктивизма в практику преподавания. Несмотря на то, что конструктивистское направление с середины 80-х до середины 90-х годов господствовало в журнале американского Национального совета учителей математики — NCTM “Journal for research in mathematics education”, в офици-

альных стандартах школьного преподавания математики [3] сам термин «конструктивизм» не упоминается. Можно лишь отметить, что требования, предъявляемые к учителям этими программами, не противоречат установкам конструктивизма и в какой-то степени соответствуют их духу. Согласно этим стандартам, основными задачами учителя математики являются:

«Постановка целей и выбор или создание математических заданий для помощи учащимся в достижении этих целей;

Стимулирование и поддержка аудиторного дискурса1 для того, чтобы и учащиеся, и учитель имели более ясное представление о том, что изучается;

1 Т. е. речевого общения, обсуждения (И. С.).

54

Поддержка аудиторной среды для преподавания и изучения математики;

Анализ учения учащихся, математических заданий и среды для принятия дальнейших решений в обучении» ([3];

с. 5.)

Вцелом же конструктивизм, интенсивно развивавшийся

впоследние полтора десятка лет, развивался главным образом как направление исследований, а не практики школьного образования или подготовки учителей. Израильская исследовательница А. Сфард ([232]; с. 405) в своем докладе на 8-м Международном Конгрессе по математическому образованию в Севилье в 1996 подвергла критике конструктивизм во всех его версиях — радикальной, социальной и «умеренной» за подход к обучению как «овладению» (знаниями) (признавая, что в подходе конструктивистов овладение осуществляется через самостоятельное «строительство»), в то время как более подходящим в современности является подход к обучению как «участию» (в процессе коммуникации) (А. Сфард считает, что лишь при таком подходе можно объяснить, почему индивидуальное знание согласуется с общечеловеческим).

Как отметил в своем выступлении на том же Конгрессе в Севилье секретарь Международной комиссии по математическому образованию М. Нисс [162], к середине 90-х годов с конструктивистские позиций стали привлекать меньше внимания и интереса у исследователей и, напротив, больше внимания стали привлекать неконструктивистские позиции в математическом образовании. С другой стороны, некоторые из направлений, интерес к которым возрастал или начал зарождаться в последние годы, как, например, исследование взглядов учителей и учащихся на математику и ее преподавание, исследование «продвинутого математического мышления», преподавание с помощью компьютеров, испытали значительное влияние конструктивизма при своем зарождении или развитии.

55

2.3. Убеждения учителей и учащихся, касающиеся математики и ее преподавания

Как уже было отмечено, конструктивистская модель преподавания требует, по возможности, учета особенностей познавательных процессов каждого учащегося. Кроме того, обучение зависит от знаний учителя, причем знаний, взятых в развитии: по ходу обучения каждой теме учитель обогащает свои знания об учащихся, о предмете, о методических аспектах темы и в соответствии с этим корректирует свою обучающую стратегию [196]. Ноддингс [164] пишет, что для понимания математического поведения учителей и учащихся необходимо знать их взгляды и убеждения (beliefs), касающиеся математики и ее преподавания. Таким образом, влияние конструктивизма породило новое направление в исследованиях: изучение взглядов и убеждений (beliefsresearch) учителей математики и учащихся1. Рокич [194] понимает убеждения (так мы будем переводить термин beliefs) как «любые простые утверждения (осознанные или неосознанные) которые можно вывести из того, что человек говорит или делает и перед которыми можно поставить высказывание: «Я верю, что...»». С середины 80-х годов публикуются работы, посвященные изучению убеждений учителей математики и учащихся: Томпсон ([240], [242]), Франк [254], Гарофало [60], Андерхилл ([12], [13]). Правда, исследователи до сих пор не пришли к единому мнению о том, что понимать под “beliefs”. Так, на 1-й Европейской конференции по исследованиям в области математического образования в Оснабрюке (август 1998 г.) предлагались следующие «синонимы» для этого термина: концепции, атти-

1 Необходимо отметить, что одна из первых работ, посвященных изучению ученического взгляда на математику [287], в свою очередь, стимулировала зарождение конструктивистских идей. Заметим также, что понятие beliefs обсуждалось когнитивными психологами еще задолго до публичного появления термина «кон-

структивизм» ([194];[7]; [219]).

56

тюды (психологический термин, выражающий отношение человека к тому или иному явлению), знания, практики,

образы, метафоры, взгляды, перспективы, ценности, имплицитные теории, персональные теории, личностные представления, самость, практические правила, фреймы, схемы, взгляды на мир.

Однако, как пишут в своем обзоре Пехконен и Тернер [180], центральным понятием, характеризующим систему регуляции структуры знания, служит понятие beliefs (убеждений). Убеждения находятся в «сумеречной зоне» между когнитивной и аффективной областями: они содержат компоненты из каждой из этих областей (с. 1). Они состоят из субъективных (основанных на опыте) имплицитных знаний индивида о математике и ее преподавании/изучении. Пехконен и Тернер называют концепциями осознанные убеждения, отличая их от глубинных, которые часто бывают бессознательными. Система убеждений индивида тесно переплетена с системой его знаний, так что даже трудно рассматривать эти системы изолированно друг от друга (с. 2).

Изложим вкратце основные результаты исследования убеждений учащихся.

В работе М. Франк ([254]; с. 33), в системе убеждений учащихся средних классов выделены следующие:

•математика — это вычисления;

•математические задачи должны быстро решаться в несколько шагов;

•цель занятий математикой — получение «правильных ответов»;

•роль обучающегося математике в том, чтобы получать математические знания и демонстрировать, что они получены;

•роль учителя математики в том, чтобы передавать математические знания и удостоверяться в том, что учащиеся получили эти знания.

57

В статье Гарофало [60] также рассматриваются убеждения учащихся средних классов. Здесь приведены следующие убеждения:

•почти все математические задачи могут быть решены прямым применением фактов, правил, формул и процедур, показанных учителем или данных в учебнике;

•упражнения в математическом учебнике могут быть решены лишь методами, представленными в учебнике; более того, упражнения могут быть решены лишь с помощью методов, представленных в том же разделе учебника, что и эти упражнения;

•важно знать только ту часть математики, знание которой будет проверяться учителем;

•математика создается только “гигантами мысли”, выдающимися творцами; остальные лишь пытаются изучать то, что им “дают”.

Шенфельд ([275], [276]), исследовав убеждения старшеклассников, выявил три наиболее значимых:

1.Формальная математика почти не связана с реальным мышлением или решением задач.

2.Если математическая задача вообще может быть решена, то она решается менее чем за 10 минут.

3.Только гении могут создавать математику, делать открытия.

Пехконен [174], исследовав убеждения 514 семиклассников, выявил, что учащиеся имеют прагматичный, ориентированный на вычисления и упражнения взгляд на математику.

Исследователи, изучавшие убеждения учащихся, пришли к выводу, что математические убеждения индивида образуют систему, которая имеет квази-логическую структуру

58

[66], в отличие от системы знаний, имеющей логическую структуру. Квази-логическая система убеждений состоит из первичных убеждений и производных убеждений, причем структура является уникальной (своей) для каждого отдельного индивида. В квази-логической структуре допускается, что отдельные элементы могут находиться в противоречии друг с другом (в системе же знаний противоречий быть не может).

Другим свойством системы убеждений является психо-

логическая центрированность [177]. Это значит, что убеж-

дения различаются по своей «силе»: некоторые являются более «центральными», другие, послабее — периферийными.

Третьим важным свойством системы убеждений является ее кластерная структура (т. е. убеждения можно группировать в кластеры взаимосвязанных между собой).

В самом деле, многие исследования связанных с математикой убеждений учащихся выявляли кластеры в системе убеждений. Так, Пехконен ([175]; с. 8) выделяет такие кластеры убеждений:

1.Основные вычисления.

2.Математическая строгость.

3.Механическое учение.

4.Ориентация на ученика.

5.Ориентация на учителя.

Немецкий исследователь Б. Циммерман [261], изучив убеждения 2658 гамбургских школьников 6—9 классов (главным образом семиклассников) и 107 учителей математики, выявил 2 больших кластера в множестве опрошенных: «ориентированных на задачи (проблемы)» и «ориентированных на схему».

Как уже отмечалось, убеждения учителей и учащихся во многом предопределяют ход учебного процесса. С другой стороны, убеждения учащихся отражают практику обуче-

59

ния — то, как им преподается математика. Более того, исследования убеждений учителей показывают [176], что их убеждения также определяются школьной практикой — как их прошлым опытом как учащихся в школе, так и влиянием коллег, школьной обстановки. Таким образом, для введения современных методов обучения важной становится задача изменения убеждений учителей — как в процессе их вузовской подготовки, так и в системе повышения квалификации.

Наиболее известны результаты об убеждениях учителей, полученные американской исследовательницей А. Томпсон. В работе [241] она рассматривает убеждения учителей о решении задач и выделяет следующие:

«1. В математике имеет значение лишь ответ, и если ответ получен, то задача решена.

2.Ответ надо получать правильным способом.

3.Ответ на математический вопрос обычно — число.

4.Каждый контекст (постановка задачи) связан с единственной процедурой для «получения» ответов.

5.Ключ к успеху в решении задач в том, чтобы знать и помнить, что надо делать» (Цитируется по [176], с. 184).

Позднее [242] она разработала модель развития убеждений учителей о преподавании математики:

«Предлагаемаямодельсостоитизтрехуровней. Каждый уровень характеризуется следующими концепциями:

Что такое математика.

Что значит учиться математике.Чему учит обучающий математике.

Какими должны быть роли учителя и учащегося.

В чем признаки (показатели) знаний учащихся и критерии для суждения о правильности, аккуратности и приемлемости математических результатов и выводов»

(Цитируется по Пехконен, [176], с. 194).

60