Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

Еще интереснее может быть использование математических пакетов для ЭВМ во время некоторых занятий (если есть такая возможность), например, демонстрационной версии мощнейшего пакета Maple V Release 4, бесплатно и свободно распространяемой по сети Internet. Эта версия позволяет осуществлять вычисления с комплексными числами, в том числе приближенные вычисления и вычисление корней вплоть до шестой степени (возможности демонстрационной степени, разумеется, значительно ограничены по сравнению с полной версией, которая позволяет приближенно искать все комплексные корни некоторых уравнений даже пятой степени). Из задач линейной алгебры можно решать системы линейных уравнений, вычислять определители, находить собственные значения и собственные векторы. Кроме того, можно разлагать многочлены и целые числа на множители и т. д.

Однако наиболее полезным как для углубления и упрочения знаний, так и для развития математического мышления студентов, по нашему опыту, оказывается самостоятельное составление ими компьютерных программ, реализующих алгоритмы, встречающиеся как в основном курсе, так и в дополнительных заданиях, например, при выполнении курсовых и дипломных работ.

Разумеется, более реальным оказывается выполнение подобных заданий в рамках научно-исследовательской работы. Студентами под нашим руководством написаны программы следующих алгоритмов: линейное представление наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел; разложение рационального числа в цепную дробь и вычисление подходящих дробей к ней; решение линейных неопределенных уравнений с двумя неизвестными и сравнений первой степени с помощью цепных дробей; вычисление квадратичной иррациональности по ее разложению в бесконечную периодическую цепную дробь; разложение квадратичной иррациональности в бесконечную периодическую цепную

121

дробь1; “китайские алгоритмы” (т. е. алгоритмы, основанные на “китайской теореме об остатках”) для целых чисел

имногочленов, позволяющие по остаткам числа при делении на простые числа восстанавливать это число, или же восстанавливать многочлен по его значениям (последний алгоритм эквивалентен алгоритму линейной интерполяции Лагранжа); построение группы классов вычетов или группы перестановок, проверка таких групп на коммутативность, поиск их подгрупп, проверка нормальности таких подгрупп; выделение кратных множителей многочлена; вычисление рациональных корней многочлена; решение уравнений 3-й

и4-й степени; представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов и т. д.

Программы писались разными студентами в разные годы независимо друг от друга на различных языках программирования: Фортран, БЕЙСИК, Паскаль. Отметим, что написание таких программ приближает научно-исследова- тельскую деятельность студентов к научному направлению, интенсивно развивающемуся сегодня на стыке современной алгебры и информатики: к компьютерной алгебре. Ведь многие задачи, подобные выполняемым нашими студентами, составляют содержание таких широко известных книг по программированию, как монографии Кнута [101]), Ахо, Хопкрофта и Ульмана [22], Акритаса [11].

Интересной представляется возможность использования в учебном процессе (в специально организованных лабораторных занятиях) написания студентами программ на языке программирования ISETL, разработанном в учебных целях для программирования задач теории множеств и аб-

1Это весьма нетривиальная задача; с помощью ее решения,

всвою очередь, можно находить решения широко известных неопределенных уравнений Пелля (Ферма) — уравнений второй степени вида x2 –Dy2 = 1 , “имеющих большое значение во всей теории диофантовых уравнений” ([47], с. 305).

122

страктной алгебры и бесплатно распространяемом через сеть Internet с разрешением неограниченного использова-

ния (см. [79]; [80]; [81]).

Зарубежные исследователи приходят к мысли, что самостоятельное программирование (на довольно простых алгоритмических языках) математических задач приносит больше пользы в обучении студентов, чем использование в учебном процессе готовых математических программных пакетов [166]. Это связано с тем, что при программировании решения даже простой математической задачи студент осознает внутреннюю алгоритмическую структуру этой задачи, думает над логическими препятствиями на пути к решению, расчленяет их и постепенно преодолевает. На наш взгляд, это особенно важно для будущих учителей, поскольку не просто воспитывает у них алгоритмическую культуру, необходимость которой уже общепризнан, но и учит их выявлять и подробно рассмотреть алгоритмическую и логическую структуру задачи, сущность логических затруднений на пути ее решения. Поэтому, на наш взгляд, использование компьютеров для самостоятельного программирования студентами учебных задач вполне согласуется с принципом концентрированного обучения (расчленение трудностей; отметим и другие проявления этого принципа при использовании компьютеров: численное экспериментирование, наглядная визуализация и поиск закономерностей — таким образом, компьютеры позволяют осуществлять различные способы передачи информации — действенный и нагляднообразный).

123

ГЛАВА 3. КУРС ГЕОМЕТРИИ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА КАК ОСНОВА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ. ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ КАФЕДРЫ ГЕОМЕТРИИ МПГУ

§ 1. Общие принципы постановки курса геометрии в педагогическом вузе

Как известно, особенностью школьного предмета «Геометрия» является уникальное сочетание наглядности и логической последовательности его построения. Никакая другая школьная дисциплина не обладает такими возможностями для развития логического мышления учащихся, высокой степени абстрагирования и не предъявляет к ним столь строгих требований к освоению. Геометрия по праву считается одной из основных дисциплин школьной программы по математике. Она имеет вековые традиции преподавания в российской школе. И, как известно, по сути является отдельным школьным предметом именно в российской школе, а не входит вперемешку с алгеброй в единый курс математики, как это принято в большинстве школьных программ в других странах.

Можно много дискутировать, следует ли следовать традициям в преподавании геометрии, нужно ли добиваться строгости и четкости при ее обучении школьников. В последнее время активно обсуждается вопрос, следует ли учеников обучать доказательствам теорем. От учителя требуется подготовить школьников к успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ, а для этого доказательства геометрических теорем не нужны, достаточно «натаскать» учеников на выполнение достаточно несложных тестов и решение простых задач. Сложные задания по геометрии выполняют лишь немногая

124

часть школьников, а именно те, кто видит себя в будущем студентами инженерных или естественнонаучных факультетов классических университетов. Очень странно слышать от студентов первокурсников, что они последний раз доказывали теоремы где-то в 8-ом классе и с удивлением узнали, что в педагогическом вузе опять что-то доказывают.

Так нужно или не нужно учить школьников, а, следовательно, и студентов педагогического вуза, доказательству геометрических теорем? Ответ мы сможем получить, если выясним, в чем же смысл изучения математики и, в частности, геометрии в школе. Никто не спорит, что математика служанка всех наук, особенно естественных. Обучение физике, химии, биологии, географии, а также других школьных предметов невозможно без использования математических знаний. Без них нельзя решить достаточно часто встречающиеся чисто житейские проблемы. Но нельзя же свести изучение математики к освоению компетенций, необходимых для преподавания указанных предметов. Еще в античные времена было замечено, как образно сформулировал М. В. Ломоносов, что «математика ум в порядок приводит». В древнегреческой системе обучения школьников последним и самым сложным предметом являлась философия. Но предварительно обучающийся должен был освоить геометрию, котораявтевременавключалавсебяпрактическивсе математические знания, иначе ученик не научится четко и логически грамотно мыслить и рассуждать. Именно поэтому при входе в общественный аффинный сад «Академия», где, как известно, преподавал Платон, висел лозунг, запрещающий входить тем, кто не знает геометрии. Так нужно или не нужно обучать школьников доказательству геометрических утверждений. Если поставить перед собой цель «натаскать» учеников на решение задач базового уровня ОГЭ и ЕГЭ, то, конечно, можно обойтись и без доказательств. Но обучение математике преследует и более серьезные цели. Ученик должен на определенном уровне освоить предмет, понять его логическую структуру, способы логических рассужде-

125

ний и научиться грамотно выражать свои мысли. Без освоения доказательств утверждений это сделать невозможно. Особое внимание при этом следует уделять решению задач, которые по сути являются в основном теоремами, требующими своих доказательств.

Ясно, что педагогическая деятельность учителя за последние 10 — 15 лет существенно изменилась. Сегодня учитель работает совсем в других условиях, как организационных, так и психологических, и методических, чем даже пять лет тому назад. Программы самого предмет «Математика», его частей «Алгебра и начала анализа» и «Геометрия» не претерпели существенного изменения. По сути, теоретический материал этого предмета, изучаемый в школе, не менялся с 17 века, со времен Л. Эйлера, но методика преподавания предмета существенно изменилась. Информационнокоммуникационные технологии (ИКТ) оказывают серьезное влияние на способы и методы преподавания математики.

XXI век уже по праву назван «Цифровой эпохой», а информационныетехнологииуверенновошливовсесферычеловеческой жизни. Современные инновационные процессы организации учебного процесса в любом образовательном учреждении направлены на внедрение в него ИКТ. У современного человека появилось огромное количество различных источников информации, расширились возможности для саморазвития, непрерывного обучения и совершенствования. Но, несмотря на широкий спектр предоставляемых возможностей и очевидные преимущества использования ИКТ в образовании, педагоги и психологи обеспокоены стремительными ростом проблем, связанных со снижением двигательной активности школьников, потерей связи между реальным и виртуальным миром, развитием «клиповости» мышления, увеличением числа так называемых «экранных детей», снижением уровня мотивации к обучению и рядом других проблем. Сейчас достаточно в поисковике Гугл или Яндекс набрать условие задачи, как тут же выскакивает ее решение. Необходимы особые методические приемы для

126

того, чтобы выполнить в таких условиях все требования обучения математике.

Обучение таким приемам не только задача курса «Методика преподавания математики», но не в меньшей степени базовых курсов «Геометрия» и «Элементарная геометрия».

Преподавание курса геометрии в педагогических высших учебных заведениях имеет давнюю традицию. При подготовке учителей в соответствии с Государственными образовательными стандартами и программы курса геометрии, и методика его изложения, в основном, ориентировались на ставший уже классическими учебниками авторов Атанасяна Л. С. и Базылева В. Т. ([15], [16]). Нам представляется неправильным в настоящих условиях менять структуру курса. Требует своего изменения методика его преподавания, в какой-то мере цели обучения, но не сама структура.

Федеральные государственные стандарты третьего поколения, профессиональный стандарт педагога диктуют новый, компетентностный подход к целям и задачам подготовки учителя. В них четко обозначены компетенции, которыми должен овладеть выпускник педагогического вуза, будущий учитель основной и старшей школы. Весь комплекс компетенций формируется всем циклом дисциплин направления подготовки, каждая дисциплина оказывает влияние на формирование их определенной части. Укажем те из них, которые отражены в стандарте, к освоению которых может иметь отношение курс геометрии.

Вобласти «общекультурные компетенции» выпуск-

ник должен быть готов: к толерантному восприятию социальных и культурных различий, уважительному и бережному отношению к историческому наследию и культурным традициям; готов работать с компьютером как средством управления информацией, использовать основные методы, способы и средства ее получения, хранения и переработки.

Вобласти «профессиональные компетенции» от вы-

пускника требуется: овладение основами речевой профес-

127

сиональной культуры; способность к подготовке и редактированию текстов профессионального и социально значимого содержания.

Вобласти «компетенции педагогической деятельно-

сти» выпускник должен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях; применяет современные методики и технологии, в том числе и информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения; использовать возможности образовательной среды для формирования универсальных видов учебной деятельности и обеспечения качества учебно-воспитательно- го процесса;

Вобласти «компетенции научно-исследовательской деятельности»: способен разрабатывать современные педагогические технологии с учетом особенностей образовательного процесса, задач воспитания и развития личности;

Вобласти «специальные компетенции» должен вла-

деть: основными положениями классических разделов математической науки, базовыми идеями и методами ма-

тематики, системой основных математических структур и аксиоматическим методом; культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой, способен понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими дисциплинами, реализовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем, пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументировано обосновывать имеющиеся знания; понимать универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности, роль и место математики в системе наук, ее значение для решения задач, возникающих в теории и практике, как средства моделирования явлений и

128

процессов, пользоваться построением математических моделей для решения практических проблем, понимать критерии качества математических исследований, принципы экспериментальной и эмпирической проверки научных теорий; владеть основными положениями истории развития математики, эволюцией математических идей и концепциями современной математической науки.

Следует отметить, что работа с компьютером, отнесены к общекультурным компетенциям. В этой части, очевидно, речь идет об общих навыках и компетенциях использования компьютерной техники как средство получения и обработки информации. Более специфические навыки использования компьютера отнесены к области компетенций педагогической деятельности. Хотя, на наш взгляд, учитывая важность и значимость использования ИКТ в учебном процессе, следовало такого рода компетенции вынести в отдельный блок.

Таким образом, можно сделать вывод, что освоение компетенций будет происходить по мере изучения материала курса геометрии как составной части математической подготовки учителя математики. Для этого не требуется использование каких-то специальных методических и педагогических приемов, они, по сути, наработаны вековой историей вузовского преподавания курса геометрии. Методика преподавания курса должна опираться на известные педагогические принципы. При этом основным из них является принцип профессионально-педагогической направленности постановки преподавания дисциплины. Мы не будем останавливаться на его описании, он достаточно хорошо исследован в методической литературе. Впервые был рассмотрен А. Г. Мордковичем [153] и до сих пор является основным для разработки методических приемов и технологий преподавания дисциплин высшей педагогической школы.

Методика преподавания существенно зависит от организации постановки учебного процесса, как аудиторных занятий и самостоятельной работы, так и системы оценивания усвоения знаний и освоения компетенций студентами.

129

Использование кредитно-модульной системы существенно меняет подходы к проведению лекций, практических и семинарских занятий, так и к организации самостоятельной работы. При этом самостоятельной работе уделяется повышенное внимание, особенно при обучении студентов - магистрантов. В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального педагогического образования при подготовке магистрантов бюджет учебного времени студента делится в пропорции 30% - аудиторных и 70% - самостоятельных занятий. Поэтому для правильной организации самостоятельной работы студентов необходимо в число учебных поручений преподавателей ввести отдельную позицию — контроль над самостоятельной работой студентов. В учебно-методических же комплексе дисциплины с особой тщательностью следует прописать как сами задания по самостоятельной работе, так и методические указания по ее выполнению и информацию о средствах контроля.

Для современной точки зрения на преподавания геометрии в педагогическом вузе характерна тенденция ее алгебраизации — последовательного применения алгебраического аппарата при изучении геометрических объектов, что отражает изменения, происходящие на протяжении длительного времени и в самой математике. Эта тенденция определяет тесную связь данного курса с курсом алгебры. Ряд разделов курса геометрии широко использует алгебраический аппарат, прежде всего, аппарат линейной алгебры. В меньшей мере последнее замечание касается курсов математического анализа и математической логики, хотя факты, изученные в названных курсах математики не менее важны при изучении разделов «Элементы топологии и дифференциальной геометрии» и «Основания геометрии». Но при этом не следует отказываться и от синтетического метода и способа рассуждений. Именно он являются основными методом доказательства в школьном курсе геометрии, и вносит истинную красоту в геометрические рассуждения.

130