Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

ставил вопрос о недостатках в деле профессиональной подготовки выпускников педагогических институтов, особенно в части математической подготовки. Проанализировав отчеты председателей государственных экзаменационных комиссий педвузов РСФСР за 1982 и 1983 годы, он выявил следующие недостатки: “формализм в знаниях; неумение приводить примеры и контрпримеры, применять теорию к предложенным примерам, выходить за рамки узкого круга заученных стандартных примеров практического применения того или иного математического утверждения” ([156], с. 42). Далее, А. Г. Мордкович отмечал, что на госэкзамене по методике преподавания математики “ответы многих выпускников сводятся к простому пересказу материала школьного учебника; студент говорит о том, что надо рассказывать, а не о том, как и почему надо излагать данный материал на уроке” (там же). А. Г. Мордкович первым обратил внимание на важную проблему: “Не исследованы возможности формирования методических взглядов будущего учителя в процессе преподавания математических дисциплин... При обучении а) математике, б) будущего учителя математики — проблема что преподавать, пожалуй, даже уступает по значимости проблеме как преподавать” (с. 43).

А. Г. Мордкович выдвинул четыре основополагающих принципа, определяющих профессионально-педагогиче- скую направленность математической подготовки будущих учителей: 1) фундаментализма (необходимость фундаментальной математической подготовки учителя математики), 2) бинарности (необходимость объединения общенаучной и методической линий как основы построения математических дисциплин в педвузе), 3) ведущей идеи (ведущей идеей каждого математического курса педвуза должно стать осуществление связей вузовского курса математики со школьным курсом математики), 4) непрерывности (все математические курсы должны участвовать в процессе непрерывного постижения студентами элементов педагогической деятельности).

11

Вслед за А. М. Пышкало ([158], с. 5—6), А. Г. Мордкович рассматривает (для педвузов) методическую систему обучения, состоящую из пяти взаимосвязанных компонентов:

целей, содержания, методов, форм и средств обучения.

Мордкович связывает выдвинутые им принципы с элементами методической системы и показывает, какие отсюда следуют выводы для практического преподавания.

В1989 году в Бюро Отделения математики Президиума Академии Наук СССР и на страницах журнала «Математика в школе» состоялось обсуждение состояния математического образования в педвузах СССР ([163], [36]). Была отмечена перегруженность математических программ пединститутов абстрактным, не связанным со школьной математикой материалом, рекомендовано до 50 % учебного времени на 1 курсе отводить на изучение элементарной математики. К сожалению, в результате обсуждения было рекомендовано «исключить из педвузовских программ курсы математической логики и числовых систем». И хотя в дальнейшем курс математической логики все же не был исключен, а лишь сокращен, курс числовых систем, как незадолго до того и курсы типа СОШКМ (НОШКМ) [современные (научные) основы школьной математики] был полностью изгнан из педвузовских программ. В результате студенты были лишены возможности глубоко изучить важнейшее для школьной математики понятие числа (от натурального вплоть до комплексного)

Всередине 90-х годов вышел целый ряд содержательных монографий, посвященных проблемам математической подготовки будущих учителей математики. В них нашли продолжение как идеи, развивавшиеся в русле концепции Мордковича о профессионально-педагогической направленности математических курсов, так и новые тенденции, обусловленные крупными социально-экономическими преобразованиями рубежа 90-х годов, которые, конечно же, не могли не затронуть сферу образования: концепция дифференциации математического образования (см. [37], [69],

12

[70], [75], [109]); связанная с этой концепцией (с уровневой дифференциацией) идея к переходу на многоуровневое высшее образование; гуманизация математического обра-

зования ([76], [62], [199], [157]).

Работа Г. Г. Хамова [259] целиком посвящена построению методической системы обучения одной из педвузовских дисциплин — курса алгебры и теории чисел на принципах профессионально-педагогического подхода, введенных А. Г. Мордковичем. Г. Г. Хамов призывает интенсивнее использовать в построении такой методической системы современные результаты общепедагогических, дидактических и психологических исследований. Г. Г. Хамов предлагает строить методическую систему в виде спирали, «витки» которой соответствовали бы уровням формирования основ профессионального мастерства будущего учителя математики, причем методические функции компонентов методической системы обогащались бы по мере развития методической системы, т. е. от «витка» к «витку». Одним из закономерных следствий такого спиралевидного построения методической системы является предложение двухступенчатой структуры педвузовского курса алгебры и теории чисел, программа которого также была составлена Г. Г. Хамовым [258].

В ряде трудов получила развитие, причем по-разному, идея моделирования, которая подчеркивалась в работах середины 80-х В. В. Давыдова [72] и А. Г. Мордковича [156].

Так, в диссертации А. В. Ястребова [293] в качестве средства оптимизации обучения студентов педвуза пред-

лагается моделирование научных исследований, в частно-

сти, составление учебников и задачников, способствующих выполнению студентами тех или иных мини-исследований. Е. И. Смирнов же ([225] предлагает широкое использование моделей в качестве составной части новой, наглядно-мо- дельной технологии обучения математике студентов педвузов. Кроме того, он обращает внимание на проведение

13

принципа модульности в математическом образовании будущих учителей (т. е. математические курсы должны строиться из блоков — «модулей», комбинируя которые, можно было бы готовить учителей различного уровня и профиля).

В. А. Тестов [233] подчеркивает важность преемственности обучения математике в школе и в дальнейшем в вузе. Одним из средств, способствующих достижению этой цели, является, на его взгляд, использование математических структур как научно-методической основы для построения математических курсов, особенно для будущих учителей.

Для разработки проблем математической подготовки будущих учителей представляют интерес также работы по общей дидактике и педагогике. Так, в 1976 году В. А. Сластенин отмечал, что обучение студентов по механизмам и конечным целям должно сближаться с научным познанием ([223], с. 68). Он писал также о коренных изменениях, которые должны произойти в дидактике высшей школы:

“В дидактике высшей школы веками складывался догматический тип обучения. Его продуктом, как правило, были формальные знания. Наряду с этим получил развитие объяснительный тип преподавания, преимущество которого состоит в том, что у обучающегося развивают не только память, но также наблюдательность и мышление, значительное внимание уделяют применению знаний, широко используют упражнения, практические работы. Однако среди всех упражнений преобладает выполнение заданий по инструкции, готовому образцу. Таким образом, широко применяемое в современной высшей школе объяснительное обучение имеет много неоспоримых преимуществ, но оно делает ставку на воспроизводящее (репродуктивное) и не способствует развитию творческого (продуктивного) мышления у студентов. Конечно, не следует противопоставлять воспроизводящее мышление творческому. Но если в вузе станет господствовать только объяснительное обучение, то мы будем выпускать специалистов созерцательного типа.

14

Это будут педагоги, умеющие усваивать знания и воспроизводить научные истины, но пасующие в ситуациях, требующих самостоятельного мышления, не способные самостоятельно добывать знания и творчески относиться к делу. Такие учителя нуждаются в рецептах для решения любой педагогической задачи; они стремятся получить методические разработки для каждого урока, для каждого внеклассного мероприятия.

На смену догматическому и объяснительному преподаванию в высшую школу приходит система обучения, в основе которой лежит не информационное сообщение знаний, а организация самостоятельного “добывания” их студентом; будущий учитель выступает как своеобразный добыватель истины” (там же, с. 60).

В. А. Сластенин предлагает строить познавательный процесс вокруг “ведущих идей” (там же, с. 60), что сближает его позицию с концепциями “фундаментальных идей” Брунера (1962) и современных немецких методистов.

В монографии “Дидактика средней школы” [218] с современных позиций переосмыслены принципы обучения (с. 4889), подробно и глубоко разработана логика учебного процесса (с. 174—179). Эти разработки, на наш взгляд, должны учитываться при подготовке учителей для работы в школе. С другой стороны, они непосредственно приложимы к учебному процессу в высшей школе, в частности, к математической подготовке будущих учителей.

М. А. Чошанов [263] предлагает повысить компетентность (способность к актуальному выполнению деятельности) специалистов с помощью технологии проблемно-мо- дульного обучения (т. е. сочетания проблемного обучения (см. [146], [147]) с модульным построением учебных программ). Проведя ретроспективный анализ методов обучения, Чошанов классифицирует их и отбирает для предлагаемой технологии следующие, на его взгляд, наиболее эффективные: 1) генетический; 2) дидактического моде-

15

лирования; 3) информационной накачки; 4) укрупненных проблем; 5) опоры на ошибки. Мы считаем, что предлагаемая М. А. Чошановым технология может быть полезна и в математическом образовании будущих учителей.

Отметим, что целый ряд авторов считает, что методика преподавания математических дисциплин в педагогическом вузе должна служить для студентов — будущих учителей источником методических идей, способствующим формированию у них современных методических взглядов и умений и в определенном смысле — образцом, следуя которому они могут в дальнейшем строить свою профессиональную деятельность. Об этом писал еще Дистервег ([73], с. 332—333): «Учитель семинарии не может применять к семинаристу никакого другого способа обучения, кроме того, какой семинарист должен употреблять по отношению к своим ученикам, ибо они применяют не так, как им говорят, чтобы они применяли, а так, как они этому учились и испытали на себе». Из отечественных исследователей на это обращали внимание А. Г. Мордкович (принцип бинарности), Г. И. Саранцев [198] и М. Н. Скаткин ([217], с. 62): «Учителя учат так, как учили их самих. Вот почему, если мы хотим внедрить в школьную практику какие-нибудь новые методы преподавания, лучший путь — применять эти методы на занятиях с самими учителями».

Таким образом, в математической подготовке студентов педагогических институтов по-прежнему остаются актуальными такие проблемы:

1)низкий уровень владения современным математическим знанием;

2)слабое знание связей между вузовским и школьным курсами математики;

3)приверженность студентов и преподавателей педвузов в основном догматическому и объяснительному типам обучения.

16

Для решения проблем отечественными теоретиками математического образования будущих учителей предлагаются, в частности, следующие идеи:

1)усилить профессиональную направленность математических курсов за счет усиления в них методической линии;

2)вести преподавание, используя передовые идеи в методике, с тем, чтобы студенты перенимали и усваивали эти идеи и применяли их в дальнейшей своей профессиональной деятельности.

3)добиваться более глубокого овладения студентами математикой, развивать в них интерес и любовь к предмету;

4)разрабатывать интегративные курсы, соединяющие элементы высшей математики с разделами школьной;

5)развивать многоуровневость и дифференциацию в математическом образовании будущих учителей;

6)развивать в студентах навыки творческого мышления, исследовательской и методической работы по математике;

7)использовать современные технологии в обучении математике, научить студентов применять такие технологии.

§2. Современные тенденции в математическом образовании и подготовке учителей

за рубежом

Интенсивное развитие исследований по математическому образованию за рубежом началось на рубеже 60-х и 70-х годов, в период увлечения реформой по введению «Новой математики» в школьные программы. Пожалуй, основных причин такой интенсификации было две (причем они были связаны между собой): 1) Общая неудача реформы, одной

17

из целей которой была, в частности, ликвидация отставания западной системы математического образования от советской, проявившегося как в неоспоримых достижениях крупнейших советских математиков, так и в технических успехах СССР, особенно в освоении космоса; 2) В это время (в 60—70-е годы) в методологии математики все больше утверждались сомнения в возможности построить все здание науки на твердой логической основе, сомнения в целесообразности попыток такого построения ([99], 1984), росло влияние философских идей фаллибилизма1 Поппера [187] и Лакатоша [131].

Деятели в области математического образования осознали, что формально-логически построенных математических теорий и традиционных методических приемов далеко не достаточно для эффективного обучения математике, что необходимо применение результатов глубокого изучения приемов мышления, процесса познания, овладения понятиями.

Предпосылкамидляразвитияисследованийповопросам математического образования были и достижения психологической науки: результаты Ж. Пиаже и его школы, а также ставшие доступными для западных специалистов труды советских психологов, в первую очередь Л. С. Выготского. В это время на Западе велись интенсивные исследования программированного обучения [220], а также психологии процесса учения [41] .

Ведущими фигурами в зарубежном математическом образовании в те годы были Д. Пойа (США), Х. Фройденталь (Нидерланды), В. Серве (Бельгия), З. Крыговская (Польша), Т. Варга (Венгрия). В конце десятилетия были основаны наиболее влиятельные научные журналы по математическому

1 Фаллибилизм — выдвинутый К. Поппером принцип, согласно которому «любое научное знание носит лишь гипотетический, предположительный характер, подвержено ошибкам» (Философ-

ский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1989, с. 495).

18

образованию: “Educational studies in mathematics” (осно-

ван в 1968 г. в Нидерландах Х. Фройденталем), “Journal for research in mathematics education” (основан в 1970 г. в США американским Национальным советом учителей математи-

ки — NCTM), “Recherches en didactique des mathematiques” (основан в 1970 г. во Франции Г. Бруссо и Ж. Вергно). Вокруг этих и появившихся позднее других журналов и формировалась в последние три десятилетия зарубежная дидактикоматематическая мысль. С 1969 года проводятся международные конгрессы по математическому образованию (8-й состоялся в 1996 г. в Севилье, Испания, 9-й в 2000 году в Токио, Япония, 10-й в 2004 году в Копенгагене, Дания, 11-й в 2008 году в Монтеррее, Мексика, 12-й в 2012 году в Сеуле, Южная Корея, 13-й в 2016 году в Гамбурге, Германия).

За три десятилетия серьезным изменениям подверглась методология исследований. Так, Силвер и Килпатрик [216] отмечают, что если в 1973 году все исследования, опубли-

кованные в журнале “Journal for Research in Mathematics Education” (JRME) использовали статистические методы (главным образом для проверки гипотез), то в 1983 году статистическими по природе были около двух третей статей, а в 1993 году уже лишь три восьмых сданных в редакцию рукописей использовали статистические методы. Существенно возросли размеры статей, что связано с ростом внимания к качественным исследованиям, для которых важен подробный анализ явлений. Вообще, в исследованиях по математическому образованию возросла роль качественных методов, что, в свою очередь, затрудняет возможность определения научной значимости исследований [216].

2.1. Французская «дидактика математики». Методика математики в некоторых других странах

Широко известна и оказывает значительное влияние на исследования по математическому образованию во всем мире французская школа «дидактики математики», возглавляемая такими учеными, как Г. Бруссо, М. Артиг,

19

И. Шеваллар, Н. Балашеф. Самый авторитетный из них, Ги Бруссо, начинал как сельский учитель, которого наблюдатели его уроков называли «чародеем обучения» [121]. Будучи учителем, он в своих уроках исходил из «жизненных ситуаций», чем вызывал интерес учащихся к предмету.

Начиная с 1970-х годов, Г. Бруссо публикует серию статей с результатами своих исследований, строит систему теоретических положений и практических рекомендаций. Г. Бруссо ввел целый ряд новых понятий и терминов:

дидактические и а-дидактические ситуации, деволюция, обучающая среда (milieu), дидактический контракт, институционализация [44].

А-дидактическая ситуация — это ситуация обучения без учителя, когда ребенок вовлекается в игру в умело подобранной «учебной среде» (milieu), и «вынужден» использовать математические понятия, если только он решил участвовать в игре.

Цель обучения с помощью а-дидактических ситуаций — сохранять математические понятия в их первозданном, «подлинном» виде, не искаженном условностями традиционного школьногообучения. Очевидно, чтотеория«а-дидактических ситуаций» связана и с ранними опытами Г. Бруссо по использованию «жизненных ситуаций» в преподавании, и с популярным в начале века «методом проектов» [96].

Дидактические же ситуации предполагают участие учителя (в той или иной форме) в процессе обучения. Так, учитель может поставить проблему перед учениками и сам незаметно удалиться со сцены, как бы делегируя учащимся ответственность за разрешение проблемы. Такой прием называется деволюцией. Знания, самостоятельно «построенные» учащимися в совместной классной работе, должны быть затем синтезированы и «легализованы» (то есть «официально» оформлены с соблюдением определенных условностей и соглашений относительно формулировок) учителем. Это действие называется институционализацией. По тео-

20