Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

лентные этой аксиоме. С некоторыми из них можно познакомиться в пособиях [19], [21], [71].

Логические отрицания рассмотренных утверждений являются теоремами планиметрии Лобачевского. А именно:

•сумма углов любого треугольника на плоскости Лобачевского меньше суммы двух прямых углов;

•на плоскости Лобачевского существует треугольник, вокруг которого нельзя описать окружность;

•если соответственные углы двух треугольников равны между собой, то треугольники также равны друг другу (четвертый признак равенства треугольников на плоскости Лобачевского);

•на стороне любого острого угла существует точка, перпендикуляр, восставленный в которой к этой стороне, не пересекает вторую сторону;

•точки, равноудаленные от прямой плоскости Лобачевского, не принадлежат одной прямой.

Таким образом, рассмотренные утверждения не только дают представления студенту о роли аксиомы параллельности, но и позволяют очень компактно доказать важнейшие теоремы, справедливые в планиметрии Лобачевского.

Отметим также большое значение третьего модуля рассматриваемо части единого курса геометрии. К сожалению, приходится слышать совершенно фантастические ответы как школьников, так и взрослых людей на вопрос: «Что такое площадь фигуры?». Поэтому большое значение имеют теоремы существования и единственности длины отрезка и площади многоугольника. Также основополагающее значение в материале этого модуля имеют теоремы Бояи — Гервина и Дене — Кагана. Они во многом объясняют тот способы изучения свойств площадей многоугольников и объемов многогранников.

Нами осталась не рассмотренной еще одна часть единого курса геометрии.

151

Часть 8. Элементы топологии и дифференциальной геометрии.

Модуль 1. Элементы топологии.

Понятие топологического пространства, примеры. Метрическое пространство. Замкнутые множества топологических пространств и их свойства. Внутренние, внешние и граничные точки множеств топологических пространств и их свойства. Подпространства топологического пространства, примеры и свойства. Непрерывные отображения топологических пространств и гомеоморфизмы. Связность топологического пространства. Компактность и отделимость топологических пространств.

Понятие топологического многообразия. Клеточные разбиения Теорема Эйлера. Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Топологическая квалификация двумерных многообразий. Теорема Эйлера для многогранников. Теорема о существовании пяти типов правильных многогранников.

Модуль 2. Дифференциальная геометрия.

Понятия гладкой кривой и гладкой поверхности. Касательнаяккривой,длинадугикривой.Соприкасающаяся

испрямляющаяплоскостикривой. Сопровождающийтрехгранник Френе. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой. Вычисление кривизны и кручения кривой в произвольной параметризации. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Длина кривой на поверхности. Первая квадратичная форма. Вычисление угла между линиями на поверхности и площади куска поверхности. Кривизна линии на поверхности. Вторая квадратичная форма. Индикатриса Дюпена. Классификация точек поверхности. Главные направления

иглавные кривизны. Теорема Родрига и формула Эйлера. Полная и средняя кривизны поверхности. Поверхности постоянной кривизны.

152

Деривационныеформулыповерхности. ТеоремаГаусса о полной кривизне поверхности. Изгибание поверхности, внутренняя геометрия поверхности. Геодезические кривизна линии на поверхности и геодезические линии поверхности. Теорема Гаусса — Бонне.

Представленная, заключительная часть единого курса геометрии носит достаточно традиционный характер. Основные трудности, возникающие в процессе ее изучения студентами — сочетание понятий и свойств функций, изучаемых в курсе математического анализа, со свойствами геометрических объектов, которые изучаются в курсе векторной алгебры и аналитической геометрии. Особенно не просто работать со студентами, когда в учебном плане эта часть геометрии предшествует курсу дифференциальных уравнений.

Приходится констатировать, что на заключительные разделы, а именно изгибание поверхности, как правило, не хватает лекционных занятий. Поэтому одно из важнейших утверждений, которое крайне необходимо учителю, проходится в обзорном порядке. Речь идет об утверждении о том, что цилиндр и конус являются развертывающимися на плоскость поверхностями, а сфера таким свойством не обладает. Этим, по сути, объясняется, почему вывод формулы для вычисления площади поверхности сферы в школьных учебниках стереометрии намного сложнее, чем вывод аналогичных формул для цилиндра и конуса.

§ 4. Система дисциплин по выбору студента

Нами приведена и разобрана полная программа единого курса геометрии для бакалавриата по направлению «Педагогическое образование», профиль «Математика». Но базовый курс геометрии не обеспечивает полную геометрическую подготовку студентов — будущих учителей математики. Кафедра геометрии разработала полную систему

153

дисциплин по выбору, позволяющих предоставить студенту дополнительный материал, который позволяет считать завершенной геометрическую подготовку бакалавра — будущего учителя математики.

Система организации преподавания такого рода дисциплин требует своего совершенства. Так как речь идет о дисциплинах по выбору студента, то он должен иметь реальный выбор и посещать те курсы, которые считает нужным. Практика же реализации таких курсов показывает, что нередко студенты принудительно распределяются между этими дисциплинами. Для свободного выбора расписание следует составлять так, чтобы курсы стояли в разное время, а студент мог посещать любое количество из них. Такая организация практикуется в классических университетах, ее необходимо вводить и в педагогических вузах.

Дисциплины по выбору предназначены дополнить базовый курс геометрии. Кроме того, проводятся дополнительные занятия, как правило, семинары, по тематике курсовых и выпускных работ. Дисциплины по выбору крайне необходимы для подготовки будущего учителя математики. Они предоставляют студенту материал, необходимый при разработке самостоятельных программ факультативных курсов и дисциплин по выбору в профильных математических классах, для школьников, углубленно занимающихся математикой. Приведем темы некоторых из них: дополнительные главы конструктивной геометрии, построения одной линейкой и одним циркулем, многомерная геометрия, дополнительные главы дифференциальной геометрии и внутренняя геометрия поверхностей, проективные метрики и неевклидовы геометрии, дополнительные главы геометрии Лобачевского и ряд других.

Таким образом, базовый курс геометрии вместе с дисциплинами по выбору студента образуют полный комплекс предметов, обеспечивающих геометрическую подготовку бакалавров, будущих учителей математики.

154

§ 5. Магистерская программа кафедры геометрии

На современном этапе развития высшего образования отчетливо прослеживаются изменения в целевой и содержательной направленности магистерской подготовки. Актуальными являются такие вопросы: в чем специфика условий и требований в подготовке магистров образования? Каким должно быть содержание обеспечивающее достижение требований и выполнение условий? Как отобрать такое содержание? Как обеспечить обновление содержания подготовки, способствующее развитию профессиональных компетенций выпускников? Если рассматривать процесс эволюции магистерской подготовки учителей, начиная с 90-х годов прошлого века, то можно проследить изменения

вее целевой направленности: с подготовки исследователя, решающего научно-педагогические проблемы, к подготовке выпускника магистратуры для решения задач практики. Ранее магистров готовили, в основном, для научно-иссле- довательской и научно-педагогической деятельности с перспективой трудоустройства в научно-исследовательские педагогические институты и университеты. Сейчас перечень возможных видов и областей профессиональной деятельности магистра расширился. Востребована подготовка «инновационного» выпускника, готового к преобразованиям

впрофессиональной деятельности, способного видеть проблемы практики и решать ее, используя исследовательскую компетентность. Учитывать также следует и региональные проблемы системы образования, которые будут решать выпускники магистратуры. Таким образом, магистратура в области образования и педагогики должна представлять собой гибкую образовательную программу, специализированная подготовка в которой, в отличие от «широкого профиля» бакалавриата, способна претворить в жизнь стратегические инициативы развития образования в регионе. Если раньше

155

при реализации стандартов высшего профессионального образования первого и второго поколений магистерские программы были нацелены на подготовку исследователя для научно-исследовательской и научно-педагогической деятельности с перспективой продолжения обучения в аспирантуре или трудоустройства в научно-исследовательские институты и университеты. В настоящее время, в соответствии с современными стандартами высшего образования, магистра готовят как исследователя для решения задач, возникающих в процессе практической деятельности. Такая подготовка осуществляется в логике компетентностного подхода, то есть в контексте будущей профессиональной деятельности, и ориентирована на формирование деятельностной позиции, как в процессе обучения, так и профессиональной деятельности, целостного опыта решения новых проблем и задач практики.

Перечень возможных видов и областей приложений, освоенных магистром компетенций, существенно расширился. Востребована подготовка «инновационного» выпускника, готового к преобразованиям в профессиональной деятельности, способного видеть проблемы практики и решать ее, используя свои компетентности в области исследовательской деятельности. При этом в процессе обучения магистранта учитываются практические региональные проблемы в соответствующей области деятельности.

Как известно, процесс обучения достаточно консервативен, что вполне закономерно. Если педагогический процесс подвергаетсяпостояннымиизменениями, тоосвоениезнаний зайдет в тупик. Современный подход к подготовке учителей с одной стороны должен соответствовать современным процессам развития общества, накладывающим существенные, инновационные требования на функционирование системы образования, с другой стороны не переходить определенную меру по внедрению инноваций и изменений. Это основополагающее положение лежит в основе разработки магистерских программ педагогического образования. Магистратура в об-

156

ласти педагогического образования должна представлять собой гибкую образовательную программу, специализированная подготовка в которой, в отличие от «широкого профиля» бакалавриата, способна претворить в жизнь современные потребности в сфере образования.

Магистерские программы по математике по направлению «Педагогическое образование» становятся все более и более востребованы практическими учителями. Им необходимы более углубленные теоретические знания по всем направлениям подготовки, но в приложениях к решению реальных задач. Очевидно, следует готовить специалиста, который обладает широкими возможностями. Ему необходимо на высоко профессионально реализовывать образовательные программы разного уровня сложности, обладать психолого-педагоги- ческими, методическими, математическими теоретическими и практическими знаниями и компетенциями.

Следует отметить еще одно условие, которое необходимо учитывать при составлении и реализации магистерской программы, а именно исходный уровень образования будущих магистров. В настоящее время в образовательных организациях работает достаточно много учителей, имеющих высшее, но не педагогическое образование. С этим фактом мы столкнулись при организации заочной формы обучения учителей Калининградской области. В силу своей специфики, в ее образовательных учреждениях работает достаточно много такого рода учителей. Очевидно, их подготовка в магистратуре должна отличаться от подготовки магистрантов, имеющих высшее педагогическое образование. Особенно это отличие должно быть существенно в части психологопедагогической и методической подготовки.

Наибольшую сложность вызывает подготовка магистров, которые не работают в школе и не имеют педагогического образования. В соответствии с правилами приема поступить на магистерскую программу может любой абитуриент, имеющий высшее образование, не обязательно соответствую-

157

щее профилю магистратуры. Достаточно много абитуриентов хотят поменять свою трудовую деятельность, прийти на работу в школу, и, в этой связи, получить в достаточно короткие строки, за два (при очной) или два с половиной года (при заочной форме обучения) высшее педагогическое образование. Ясно, что подготовка таких магистрантов сталкивается с очень серьезными трудностями. Они с большим трудом осваивают дисциплины учебного плана. Для них незнакомы предметы психолого-педагогического блока, методика преподавания математики и с большим трудом изучаются математические дисциплины, если первое высшее образование было достаточно далеко от естественнонаучного или инженерно-технического.

Основное звено любой образовательной программа подготовки магистра представляет собой систему магистерских практик. В этой связи необходим новый подход к составлению их программ, ориентированный на готовность и способность магистранта видеть проблемы практической работы, решать их, опираясь на фундаментальную подготовку в областях математики, методики ее преподавания, педагогики и психологии.

Поэтому в результате реализации магистерской программы по математике по направлению «Педагогическое образование» обучающийся должен:

− получить специализированное знание, находящееся в передовой области сферы обучения и профессиональной деятельности;

− выработать критическое понимание основных вопросов, связанных со знанием в данной области обучения и профессиональной деятельности;

−сформировать специальные навыки решения проблем, необходимые для выполнения научно-исследовательской и инновационной деятельности;

− управлять и преобразовывать сложные трудовые и учебные процессы, требующие новых стратегических подходов;

158

− быть способным принимать на себя ответственность за развитие собственного профессионального знания и профессиональных практик, а также и за развитие педагогического коллектива.

Кратко цели и задачи подготовки магистрантов можно сформулировать следующим образом: углубление фундаментальной математической подготовки; освоение инновационных методик обучения, включая освоение ее новых форм и средств; формирование учебно-исследовательской деятельности, в том числе разработка новых инновационных методик, форм и средств обучения; применение полученных знаний и опыта деятельности в практической деятельности.

Разрабатывая образовательную программу магистерской подготовки по направлению 44.04.01 «Педагогическое образование» программа «Теория и методика обучения геометрии в основной и профильной школе», кафедра геометрии МПГУ ставила перед собой в качестве цели подготовку высококвалифицированного учителя — исследователя в области элементарной геометрии и методики ее преподавания. При этом рассматривались следующие задачи:

− углубление фундаментальной математической подготовки.

− освоение инновационных методик обучения, включая освоение ее новых форм и средств.

− формирование учебно-исследовательской деятельности, в том числе разработка новых инновационных методик, форм и средств обучения.

− применение полученных знаний и опыта деятельности в практической деятельности.

Обучение по программе магистратуры должно позволить магистрантам не только получить специализированное знание, находящееся в передовой области сферы обучения и профессиональной деятельности, но и выработать критическое понимание основных вопросов, связанных со

159

знанием в области обучения математике и профессиональной деятельности. Для чего необходимо сформировать специальные навыки выполнения научно-исследовательской и инновационной деятельности, способность управлять и преобразовывать сложные трудовые и учебные процессы, требующие новых подходов к их решению.

Разрабатывая вариативную часть программы, блок математических и методических дисциплин, было учтено следующее. В последнее время, как правило, в качестве дисциплин по выбору и факультативов для школьников предлагается материал по подготовке к ГИА и ЕГЭ. В указанной программа акцент сделан на другое. Так как в 2015 году на магистерскую программу поступили абитуриенты, имеющие высшее педагогическое образование, то планируя учебные дисциплины и их рабочие программы в качестве основной идеи было положена подготовка магистрантов к работе в профильных математических классах, а именно обучение их материалу, позволяющему составить и успешно реализовать программы вариативных и факультативных дисциплин, а также организовать эффективную внеклассную работу по математике. При этом сам материал должен иметь жесткую связь со школьной программой, но дополнять ее, предоставляя ученикам возможность познакомиться доступным образом с различными разделами высшей математики, в частности геометрии. Предлагаются к изучению следующие дисциплины:

1.Избранные вопросы алгебры в профильной школе, трудоемкость - 3 зачетные единицы.

2.Избранные вопросы математического анализа в профильной школе, трудоемкость - 3 зачетные единицы.

3.Избранные вопросы геометрии в профильной школе, трудоемкость - 3 зачетные единицы.

4.Практикум по решению олимпиадных задач по геометрии, трудоемкость - 3 зачетные единицы.

5.Теория и методика обучения геометрии в основной и профильной школах трудоемкость - 5 зачетных единиц.

160