Современные подходы в математическом образовании и подготовке учителей математики

требования, периодически проверяя конспекты. Но это тем более не освобождает лектора от необходимости делать лекции ясными и четкими, а следовательно, читать их размеренно, без суеты, хорошо структурировать, выделять отдельные элементы. На первом курсе целесообразно читать лекцию достаточно медленно, почти диктовать, а переходя на скороговорку в отдельных местах, предупреждать студентов, что в данный момент лектор говорит не для записи. Известный педагог-механик А. П. Минаков говорил:

«Я за диктант, но диктант своеобразный. Нужно все время заботиться об оживлении его, чтобы он не был скучным

иужасным. А это уже дело преподавательской техники.

1курс: очень подробный диктант. Затем постепенно его можно делать менее подробным, но четкость параграфов, пунктов, нумерация формул должны сохраняться» [140].

В нашем курсе обычно выделяются следующие структурные элементы (внутри параграфа): определения, примеры, леммы, теоремы и их следствия (некоторые утверждения формулируются в виде наборов свойств), замечания, задачи, выводы (резюме). Студенты быстро привыкают к такому структурированию, относятся к нему положительно и порой, услышав в начале лекции вводные фразы, спрашивают: «Что это — определение, замечание?»

Структурный аспект композиции важен как в учебниках и учебных пособиях, так и в лекционном преподавании. Однако в устном преподавании очень важен и эмоциональный аспект — то, что А. П. Минаков называл «эмоциональной кривой». Исследования психологов [224] показали, что не только понимание, но и эмоции влияют на запоминание материала: «...Вряд ли можно считать спорным, что направленность на запоминание, желание запомнить тот или иной материал, отношение к запоминанию в существенной мере определяются тем, каково эмоциональное действие этого материала, каков его эмоциональный тон». О роли страстности в познании подробно писал [186].

111

А. П. Минаков считал, что «лекцию надо строить как художественное произведение. В ней должна быть завязка, развитие сюжета, развязка» [140]. Его ученики отмечают, что он «вначале задавал какие-то малозначащие вопросы, шутил, выяснял настроение слушателей, «атмосферу» аудитории, и только потом произносил первую фразу. Часто она бывала очень неожиданной» (там же).

Таким образом, обращая внимание на композицию, «эмоциональную кривую» лекции, А. П. Минаков умело использовал приемы ораторского искусства. Ведь еще известный оратор А. Ф. Кони [110] указывал, что в речи тоже требуется «завязка», т. е. какая-то зацепка, элемент, привлекающий внимание слушателя к речи, а вместе с тем и к теме выступления. А. П. Минаков считал, что для овладения вниманием слушателей лектору необходим артистизм: «...

Поливанов: появлялся в аудитории с шумом, ронял книжки; иногда мрачный, злой. Это был настоящий актер» [140].

«Сверхзадачей» великий театральный режиссер К. С. Станиславский называл «основную, главную, всеобъемлющую цель, притягивающую к себе все без исключения цели, вызывающую творческое стремление...» ([227], с. 332—333). А. П. Минаков взял на вооружение этот термин, понимая его (в преподавании теоретической механики) как «руководящую идею читаемого курса» [115], с. 148). Вот как, например, определил ученик Минакова А. А. Космодемьянский сверхзадачу своего курса теоре-

тической механики: «Оптимальные режимы движения — душа современной механики».

Для нашего курса, объединяющего как абстрактные (теория алгебраических систем), так и более конкретные (теория чисел и многочленов, линейная алгебра) теории, единую сверхзадачу сформулировать довольно трудно, но все же она, на наш взгляд, существует: «Множества с алгебраическими операциями — эффективное и универсальное средство для исследования объектов современной математики». Этой руководящей идее служат как расположение

112

материала, так и отдельные методы преподавания: при каждой возможности мы подчеркиваем, какие операции, с какими свойствами фигурируют в том или ином математическом построении (скажем, в множестве классов вычетов по натуральному модулю), многие свойства объектов выводим из общеалгебраических результатов (например, большинство утверждений в теории многочленов вытекают из общей теории евклидовых колец и теории делимости в областях целостности, из теории колец выводится ряд свойств симметрических многочленов, из теории абелевых групп — свойства векторных пространств и т. п.).

При введении и дальнейшем изучении многих понятий часто используются три способа получения субъектом информации об окружающем мире (действенный, нагляднообразный и словесно-символический, см. [41]). Так, изучая четверную группу Клейна (группу преобразований симметрии прямоугольника, не являющегося квадратом), можно показать симметрии прямоугольника, производя соответствующие преобразования и строя композиции преобразований с реальным прямоугольником, например, изготовленным из картона, или даже с книгой или тетрадью. Это будет действенный способ передачи информации. Затем можно показать (на доске или на страницах учебника) изображения положений прямоугольника (с каким-либо образом отмеченными углами) после преобразований симметрии и их композиций. Это будет наглядно-образный способ передачи информации. Наконец, можно построить таблицу Кэли четверной группы Клейна: это будет символический способ передачи информации.

Принцип взаимодействия представлений (или, подругому, применение множественных представлений)

проявляется, например, в том, что при введении определений одновременно используется более одного вида представлений: скажем, определение дается в словесной форме и тут же — в виде формулы из логических символов или

113

иллюстрируется графически (это обычно используется при определении операций над множествами, соответствий, отношений, отображений).

Еще раз подчеркнем, что как в устном преподавании, так и в написании учебных пособий важен индивидуальный стиль преподавателя (автора). Об использовании стилевых особенностей в преподавании различных разделов мы будем говорить при последовательном рассмотрении методов преподавания всех разделов, так же как и об элементах не-

ожиданности и юмора.

§3. Применение информационных технологий

вматематической подготовке будущих учителей

Как известно, эксперименты по обучению с помощью машин начались в США еще в 50-е годы, главным образом под руководством Б. Скиннера ([220]; [231]; [161]). С помощью компьютеров осуществлялось программированное обучение, где роль компьютеров по существу сводилась к “переворачиванию страниц” электронных учебников, задачников, сборников тестов. Принципы программированного обучения отражали бихевиористские теории обучения:

«Программированное обучение есть своего рода автоматический репетитор, который ведет учащегося 1)путем коротких логически связанных шагов, так что он 2) почти не делает ошибок и 3) дает правильные ответы, которые 4) немедленно подкрепляются путем сообщения результата, вследствие чего он 5) движется последовательными приближениями к ответу, являющемуся целью обучения»

([283], цитируется по [161], с. 86).

Как отмечают Буэно и Куэвас [48], несмотря на то, что основанные на таких принципах программы широко подвергались критике за прямолинейность, именно они составляют

114

самую значительную часть коммерчески распространяемого учебного программного обеспечения (заметим, что именно такова ситуация на отечественном рынке).

Поворотным пунктом в использовании компьютеров в обучении был 1980 год, когда вышла (в оригинале) книга американского педагога С. Пейперта [171]. Пейперт был в 1959—1964 годах учеником Ж. Пиаже, и в результате этого ученичества решил применить идеи генетической эпистемологии Пиаже для компьютерного обучения детей.

Вместе со своими сотрудниками он создал язык ЛОГО, ставший не просто языком программирования, но обучающей средой для детей (другое популярное общее название для подобных языков — «микромиры»). Позволяя детям «экспериментировать» с помощью компьютера, ЛОГО помогает им самостоятельно строить знания, в соответствии с концепциями Ж. Пиаже. В конце 80-х начале 90-х годов появились важнейшие программные продукты, создававшие обучающую среду, «микромиры» для собственно математики: для алгебры, анализа и тригонометрии — Derive [83], и для геометрии: Cabri [141]. В последующие годы эти программные продукты были усовершенствованы, приспособлены как для современных операционных сред для

Macintosh и для IBM PC (Windows), так и для программиру-

емых графических микрокалькуляторов (последнее сделало возможным использование этих программ в аудиторном преподавании). Позднее были разработаны и другие геоме-

трические пакеты, например, Geometer’s Sketchpad [292], Geogebra, Cinderella. Такие программы, как Geometer’s Sketchpad и Cabri (особенно последняя версия), демонстрационные версии которых бесплатно распространяются по

Internet, создают динамическую геометрическую среду.

Как отмечали Грауманн и другие [65], общими для такого рода программ являются следующие черты:

Динамическое моделирование школьной евклидовой геометрии и ее инструментов (“Черчение”);

115

Возможность объединения элементарных построений в более сложные построения (“Макроконструкции”);

Возможность визуализации передвижения точек с сохранением геометрических зависимостей между ними (“Геометрические места”).

Динамическое геометрическое окружение, несомненно, может, под руководством преподавателя, способствовать развитию геометрических представлений учащихся. Например, передвигая точки с сохранением геометрических зависимостей между ними, можно показать, что одна и та же геометрическая задача (например, связанная с треугольниками и окружностями) может использовать самые разнообразные чертежи, соответствующие к тому же различным возможным случаям. Программы рассчитаны в основном для школьной евклидовой планиметрии, однако включают и элементы аналитической геометрии. В частности, эти программы позволяют наглядно показывать взаимосвязь между коническими сечениями: меняя эксцентриситет, можно на экране наблюдать, как окружность плавно переходит в эллипс, потом в параболу и, наконец, в гиперболу. Разумеется, такого рода «анимации» тоже можно эффективно использовать для прояснения геометрических понятий, общего взгляда на них.

Такие программы, как Maple, можно использовать в обучении студентов-математиков, например, будущих учителей. Демонстрационный вариант одной из последних редакций этого пакета Maple V Release 4 также бесплатно распространяется по Internet. Полная версия программы Maple позволяет работать с большинством глубоких направлений современной математики: с теорией групп (вплоть до поиска силовских подгрупп), теорией графов, комбинаторикой, теорией чисел (например, с бесконечными цепными дробями), даже с р-адическими числами. Таким образом, программу целесообразно использовать не для облегчения понимания математики студентами, а скорее для их самостоятельной работы, в том числе научной.

116

Несмотря на огромное число публикаций, посвященных использованию компьютеров и графических калькуляторов в обучении школьников, пока нет убедительных свидетельств об эффективности широкого применения современных информационных технологий в преподавании математики. Имеются лишь отчеты об отдельных экспериментах, где, используя статистические методы проверки гипотез о равенстве средних (например, t-критерий Стьюдента), авторы делают вывод о выгодах применения компьютеров или графических калькуляторов ([260]; [149]). С другой стороны, один из лидеров движения за применение компьютеров в преподавании Д. Толл [236], ссылаясь на ряд авторов, отмечает, что при применении компьютеров случается, что большинство учащихся теряют навыки аналитического решения задач, например, решения уравнений; у многих атрофируется умение подставлять значения вместо переменных в выражения.

На ряд проблем в использовании компьютеров, в частности, геометрического «микромира» Cabri, указал Балашеф [25]). Во-первых, насколько «эпистемологически валидное» взаимодействие с математическим объектом обеспечивает программный пакет [26]? По аналогии с требованием

WYSIWYG (What You See Is What You Get — то, что вы видите на экране, есть то, что вы получите после печати), предъявляемым к графическим и текстовым редакторам, он выдвигает к математическим «микромирам» требование WYSIWME (What You See Is What Mathematics Expects — то, что вы ви-

дите, есть то, чего ожидает математика). Во-вторых, перед учителем при обучении с помощью компьютера встает задача: как ухитриться, чтобы учащийся связал в своем сознании два мира: первый — теоретический, например, мир геометрии, и второй — механический, например, мир интерфейса пакета Cabri. Только установление такой связи позволит ученику наблюдаемый на экране факт (например, неподвижности точки при повороте отрезка, на котором она лежит) превратить в явление, а именно в свойство

117

инвариантности этой точки относительно геометрического преобразования. Переход от механизмов к геометрии неочевиден. Это — процесс моделирования. Анимация фигур, которую можно рассматривать как даваемое машиной динамическое объяснение, может обернуться препятствием, связанным с различиями между природой этих представлений (приведенных в движение “механизмов”) и представляемого объекта (геометрии). Балашеф считает, что сложность программирования и технологии делает невозможным гарантировать, что технологический артефакт будет вести себя предсказуемо, и неясна даже технология моделирования. Один из путей преодолеть такие трудности — попы-

таться осуществить вычислительную транспозицию [24],

т. е. проанализировать материал с целью адаптации представления знаний к требованиям вычислительных моделей. Это требует тесного сотрудничества между специалистами по вычислительной технике и исследователями в области математического образования.

В целом, создается впечатление, что надежды на эффективность школьного применения компьютеров и графических микрокалькуляторов, похоже, пока не оправдались. По замыслу энтузиастов такого применения, освобождение учащихся от рутинных вычислений должно было высвободить их силы и время для глубокого концептуального постижения предмета. На деле же многие учащиеся не только разучилисьсчитатьустно, нои, привыкнувклегкомуполучению ответов, отвыкли «думать математически». Чрезмерное увлечение информационной технологией в обучении можно отчасти объяснить коммерческими соображениями: в журналах и книгах по математическому образованию большое место занимала и занимает реклама графических калькуляторов различных корпораций, эти же корпорации нередко финансировали исследования по применению компьютеров и микрокалькуляторов в школе.

Кроме систем компьютерной алгебры и геометрических «микромиров», некоторые авторы предлагают использовать

118

вобучении математике обычные электронные таблицы, на-

пример, Excel [195].

Впоследние 10—15 лет (начиная примерно с 1984 года, когда появился первый предназначенный для широкого применения пакет компьютерной алгебры Macsyma), у исследователей появился и растет интерес к применению компьютерных технологий в высшей школе, в частности,

вподготовке учителей. Отмечается, что курсы повышения квалификации для учителей с использованием системы компьютерной алгебры Derive не только знакомят учителей с этой программой и обучают их ее применению в своей работе, но и помогают им углубить свои математические знания.

Дэйвис, Херш и Маркизотто ([86], с. 5) указывают следующие преимущества и недостатки применения компьютеров в математических курсах для высшей школы: «(1) возможность проверки математических утверждений и тождеств;

(2) открытие новых фактов с помощью компьютерных экспериментов и индукции (не математической); (3) большое ускорение (правда, иногда с ловушками) вычислений; (4) ограничения, накладываемые цифровым языком в противоположность более богатому… языку «полной» математики;

(5)объем необходимых математических знаний и опыта может превосходить содержание коммерческого программного обеспечения; (6) связь с компьютерной инфраструктурой нашего общества, часто скрытой от взгляда».

Некоторые видные исследователи математического образования сами создают компьютерные программы для обучения сложным разделам математики: Толл ([138]; [237]), Ерушалми ([87]; [88]), Капут [92], Лерон [80]. Наиболее интересными выглядят попытки преподавать с помощью компьютеров темы, исключительно трудные для традиционного преподавания, например, абстрактную алгебру, включая теорию групп [81] и линейную алгебру [215], а также попытки использовать компьютеры для формирования понятий у учащихся [236].

119

В последние годы некоторые виды информационных технологий уже стали привычными в учебном процессе отечественной высшей школы: например, на занятия по математическим дисциплинам уже мало кто из студентов ходит без микрокалькуляторов, в том числе инженерных и программируемых. Преподаватели должны это не только учитывать, но и активно использовать как еще одно средство улучшить восприятие предмета студентами. Применение микрокалькуляторов в вузовском учебном процессе дает уже то преимущество, что студенты освобождаются от рутинных вычислений и больше обращают внимание на существо вопроса. С другой стороны, они иногда используют микрокалькуляторы даже в решении таких задач (дискретных), где применение микрокалькуляторов кажется несколько неожиданным: например, в ряде задач, где необходимо находить остатки при делении целых (натуральных) чисел. Так, многие студенты решают таким образом задачи на вычисление остатков при делении больших степеней натурального числа на другое число с помощью сравнений. При этом им приходится последовательно осуществлять деление с остатком. Студенты выполняют деление на микрокалькуляторе, затем умножают целую часть частного на делитель и, вычитая полученное произведение из делимого, находят остаток и выписывают соответствующее сравнение. На наш взгляд, это приносит даже некоторую пользу, поскольку, применяя такой алгоритм (к необходимости которого студенты приходят самостоятельно), студенты лучше осознают структуру алгоритма деления с остатком, а также закрепляют в своем сознании связь между понятиями сравнения и остатка.

Разумеется, можно использовать микрокалькуляторы при выполнении громоздких вычислений по схеме Горнера. Инженерные калькуляторы могут очень помочь при вычислении корней кубического уравнения в случае трех действительных корней (в этом случае приходится приближенно вычислять значения тригонометрических функций).

120